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2016.9.05配信
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四谷大塚・早稲田アカデミー4・5年生 予習シリーズ算数下 第2回攻略ポイント

<算数 5年下 第2回 >

第2回は『比(2)』です。ここで学習する比例式とは、2組の比を等号でつないだ式のことです。比の問題を解く場面において、とても利用度の高い計算方法です。分数・小数のかけ算・わり算も含めて、比例式の性質(外項の積は内項の積に等しい)を使えるようにトレーニングしておきましょう。また、倍数算は、比の1あたりの量が異なった2組の比を、1あたりの量を等しくさせて考える問題です。

【攻略ポイント1】

「必修例題1」は、比例式を解く練習です。

  1. x:20を簡単にすると、3:5となるので、後項どうしの関係が20÷5=4とわかります。よって、x÷3=4となるxを求めます。x=4×3=12より、xは12です。
  2. 比例式の性質(外項の積は内項の積に等しい)を利用します。x×2/3=3×0.25になります。x=3×0.25÷2/3=3×1/4×3/2=1・1/8(帯分数の1と1/8を表します)より、xは1・1/8です。

「必修例題2」は、単価(1個の値段)×個数=代金 の関係を、比を利用して解く問題です。個数が等しいとき、単価と代金は比例します。比例とは、一方が2倍、3倍、…になると、もう一方も2倍、3倍、…になる関係をいいます。このことから、単価の比と代金の比が等しくなることになります。単価が45円:30円=3:2ですから、代金も3:2となります。あまった75円は、代金の比ですから、75円÷(3−2)=75円が、比の1つ分とわかりますので、75×3=225より、45円のたまごを225円分買う予定でしたので、持って行ったお金は、225円です。

【攻略ポイント2】

「必修例題3」は、逆比を考える問題です。逆比とは、逆数の比のことをいいます。そこで、逆数とは何かを説明します。例えば、5×1/5=1ですが、この1/5を5の逆数といいます。つまり、Pとの積が1となる数を、Pの逆数といいます。

  1. A×3=B×2において、A:Bを求めます。このとき、A×3=B×2=1とすると、A=1÷3=1/3、B=1÷2=1/2となります。よって、A:B=1/3:1/2=2:3です。このように、積が等しい場合、AとBの比は、それぞれにかけ算されている数の逆数の比になります。この作業のことを、逆比を求めるといいます。
  2. 4/5の逆数は5/4、2/3の逆数は3/2ですから、A:B=5/4:3/2=5:6です。
  3. A=A×1ですから、A×1/1=B×6/5=C×4/5となります。1/1の逆数は1/1、6/5の逆数は5/6、4/5の逆数は5/4ですから、A:B:C=1/1:5/6:5/4=12:10:15です。また、別の考え方として、A:B=1/1:5/6=6:5、B:C=5/6:5/4=2:3と求め、連比を作るという方法もあります。 「必修例題4」は、文章問題です。大人1人の入園料をA円、子ども1人の入園料をB円とすると、条件からA×2=B×5、A×3+B×7=2320円となります。
  1. 逆比を考えて、A:B=1/2:1/5=5:2より、大人1人と子ども1人の入園料の比は、5:2です。
  2. 大人1人の入園料を5、子ども1人の入園料を2とすると、5×3+2×7=29となり、これが2320円ですから、2320÷29=80円が比の1つ分となります。80×2=160より、子ども1人の入園料は、160円です。

「必修例題5」は、反比例の問題です。反比例とは、一方が2倍、3倍、…になると、もう一方が1/2倍、1/3倍、…になる関係をいいます。ある数量Aと別の数量Bが反比例の関係にあるとき、Aの比とBの逆比は等しくなります。
「食塩水の重さ×濃さ=食塩の重さ」の式において、水のみを加えても食塩の重さは変わらず一定になりますから、食塩水の重さと濃さは、反比例の関係になります。よって、濃さの比と、食塩水の比は、逆比の関係になります。濃さの比は、8:6ですから、食塩水の重さの比は、1/8:1/6=3:4で、この差は100gです。100g÷(4−3)=100gが比の1つ分です。よって、100×3=300より、はじめの食塩水の重さは、300gです。

【攻略ポイント3】

「必修例題6」は、倍数算の問題です。倍数算とは、倍数の関係(比の関係)で表された数量が、変化していく問題をいいます。

  1. やりとり問題と言われる問題です。合計数量(和)は、やりとり後も変わらないことに注目して、それぞれの前項・後項の和を2組の比の間でそろえます。その際に、最小公倍数を利用して、比の1つ分を統一させます。やりとり前の比 7:3の合計は10、やりとり後の比 3:2の合計は5ですから、最小公倍数を考えて、どちらの和も10にします。やりとり前はもともと10でしたから、7:3のままで、やりとり後は3:2=6:4にします。ここで、兄は、4枚少なくなったことで、比が7から6になりましたので、4枚÷(7−6)=4枚が、比の1つ分となります。よって、4×7=28より、兄のはじめに持っていたカードの枚数は28枚です。
  2. 同量の増減問題です。等しい金額のお金を使った後も2人の持っているお金の差は変わらないことに注目して、それぞれの前項・後項の差を2組の比の間でそろえます。お金を使う前の比5:3の差は2、使った後の比4:1の差は3ですから、最小公倍数を考えて、どちらの差も6にします。使う前は5:3=15:9に、使った後は4:1=8:2にします。妹で考えて、420円÷(9−2)=60円が、比の1つ分となります。よって、60×9=540より、妹がはじめに持っていたお金は540円です。

<算数 4年下 第2回 >

第2回は『倍数と公倍数』です。倍数という言葉からも何倍かしてできる数であることがわかると思います。第1回の約数の場合と同様、倍数を求める、最小公倍数を求めるといった、基礎のトレーニングが今後の学習に必要となります。また、倍数の個数を求める計算もしっかり理解してください。

【攻略ポイント1】

「必修例題1」は、倍数の仕組みを考える問題です。

  1. 8の倍数つまり、8×□の答えが100に近い数を考えます。100÷8=12あまり4です。よって、100−4=96より、答えは、96です。
  2. 8の倍数は、1から8つ目ごとにありますから、100を8個1組に分けると、12組できます。この中に1個ずつ8の倍数がありますから、全部で12個あります。

「必修例題2」は公倍数の問題です。公倍数、最小公倍数については、予習シリーズ16ページ、必修例題2の前の説明をよく読んで理解してください。

  1. 9の倍数は、9、18、27、36、…、また、12の倍数は、12、24。36、…、となりますので、共通の倍数(公倍数)のうちの最小の数、つまり最小公倍数は、36です。
  2. 公倍数は、最小公倍数の倍数ですから、最小公倍数である36の10番目の倍数は、36×10=360より、360です。
【攻略ポイント2】

「必修例題3」は、連除法による最小公倍数の求め方ですが、注意すべきは、3数以上の連除法で、最大公約数のときと異なる部分があることです。予習シリーズ17ページの枠で囲まれた部分の説明をよく見て、違いを確実に学習しましょう。

「必修例題4」は、ある数で割り切れる数についての問題です。

  1. 4で割って割り切れる数は4の倍数、6で割って割り切れる数は6の倍数です。よって、4と6の公倍数を考えます。公倍数は最小公倍数の倍数ですから、まず4と6の最小公倍数を求め、100までの中に、その倍数が何個あるかを考えます。4と6の最小公倍数は、12です。よって、100÷12=8あまり4より、4でも6でも割り切れる整数は、8個あります。
  2. 4で割り切れるが6で割り切れない整数とは、4の倍数のうち、6との公倍数でない数です。予習シリーズ18ページの解き方にあるベン図を参考にすると、イメージがしやすいでしょう。4の倍数の個数は、100÷4=25個あり、4と6の公倍数つまり12の倍数は、(1)より、8個ありますので、25−8=17より、4で割り切れて6で割り切れない整数は全部で17個あります。

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