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2016.11.23配信
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予想問題付き!サピックス5年生 12月19日(月)マンスリーテスト算数攻略ポイント

今回は、5年生12月のマンスリーテスト対策をお伝えします。

今回の範囲は、「仕事算・倍数算・相当算・和と差に関する問題の復習」「平面図形(1)(2)(3)」となることが予想されます。 「仕事算・倍数算・相当算・和と差に関する問題の復習」については、前回のマンスリーの見直しをして、特にあと少しで正解できたのに間違えてしまった問題などは、その原因をしっかりと確認するようにしてください。

今回は「平面図形」について、解説を進めて行きます。単元別の説明の前に、平面図形全般で注意すべきことについて先に触れます。
 なお、「○の中に数字」の表記が文字化けしてしまう可能性がありますので、マル1、マル2と表記させて頂きます。また帯分数の表記は、例えば「2と2/3」であれば「2・2/3」とします。

また、攻略ポイントだけでなく予想問題付きです。マンスリー過去問を分析し最も出題される可能性が高い問題を揃えてあります。解説も準備しますので、間違えた箇所はとくに読み込んで本番で同じ間違えをしないように注意してください。問題は12/9(金)のお昼ごろ 鉄人会のHPにアップ致します。アップが完了しましたら、メルマガ、フェイスブック、ツイッターでお知らせ致しますので、ぜひ鉄人会のフェイスブック、ツイッターもフォローしてください!

予想問題をアップするページはこちらです。
ぜひ、ブックマークをしておいてください!
http://bit.ly/1WDYCCY

【攻略ポイント1 図をかき直すことの重要性】

平面図形の問題で見直しをする際に、間違えた問題や正解はしたけれど理解が曖昧な問題については、「図を自分でかき直す」という手法をぜひ取り入れてください。問題で出された図を自分でかき直して、そのうえで解説を見てポイントを確認する、という流れです。かき直すという作業がはたして有益なのか、時間の無駄ではないか、と思われるかもしれませんが、5年生の今だからこそ大きなメリットがあるのです。

今回の平面図形では「相似」が大きなテーマのひとつになります。後でも説明しますが、相似ではどの部分が対応し合っているのかが大きなポイントになります。自分で図をかき直す過程で、その図をより細かに見ることになりますので、どことどこが対応しているのかに気づくことができる可能性が大きくなるのです。

また、今の段階での図は、6年生の問題に比べて非常にシンプルなケースが多く、かき直しもしやすいです。この段階でしっかり図をかく練習をしていれば、6年生になって、例えば立体図形の切断といった難しい問題にあたった際にも、苦がなく図がかけるようになることにつながるのです。
 実際の入試問題でも、例えば早稲田中の算数では、自分で図がかけなければ解けないような問題が出されます。しかも「コンパス・定規は持ち込み不可」です。そうした問題にあたって焦らないように、フリーハンドで図をかける練習を早めにしておくようにしましょう。

それでは各論へと入っていきます。

【攻略ポイント2 平面図形・縮尺】

「実際の面積が360a(アール)の土地は、縮尺1/3000の地図上では何平方cmですか」といった問題です。このタイプの問題では数が大きくなりますので、分数式をうまく活用しましょう。また、面積の単位について、a(アール)やha(ヘクタール)が何平方cmになるのかがテストの際にすぐに出せるように、改めて確認しておきましょう。

大前提として、縮尺の問題で長さに関するものの場合は、縮尺を1度かければよいですが、面積の問題では、縮尺を2度かけ合わせることに注意が必要になります。
上記の問題では、まず360aを平方cmに直すために、100を3回かけます。そこに縮尺の1/3000を2回かけ合せます(3000×3000で割ることになります)ので、360×100×100×100÷(3000×3000)という式になりますが、式のままで解くよりも、分子に360×100×100×100、分母に3000×3000をおくと、0(ゼロ)を一気に消すことができます。結果、360を3×3で割るという式だけになり、40平方cmという答えに至ることができるのです。分数式にすることで、できるだけ0(ゼロ)を消すことに気をつけましょう。

【攻略ポイント3 平面図形・相似】

今回マンスリーの大きなテーマです。まだシンプルな問題が多い段階ですので、この機会にしっかり基本を固めておきましょう。6年生になると図形以外の単元でも、この相似の考え方が様々なところ(速さとグラフなど)で活用されます。

相似の基本である三角形を底辺に平行な直線で分割するようなかたちや、大きさの異なる相似な三角形を、逆さの状態にして頂点でつなげる砂時計のようなかたちがまず初めに扱われます。相似の解き方の基本である「対応する辺を見つける作業」を、このかたちで練習しましょう。辺の長さが与えられている方の三角形から辺の長さの比を出して、それをもう一方の辺に書き込むことで解きやすくなります。このシンプルなかたちで相似の基本をまず徹底的に固めてください。

間違いやすいパターンは直角三角形の中に垂線を引いて、相似の直角三角形がつくられるようなタイプの問題です。実際に問題を挙げてみましょう。メルマガでは図がかけませんので、この後の文章をもとに、ぜひ図をかいてみてください。
「三角形ABCは角Aが90度で、辺ABの長さが28cm、辺BCの長さが35cm、辺CAの長さが21cmの直角三角形です。点Aから向かい合う辺BCに垂直な線を引き、辺BCとの交点を点Dとします。このときCDの長さは何cmになるでしょうか」
 図はかけましたでしょうか。まずCDの長さを求めるにはCDを含む三角形DACを使うことが大前提となります。あとは三角形DACの辺の長さの比がわかれば一気に解決です。この問題のように、三角形の中に、向きが異なる相似な三角形が含まれるような場合、対応する辺を間違えてしまうことがよくあります。視点の切り替えが難しいこともあるのでしょう。そんなときには、角度を活用すると効果的です。

今回の問題であれば、まず角ABCを○、角ACBを●とします。すると各BADは90−○より●となります。ここで隣り合う角CADは90−●より○となり、これで三角形DACを構成する角度がすべてわかります。それを三角形ABCと比べてみましょう。角度の位置関係を使うと、三角形ABCと三角形DACにおいてAB:BC:CA=DA:AC:CD=4:5:3とわかります。そこからCDの長さを21×3/5=12.6(cm)と導くことができます。ぜひ角度を活用する方法を覚えておいてください。

【攻略ポイント4 平面図形・相似を使った面積比@】

まず、相似の関係にある図形において、相似比(対応する辺の長さの比)がa:bであれば、面積比はa×a:b×bとなることは必須ですので、忘れないようにしてください。ここでも例題を挙げますので、実際に図をかいてみてください。
「三角形ABCに、辺BCと平行な直線DEとFGを、AD:DF:FB=1:3:5となるようにひきます。このとき、四角形DFGEと台形FBCGの面積の比を最も簡単な整数の比で答えなさい」
 三角形の内部に2本の直線が引かれた、ピラミッドのような図がかけましたでしょうか。ポイントがいくつかあります。まずAD:DF:FB=1:3:5だからといって、三角形ADEの面積:台形DFGEの面積:台形FBCGの面積=1×1:3×3:5×5と早とちりしないことです。相似比をかけ合せて面積比になるのは相似の関係にある図形に限られます。

次に、三角形ADEの面積:三角形AFGの面積:三角形ABCの面積=(3×3):(4×4):(9×9)となりますが、1+3=4と1+3+5=9といった比の和を用いることができるかどうか、ということにも注意してください。

そして最後に、面積を出すのは公式だけではなく、大きさのわかっている図形どうしをひき算するという方法も使えるということです。今回の問題であれば四角形DFGE、四角形FBCGがともに台形になることから、見た瞬間に、(上底+下底)×高さ÷2、といった面積の公式にあてはめようとしないこと、という意味です。上底も下底も比はわかりますが長さまでは分かっていません。
 四角形DFGEの面積は三角形AFG−三角形ADEより、(4×4)−(1×1)=15、四角形FBCGの面積は三角形ABC−三角形AFGより、(9×9)−(4×4)=65とすることができます。よって四角形DFGEの面積:四角形FBCGの面積=15:65=3:13と出すことができるのです。

面積をひき算から求める、という考え方はこれからも頻出になりますので、しっかり覚えておいてください。

【攻略ポイント5 平面図形・相似を使った面積比A】

相似の関係から求められる辺の長さの比を動かして解くタイプの問題です。まず、以下の手順で図をかいてみてください。

  • 3辺の長さが16cm、30cm、34cmとなるような直角三角形をかく。
  • 直角三角形の内部に、直角を共有するようなかたちで正方形をかく。

図としては以上になります。正方形の1辺の長さはわかっていませんが、1辺が直角三角形の16cmの辺の上に、その辺と直角をはさむ位置にある1辺が直角三角形の30cmの辺の上に重なるようになり、また直角の向いにある頂点が34cmの辺上にあるように正方形がかけましたでしょうか。ここから、正方形の1辺の長さを求める問題です。

まず、わかりやすいように、図形に記号をかき入れて行きましょう。直角三角形の直角にあたる頂点をAとして、長さ30cmの辺を辺AB、長さ34cmの辺を辺BC、長さ16cmの辺を辺CAとします。次に正方形ですが、辺CA上にある頂点をD、辺BC上にある点をEとします。
 直角三角形ABCと直角三角形DECが相似の関係にありますので、AB:AC=DE:DC=30:16=15:8となります。ここでDEの長さをマル15、DCの長さをマル8とすると、DE=DA(正方形の辺どうし)なので、ACの長さがマル15+マル8=マル23となります。よって、正方形の1辺の長さは16×15/23=240/23=10・10/23(cm)となります。

相似によって求められる辺の比を、同じ長さであることを利用して移動させて行く、このような問題はテストでも頻出ですので、気をつけて理解を進めてください。

【攻略ポイント6 平面図形・相似とそれ以外の要素を合わせた面積比】

ここでは相似だけでなく「底辺などの辺の比」も利用して面積比を求める問題について説明します。例えば次のような問題です。やはり文章から図をかいてみてください。
「平行四辺形ABCDの辺AB上に、AE:EB=3:2となるように点Eをとり、BDとECの交点を点Fとします。平行四辺形の面積を420平方cmとしたときに、四角形AEFDの面積を求めなさい」
与えられた辺の比を使って、求めるべき四角形AEFDの面積と平行四辺形ABCDの面積比を求めて正解へと進む問題になります。まず、三角形BEFと三角形DCFが相似の関係にあることと、AE:EB=3:2より、EB:CD=2:(2+3)=2:5となり、BF:DF=2:5となります。ここから、面積の比の値を使って行きます。

AE:EB=3:2、BF:DF=2:5から、三角形BEFの面積を2×2よりマル4とします。隣り合う三角形AEFの面積はマル4×3/2=マル6、ここで三角形ABFの面積がマル4+マル6=マル10となり、BF:DF=2:5より、三角形ADFの面積はマル10×5/2=マル25となります。四角形AEFDの面積は、マル6+マル25=マル31となり、平行四辺形ABCDの面積は、(マル10+マル25)×2=マル70から、平行四辺形ABCDの面積:平行四辺形AEFDの面積=70:31となり、求める面積は420×31/70=186(平方cm)となります。

辺の比から面積比を求めるにあたり、相似だけでなく底辺比も使い、求めた数値を図にかき込んで行くことに注意しましょう。

【攻略ポイント7 円周率の扱いに気をつける@】

円やおうぎ形に関する問題で出てくる円周率(主に3.14)ですが、この数値の扱い方次第で問題の解きやすさに格段の違いが生まれることがあります。
 式の中に3.14が何回か出てくるときには、その都度計算するのではなく、( )にまとめて一気に3.14計算をする、という方法は塾などでもよく言われていると思います。その点をまずしっかり確認しておきましょう。
 例えば次のような式があるとします。
 6×6×3.14×1/4+12×12×3.14×1/4+18×18×3.14×1/4+24×24×3.14×1/4  3.14×1/4が共通していますので、
(6×6+12×12+18×18+24×24)×3.14×1/4とするところまでは、すぐに対応できるでしょう。それでも、( )の中の計算がかなりややこしくなってしまいます。そこで、1/4をこの( )の中にかけていくという方法があります。6×6×1/4=9、12×12×1/4=3×12、18×18×1/4=(2×9)×(2×9)×1/4=9×9、24×24×1/4=6×24、とすべてを簡単にできる効果があります。
 3.14以外を( )の中にまとめるだけではなく、そこからさらに工夫ができないか、考えてみましょう。計算間違いを大きく減らすことができるかもしれません。

3.14の計算工夫は上記のようなかたちだけではありません。具体的な問題を挙げてみましょう。少し図がややこしいので、図をかく手順を説明していきます。

  • 中心角が90度、半径の長さが12cmのおうぎ形を、半径が縦と上部にくるように(弧がカタカナのノになるように)かきます。
  • 次におうぎ形の縦部分の半径を高さとするような台形をかきます。上底が上部の半径の一部となるようにします。
  • 台形の下底を15cmとして、かいてみてください。上部にある半径よりも少し長くなるようにかけばよいです。
  • おうぎ形と台形が重なっている部分には何も記入せず、おうぎ形の重なり以外の部分を(ア)、台形の重なり以外の部分を(イ)とします。(ア)(イ)の部分に異なるかたちで斜線などをかき入れれば、より見やすくなるでしょう。

これで図は完成で、問題は次の通りとなります。
「(ア)と(イ)の部分の面積が等しいとき、台形の上底部分の長さは何cmになるでしょう」
 (ア)=(イ)ということは、(ア)+(重なり部分)=(イ)+(重なり部分)となることから、結局、「おうぎ形の面積と台形の面積が等しい」ということと同じになります。ここまでは基本ですので、しっかり自力でたどり着けるようにしてください。

このタイプの問題は式のたて方は難しくありませんが、そこからの進め方でスピードと正確さに大きな差が生まれます。  求める台形の上底部分の長さを□cmとすると、おうぎ形の面積と台形の面積が等しいので、以下のような式が成り立ちます。 12×12×3.14×1/4=(□+15)×12×1/2
ここで、左辺の3.14を含む計算をすぐに仕上げてしまわないことがポイントです。12×12×1/4=36から36×3.14と、計算が少しでも楽になったのでそのまま仕上げてしまいたくなるのですが、ここは我慢が必要です。求める□は右辺にうもれていますから、計算はまだまだ続きます。小数を含んだ大きい数をそれからの計算に持ち込むのは、かなり大変なことになります。

ではどうすればよいでしょうか。36×3.14はそのままにしておいて、右辺の計算を少しでも簡単にしましょう。12×1/2を先に計算して、(□+15)×6と整理します。これで、36×3.14=(□+15)×6というだいぶすっきりした式になりました。ここから両辺を6で割って、6×3.14=□+15となり、ここで初めて3.14計算をすればよいことになります。どんなに3.14計算が得意なお子さんでも×36よりも×6の方が楽なはずです。

3.14の整数倍(4×3.14や6×3.14)は、多くの塾で覚えさせられます。もちろんその値はしっかり覚えておいたうえで、それをより有効に活用できるように、さらなる計算の工夫を考えるようにしましょう。

【攻略ポイント8 円周率の扱いに気をつけるA】

相似比を使うことによって、円周率の計算を最小限におさえることができる問題もあります。次のような図をかいてみてください。

  • 正三角形をかく。
  • 真正面から見て正三角形の右下の頂点を中心に、底辺にあたる辺を半径とし、中心角が60度の外角にあたる120度のおうぎ形をかく(おうぎ形Aとする)。
  • 真正面から見て上にある頂点を中心に、右にある辺と上でかいたおうぎ形の半径を合わせた長さを半径とし、中心角120度のおうぎ形をかく(おうぎ形Bとする)。
  • 真正面から見て正三角形の右下の頂点を中心に、左にある辺と上でかいたおうぎ形の半径を合わせた長さを半径とし、中心角120度のおうぎ形をかく(おうぎ形Cとする)。

以上になります。
 3種類の半径からなる3つのおうぎ形A、B、Cが正三角形を取り囲むようなかたちになりましたでしょうか。ここから以下の問題です。 「正三角形の1辺の長さを9cmとしたときに、3つのおうぎ形A、B、Cの面積の合計は何平方cmですか。円周率は22/7とします。」  まず、この問題のように、必ずしも円周率が3.14ではないものもあります。最後まで注意深く問題を読むようにしましょう。

ここで、おうぎ形の半径はAが9cm、Bが18cm、Cが27cmとわかっていますので、それぞれのおうぎ形の面積をAは9×9×22/7×120/360、Bは18×18×22/7×120/360、Cは27×27×22/7×120/360の式から計算で出すことができます。ただ、「×22/7×120/360」で式をまとめたとしても、9×9、18×18、27×27という数値の大きな計算が残ってしまいます。正解率を上げるうえでも、何とか工夫をしたいところです。

そこで相似比を使うのです。おうぎ形Aとおうぎ形B、おうぎ形Cはすべて中心角が120度ですから、もちろん相似の関係にあり、相似比(長さの比)は、9:18:27=1:2:3とわかっています。ここから面積比が(1×1):(2×2):(3×3)=1:4:9となり、おうぎ形Aの面積を(1+4+9)倍すれば、面積の合計が求められますので、以下のような式になります。
 9×9×22/7×120/360×(1+4+9)=27×22/7×14=1188(平方cm)
 計算の間違いをなくすため、より正解する確率を上げるためにも、解き方の工夫は常に意識するようにしましょう。

【攻略ポイント9 平面図形・図形が動いた後の面積】

ある図形の内側や外側を辺にそって別の図形が動くタイプの問題です。内側を動く場合と外側を動く場合で対応の仕方も変わってきます。

まず内側を図形が動く場合、例えば長方形の内側を辺にそって小さい円が1周する、といったタイプの問題です。どのように図形が動いたかを、与えられた図にかき込んで確認するまでは必須なのですが、そこから「円が通らない部分の面積を出す」という方法と「円が通った部分の面積を出す」という方法があって、前者で解説されるケースが多いと思われます。もちろんその方法も覚えておくべきなのですが、ひとつやっかいなのが「隅の部分」です。円と直角の間にできるこの図形は、「正方形の面積−円の面積」で出すことができるのですが、円の面積が小数になることがほとんどですから、少し計算がややこしくなります。
 そこで、円が通った部分の面積を出す方のやり方で、ややこしいひき算がない解法を説明します。図形をより細かくわけることで、計算がずっと楽になる方法です。

円が通った後の図形のうち、円の直径を1辺とする長方形が4つできることをまずおさえます。1辺が円の直径で、もう1辺が長方形の辺から直径2つ分をひいた長さの長方形です。この4つの長方形を除くと、残るは長方形の内側の隅にできる図形になります。どれも合同の図形で、正方形から、先ほど説明した「隅の部分」を除いたかたちになります。この図形に、正方形の向かい合う辺の中点どうしを結んだ2本の直線(プラスのかたち)をかき入れます。この2本の直線で、図形は「小さな正方形3つと中心角が90度のおうぎ形」に分けられることを確認してください。小さい正方形の面積は簡単に出ますので、あとはその数が全部で3×4=12(個)あることに注意です。おうぎ形はいずれも中心角が90度ですので、4つすべてを合わせると1つの円になります。つまり求める図形は「長方形4個、小さい正方形12個、円が1個」と整理できます。これでひき算をすることなく、また3.14計算も最小限におさえられるかたちで面積を求めることができるのです。

外側を図形が動く場合は、内側のときの「隅の部分」のような扱いづらい図形は出てきません。そのかわり図形がどのように動いたかを正確に把握する必要があります。多くは四角形や半円の外側を小さな円が1周するタイプです。はじめのうちは多少時間がかかっても外側を周る円の動きをていねいにかき込みましょう。四角形の頂点や、半円の直径の端の部分を周るように移動するところは、移動を始めたところの円と、移動し終えたところの円をしっかりかくようにしてください。それをかいておけば、角度の関係もとてもわかりやすくなります。

われわれ中学受験鉄人会のプロ家庭教師は、常に100%合格を胸に日々研鑽しております。ぜひ、大切なお子さんの合格の為にプロ家庭教師をご指名ください。


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