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2016.2.25配信
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四谷大塚・早稲田アカデミー5・6年生 予習シリーズ算数上
第4回攻略ポイント

<算数 6年上 第4回 >

第4回は『条件整理・場合の数』です。条件整理の問題では、言葉通り、条件をいかに整理するかがポイントです。また、場合の数の問題では、基礎処理がいくつもありますので、基本をマスターすることを心がけましょう。

【攻略ポイント1】

「必修例題1(2)」では、組み合わせと並び方をどちらも使って考えます。サイコロ3つで出た目の和が9の倍数になるものを考えますので、和としては、9と18です。
 (A)和が9になる組み合わせは、ア(1、2、6)、イ(1、3、5)、ウ(1、4、4)、エ(2、2、5)、オ(2、3、4)、カ(3、3、3)となります。次に、それぞれ、大、中、小どのサイコロがどの目をだすかの並べ方の計算になります。3つとも異なる目を出す場合は、3×2×1=6通り、2つが同じ目で、1つが異なる目を出す場合は、3つのサイコロのうちの1つに異なる目が出ることを考えて3通り、3つとも同じ目のときは、1通りです。ですから、ア、イ、オは6通りで6×3=18、ウ、エは3通りで3×2=6、カは1通りとなります。よって、18+6+1=25通りです。
 (B)和が18になる組み合わせは、(6、6、6)の1通りのみです。
 よって、(A)と(B)を合計して、25+1=26より、全部で26通りとなります。

「必修例題2(2)」は、4枚のカードのうち3枚を並べて3けたの整数を作る問題です。1番目の問題では、百の位には0は使えませんので、0のカード以外を並べることができますので3通り、十の位には、百の位に使ったカード以外を並べることができますので3通り、一の位には、百の位、十の位に使ったカード以外をならべますので2通り、のそれぞれの並べ方があります。よって、3×3×2=18より、18通りあります。2番目の問題では、一の位に0か2を並べるという条件になります。0と2は、同じように考えることはできませんので、場合に分けて考えます。(A)一の位に0を並べるとき。つまり、□□0のときは、百の位、十の位に、{1、2、3}のどれを並べてもよいので、3×2=6通りです。(B)一の位に2を並べるとき、つまり、□□2のときは、百の位の0は使えませんので、{1、3}の2通り、十の位には、2と百の位に並べたカード以外の2通りで、2×2=4通りです。よって、(A)と(B)を合計して、(6+4=)10通りとなります。

【攻略ポイント2】

「必修例題3(1)」は、知っておくべき問題です。テキスト46ページの解説を参考にしてください。50円切手の代金は50の倍数になりますので、10、20、30、40、50の5つで一区切りにして行をかえて、60、70、80、…と5つずつ、行をかえて書きます。このように書くと、50のある列はすべて50の倍数ですから、代金としては作ることができます。そこでこの列を50からすべて直線で消します。次に、80円切手の代金ですが、数列の80のところと、その列の80から下は80に50ずつ増える数ですから、すべて代金としてできますので、80からすべて直線で消します。この作業をくり返します。次に考える数は、80の倍数です。160、240、320、と見つけて、その数を先頭にその列をすべて直線で消します。すると、5列すべてに直線が引かれますので、このときに、直線が引かれずに残っている数のうち、最も大きい数である270が、作ることのできない金額の中で最も高い金額です。よって、270円とわかります。

【攻略ポイント3】

「必修例題4(1)」は、サイコロの目の出方によって、Aにあるコマを、全部でA、B、C、D、E、の5つの場所にコマを進める問題です。偶数の目は時計回り、奇数の目は反時計回りに進めるルールです。回り方が2通りありますので、複雑に感じます。そこで、すべて時計回りとして、ルールを変えてしまいます。1の目が出たときは、Eに進みますが、これは時計回りで4つ進んだことになります。同様に、3の目が出たときは、Cに進むので、時計回りで2つ進み、5の目が出たときは、Aに進むので、時計回りで0つまり、進まないことになります。時計回りにサイコロの目の出方をまとめると、1は4進め、2は2進め、3は2進め、4は4進め、5は0進め、6は1進めることになります。準備は整いました。サイコロを2回投げてコマがAにくるのは、2つの目の和が0か5の場合です。0になるのは、0+0=0ですから、出る目は(5、5)の1通りです。5になるのは、1+4=5で、組み合わせとしては、出る目が(6、1)か(6、4)ですが、出る順番がそれぞれ2通りありますので、2×2=4通りです。よって、1+4=5より、全部で5通りあります。

<算数 5年上 第4回 >

第4回は『割合(2)』です。今回は、4年下で学習した割合の復習と、その応用、および、百分率(パーセント、%)や歩合(ぶあい、○割○分)といった、割合の別の表し方を学びます。

【攻略ポイント1】

「必修例題2」は、割合の3用法の復習です。割合に関して3通りの公式的なものがあります。もとにする量×割合=くらべる量、を基本にするとよいでしょう。この基本の形で問題を整頓して、必要ならば逆算をおこないます。(1)では、40人がもとにする量、6人がくらべる量ですから、求める割合を□とすると、40×□=6と整頓されますので、□=6÷40=0.15より、割合は0.15となります。(2)では、もとにする量が2.4L=24dL、割合が25%=0.25、ですから、くらべる量である、こぼしてしまったジュースの量は、24×0.25=6より、6dLと求められます。(3)では、もとにする量がはじめに持っていたお金、くらべる量が660円ですが、これは、持っていたお金の4割5分=0.45の残りである5割5分=0.55ですから、もとにする量を□とすると、□×0.55=660円と整頓されます。□=660÷0.55=1200より、はじめに持っていたお金は1200円です。

【攻略ポイント2】

割合の応用となる相当算を学習します。相当算とは、AはBのCに相当する、という問題で、くらべる量Aがわかっているパターンの問題です。「必修例題3」では、もとにする量の3/5の残りが、40−8=32という、くらべる量に相当していることに注目します。もとにする量を□として整頓すると、□×(1−3/5)=32となりますので、□=32÷2/5=80より、本全体のページ数は、80ページです。
 「必修例題4」では、もとにする量は5年生全体の人数、この人数の40%と45%の合計である85%以外が、7+11=18人という、くらべる量に相当することに注目します。もとにする量を□として整頓すると、□×(1−0.85)=18となりますので、□=18÷0.15=120より、5年生全体の人数は、120人です。

【攻略ポイント3】

割合の合成について学習します。割合の合成とは、割合の割合とも言われるものです。例えば、Aの0.5の量の、さらに0.2の量はAのどのくらいの割合になるか、などを求める問題です。この例では、A×0.5×0.2=A×0.1より、0.1となります。
 「必修例題5」では、本を読んだ残りのページ数が60ページと与えられているので、残りのページ数の割合に注目して考えます。本全体のページ数を□として、はじめに読んだ残りのページ数は、□×(1−1/4)=□×3/4です。次に、このページ数の5/9を読んだ残りのページ数は、□×3/4×(1−5/9)=□×1/3となります。つまり、□×1/3=60と整頓できます。よって、□=60÷1/3=180より、本全体のページ数は、180ページとわかります。

最後に、還元算について学習します。還元算とは、後から元にもどしていく問題です。途中に実際の数量が入った割合が含まれる場合に使われます。

「必修例題6」では、CDを買った後の所持金の3/7を使った残りが520円とわかっているところから、まずCDを買った後の所持金○円を求めます。○×(1−3/7)=520から、○=520÷4/7=910より、CDを買った後の所持金は910円とわかります。910+140=1050円が、太郎君のはじめの所持金の2/5を使った残りとなります。太郎君のはじめの所持金を□とすると、□×(1−2/5)=1050となります。よって、□=1050÷3/5=1750より、太郎君のはじめの所持金は、1750円です。

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