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2016.6.8配信
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四谷大塚・早稲田アカデミー 予習シリーズ算数上6年第15回・5年第16回攻略ポイント!

<算数 6年上 第15回 >

第15回は『立体図形(2)』です。立体の構成(辺、頂点、面)、立方体の切断、くりぬき、立体の2回切断などを学習します。

【攻略ポイント1】

「必修例題1」は立体図形の頂点、辺、面の数を考える問題です。合同な20個の正三角形で囲まれた立体について、問題の図を見て数えていくのではなく、それぞれの構成を考えて、計算して求めます。 (1) この立体の頂点は、5つの正三角形が1点に集まって1つの頂点ができています。正三角形の3つの頂点が20個で3×20=60あります。60個の頂点のうち5つ集まって、この立体の頂点が1つできています。よって、60÷5=12より、この立体の頂点の数は12個です。また、この立体の辺は、2つの正三角形の辺が重なって1つの辺になっています。正三角形の3本の辺が20個で3×20=60本あります。60本の辺のうち2本ずつが重なって、この立体の辺が1つできています。よって、60÷2=30より、この立体の辺の数は、30本です。 (2) この立体のすべての頂点を平面で切り取ることにより、正五角形の断面を作ります。頂点の個数は、1個の頂点が無くなって、新しく5個の頂点ができることになります。よって、12か所それぞれについて、5個の頂点ができますので、5×12=60より、頂点の個数は、60個になります。また、辺の本数については、もとの辺の本数はそのままで、新しく五角形の5本が12か所にできますので、30+5×12=90より、辺の数は、90本です。

「必修例題2」は、一見どんな形かわからない立体の体積を求める問題です。体積計算は、柱体ならば、底面積×高さ、すい体ならば、底面積×高さ×1/3で求めます。つまり、必ず、底面積と高さが必要になりますが、底面と高さは垂直の関係でなければなりません。このことに注目して考えます。予習シリーズ165ページの問題および解き方の図を参照して下さい。 この立体において垂直な面と辺はありませんので、辺に垂直な面を新たに作ります。辺AB上に中点(2等分する点)Mを作り、三角形MCDを考えると、この面MCDは、辺ABと垂直の関係になります。辺CD=6cmを底辺とし、立方体の高さ=6cmを高さとする三角形MCDの面積は、6×6÷2=18平方cmと求められます。そこでこの立体は、三角形MCDを底面とする、高さAMの三角すいと、同じく三角形MCDを底面とする、高さBMの三角すいの合計になります。よって、三角形MCDの面積18平方cmを底面積として、高さを辺ABの長さ6cmとする三角すいの体積を考えることになります。18×6×1/3=36より、この立体の体積は、36立方cmです。

【攻略ポイント2】

「必修例題3」は、切断した立体の体積を求める問題です。前問と同様、柱体の体積を求めますので、基本は底面積×高さです。前述したように、高さは底面積と垂直の関係にありますが、この問題では、ひとつに統一された高さがありません。この場合、高さの平均を利用することが知られています。

  1. 底面は円で、高さは (3+5)÷2=4を利用します。3×3×3.14×4=36×3.14=113.04より、体積は、113.04立方cmです。
  2. 底面は、左側面の4×6=24平方cmで、高さは、底面の長方形の対角上にある辺の長さを平均した長さ(3+4)÷2=3.5となります。24×3.5=84より、体積は84立方cmです。
  3. 三角柱の場合、底面積は、三角形の面積である、4×4÷2=8平方cmで、高さは3つの高さの平均で、(3+4+5)÷3=4となります。8×4=32より、体積は、32立方cmです。
【攻略ポイント3】

「必修例題4」は、小さい立方体を、たて、横、高さの方向に同じ個数ずつ積み重ねて大きな立方体を作り、1つの面で切断する問題です。予習シリーズと同一の説明になりますので、説明は省略しますが、いくつかの段階を踏んで解き進める必要がある問題ですので、予習シリーズ167ページの解き方の図を参照しながら、少し時間をかけてでも解き方をよく読んで、図を理解して下さい。

<算数 5年上 第16回 >

第16回は『速さ(2)』です。速さの3公式、往復の平均速度、ダイヤグラム、その他の速さの問題を学習します。

【攻略ポイント1】

「必修例題1」は、速度の3公式を使う問題です。速度の問題では単位換算が重要になります。時速○kmならば、時間の単位は時間を、距離(=道のり)の単位はkmを使います。分速○mならば、時間の単位は分を、距離の単位はmを使います。

  1. 時速□kmを求めますので、距離単位はkmを、時間単位は時間を使用します。1時間20分を時間単位で表すと、20分は20/60=1/3時間ですから、速度=距離÷時間の公式により、20÷1・1/3(1+1/3をこのように表すことにします)=20×3/4=15となりますので、時速15kmですから、□にあてはまる数は15となります。
  2. 分速ですので、3時間40分=220分と時間を分に換算します。距離=速度×時間の公式により、60×220=1320より、1320m=13.2kmですから、□にあてはまる数は、13.2です。
  3. 時間=距離÷速度の公式により、12.6÷36=126/360=7/20となりますので、7/20時間です。分単位に換算すると、60分×7/20=21分より、□にあてはまる数は21です。

「必修例題2」は、往復の平均速度の問題です。往復の平均速度は、往復の距離を、往復にかかった時間で割って求めます。行き帰りの速度をたして2で割ることではありませんので、注意しましょう。もともと速度の計算は、動きはじめから速度が一定であるわけではなく、距離を時間で割るという平均の考えです。2つの平均をたして2で割っても全体の平均を求めたことにはなりません。例えば、3人の体重平均と2人の体重平均から5人の体重平均を求める場合でも、正しくは、5人の体重合計を5で割ることで求める、ことと同様です。

  1. 行きにかかる時間は、5÷12=5/12時間で、帰りにかかる時間は、5÷3=5/3時間ですから、5/12+5/3=5/12+20/12=25/12=2・1/12より、2・1/12時間で、1/12時間は、60分×1/12=5分ですから、往復にかかった時間は、2時間5分です。
  2. 往復した平均速度=往復の距離÷往復の時間ですから、(5×2)÷2・1/12=10×12/25=24/5=4.8より、往復した平均速度は、毎時4.8kmです。
【攻略ポイント2】

「必修例題3」は、ダイヤグラムの問題です。まず、ダイヤグラムとは、たて軸に距離を表し、横軸に時間を表して、距離と時間の関係を表したグラフのことです。このグラフを読めるようにすることが、今後の速さの問題を解くうえで大切になってきます。グラフの直線が右上がりの部分は、時間とともに前に進んでいることを表しています(右下がりの場合は、後ろへもどることを表します)。グラフの直線が横軸と平行の部分は、距離が進まずにとどまっていることを表しています。

  1. グラフのaは、午前8時に出発して、時速4kmの速度で進む太郎君が3.2km進んだ時刻を表しています。時間=距離÷速さ ですから、3.2÷4=0.8より、0.8時間=48分ですから、aにあてはまる数は、8時+48分=8時48分です。
  2. グラフの読み方としては、直角三角形を作って読みます。走る部分のグラフを直角三角形の斜めの辺、横軸が底辺、たて軸が高さにあたる三角形を考えると整頓できます。たて軸は、5−3.2=1.8kmで、横軸は、C地点で立ち寄っていた20分を入れた8時+48分+20分=9時8分から9時17分までの、(17−8=)9分です。9分=9/60時間ですから、速度=距離÷時間より、1.8÷9/60=18/10×60/9=12となり、走る速度は、時速12kmです。
【攻略ポイント3】

「必修例題4」は、速さのつるかめ算の問題です。家から交番までを毎分70mの速度で歩き、交番から学校までを毎分50mの速度で行きますが、距離の合計は1200mで、時間の合計は20分とわかっています。速度×時間=距離から、かけ算の関係が2つあり、積(かけ算の答え)の合計が与えられていて、かける数の合計が与えられていますので、つるかめ算の問題になります。家から交番までの距離を求めますので、この距離を進む時間がわかれば、答えを求めることができます。交番から学校まで行く速度である毎分50mですべての距離を行くと仮定することからはじめます。(1200−50×20)÷(70−50)=10より、家から交番まで、毎分70mの速度で10分かかったことがわかります。70×10=700より、家から交番までの距離は、700mです。

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SAPIX 5年生組分けテスト/算数攻略ポイント
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