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2016.10.25配信
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四谷大塚・早稲田アカデミー4・5年生 予習シリーズ算数下 第9回攻略ポイント

<算数 5年下 第9回 >

第9回は『規則性に関する問題』です。いろいろな数列について、ある数が何番目にあるか、また、何番目の数は何かを考える問題です。数列の種類によって、考え方が異なります。どんな数列なのか、どんなルールなのかを整理することを目標に学習しましょう。

【攻略ポイント1】

「必修例題1」は、階差数列といわれる数列です。この数列は、はじめの数1に1、2、3、4、…を順に加えてできる数の列です。15番目の数まで、間は(15−1=)14か所ありますので、1から14までの合計の数だけ増えます。式に表すと、1+(1+2+……+13+14)となります。この式の( )の部分の計算は、等差数列の和の計算です。よって、1+(1+14)×14÷2=106より、15番目の数は、106です。
 階差数列について、補足します。この数列は、差が階段のように徐々に増えていくことから階差数列と呼ばれます。本来の数列(第1数列)のそれぞれ数の差(第2数列)が等差数列になっている数列です。

「必修例題2」は(分数の)群数列といわれる数列です。分数の群数列では、組(=群)ごとの分母、および個数を整頓しておくことが役に立ちます。分母は、第1組から2、3、4、…となっています。また、個数は、第1組から1個、2個、3個、…となっています。

  1. (1) 分母の10は第9組で、分子の3は組の中の(9から数えて)7番目です。よって、第8組までの個数の合計 1+2+……+8=36に7を加えた 43番目ということになります。
  2. (2) 1+2+……とたし算をして100に近い数を求めると、13までの合計が91となりますので、100−91=9となり、第14組の9番目ということになります。第14組の分母は15で、分子は14から9番目の(14−9+1=)6です。よって、100番目の分数は6/15です。

「必修例題3」は、数列のきまりを発見することが難しい問題です。条件(3と4の倍数を除いた数列)より、3と4の最小公倍数12で割った場合の余りから3と4の倍数を除いた、1、2、5、7、10、11を第1組として、それぞれに12を加えていく、各組の個数が6個となる群数列です。例えば、第2組の1番目は1+12=13、2番目は2+12=14、…、また第3組の1番目は1+12×2=25、…となります。

  1. (1) 58÷12=4余り10ですので、5組の5番目(第1組で10は5番目にくる)となり、6個×4+5=29番目です。
  2. (2) 99番目は、(1)の逆問題です。99÷6=16余り3ですので、17組の3番目の数です。第1組の3番目の数は5ですから、5に12を(17−1=)16回かけた数をたした数です。よって、5+12×16=197となります。
【攻略ポイント2】

「必修例題4・5」は、数表問題(数を使った表)といわれるものです。
 「必修例題4」は、四角数に注目する数表問題です。四角数とは、ご石を正方形(四角)にならべたときの個数のことで、平方数(同じ数を2回かけてできる数)ともいいます。各段の左端の数が四角数になっていることに気づきましたか。1段目は1×1=1、2段目は2×2=4、3段目は3×3=9、…となっています。また、この数表の数の進み方を知るために、例えば、1段目の左から3番目の5を始点として考えます。1段目から下に進み、3段目にきて右に進み、左から1番目の、3×3=9で、終了します。この数の組を3組と名付けます。予習シリーズ87ページの解き方にある数表を参照してください。

  1. (1) 120に近い平方数をさがすと、11×11=121があります。121は11段目の右端になりますので、120はその前ですから、11段目の左から2番目です。
  2. (2) 5段目の左から9番目の数は、9組にあります。数の進み方から考えて、8組が終わって、9組入った5つ目を考えます。8組の最後(8段目の左から1番目)は、8×8=64ですから、64+5=69より、5段目の左から9番目の数は、69です。

「必修例題5」は、三角数に注目する数表問題です。三角数とは、ご石を三角形にならべたときの個数のことです。また、この数は、整数を1から順に合計した数のことでもあります。この数表の数の進み方は、例えば、1段目の左から3番目の4を考えます。4から始まり、左斜め下へ45度の直線上に数が増えていき、3段目の左から1番目の、1+2+3=6で、終了します。この数の組を3組と名付けます。各段の左から1番目の数が三角数になった数表です。予習シリーズ89ページの解き方にある数表を参照してください。

  1. (1) 95に近い三角数をさがすと、1+2+……+12+13=91があります。95−91=4より、13組がおわって、14組で4つ進んだ数ですから、4段目です。また、同じ45度線上では、段数と左からの番目の数の和は等しくなりますので、1段+14番=4段+〇番の関係になります。よって、1+14−4=11より、95は、4段目の左から11番目にあります。
  2. (2) 1から15の和が答えで、(1+15)×15÷2=120より、120です。
  3. (3) 8段目の左から10番目の数は、同じ45度線を考えて、8+10―1=17より、17組の8番目の数です。16組の最後(16段目の左端)の数は、1から16までの和である、136ですから、136+8=144より、8段目の左から10番目の数は、144です。

今回の規則性の問題は、レベルの高い問題が多いです。必修例題をしっかり学習して、類題を解いて、理解しながら進めましょう。

<算数 4年下 第9回 >

第9回は『方陣算』です。もともと、方陣とは四角形のことです。ここでは、ご石を四角形だけでなく三角形・五角形など正多角形にならべたときの、1辺の個数、外周(一番外側の1周)の個数、図形全体の個数を考える問題をあつかいます。1辺の個数と外周の個数を考える場合、カドのご石の取り扱いが重要になります。

【攻略ポイント1】

「必修例題1」は正方形の形にご石をならべた問題です。

  1. (1) 全体の個数は、正方形の面積を求めることと同じで、1辺の個数×個数で求まります。1辺の個数は6ですので、6×6=36より、36個です。
  2. (2) 1辺の6個が4辺ありますので、6×4=24個とすると,4つのカドにある合計4個が2度ずつ数えたことになってしまいますので、24−4=20個が正しい個数です。これは、1辺の個数6からカドの1個を引いて、(6−1)×4として考えることもできます。

「必修例題2」の三角形の形にご石をならべた問題です。

  1. (1) 全体の個数は、上の1段目から個数を合計していきます。1+2+…+5+6を計算します。この計算は、4年上の第16回で学習した等差数列の和の計算になります。よって、(1+6)×6÷2=21より、21個です。
  2. (2) 正方形の方陣と同様に、6×3の結果からカドの3個を引きます。つまり、6×3−3=15、または(6−1)×3=15より、15個です。
【攻略ポイント2】

「必修例題3」は、正多角形の形にご石をならべた問題です。外周の個数について、カドのご石に注意することは、攻略ポイント1・2と同じです。また全体の個数は、三角形の方陣をどのようにならべたものかを考えることになります。

  1. (1) 1辺の個数は、4個で辺の数は6あります。よって、4×6−6=18、または(4−1)×6=18より、18個です。
  2. (2) 予習シリーズ71ページの解き方にある図を参照してください。真ん中の1個をのぞいて、6つの三角形のかたまりができます。1つの三角形は1辺が3個ですから、三角形1つの個数は、1+2+3=6ですから、1+6×6=37より、全部で37個のご石がならんでいます。

「必修例題4」は、ご石を規則正しくならべた問題です。各図形の順番を表す番号と、各図形のいろいろな個数の関係を考えることが攻略ポイントとなります。問題に出ている図形がヒントとなります。

  1. (1) 上底の個数は、1番目から順に、2、3、4となっていますので、N番目は (N+1)個となる関係がわかります。よって、6番目の個数は6+1=7個です。
  2. (2) 全体の個数は、台形の面積計算と同様に、下底の個数および高さの個数を求めて、計算します。N番目の下底の個数が、(N+3)個になることに注意しましょう。6番目の図形の、下底の個数は6+3=9個、高さは3個ですから、(7+9)×3÷2=24より、6番目の台形には、全部で24個のご石がならんでいます。

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