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2016.12.20配信
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四谷大塚・早稲田アカデミー4・5年生 予習シリーズ算数下 第17回攻略ポイント

<算数 5年下 第17回>

第17回は『図形の移動(1)』です。図形の辺上を動く点について、移動する点の速さ、スタートする点、動く方向を注意することが大切です。また、自分で図形をかいて、長さを書き込んでみると、よりわかりやすくなります。

【攻略ポイント1】

「必修例題1」は、三角形の頂点と辺上を移動する点によってできる図形について、面積や、その面積ができる時間を考える問題です。

  1. 点Pは毎秒2cmの速さで9秒間動きますから、2×9=18 より、18cm進みます。頂点Aから18cmの長さは、頂点Bを通って18−12=6cmの地点です。角Bは直角ですから、BPの長さ6cmを底辺として、ABの長さ12cmが高さになります。6×12÷2=36 より、三角形ABPの面積は、36平方cmです。
  2. 面積が60平方cmになるのは、ABの長さ12cmを高さとして、底辺の長さを求めると、60×2÷12=10 より、BPの長さが10cmになるときです。これは、頂点Aから、12+10=22cm進んだところです。速さは毎秒2cmですから、22÷2=11 より、点Pが頂点Aを出発してから11秒後です。

「必修例題2」は、2点が長方形の辺上を移動する問題で、基本は旅人算です。

  1. 頂点Aから毎秒1cmの速さで移動する点Pと、頂点Cから毎秒4cmで移動する点Qが、向かい合って同時に出発します。AC(=AB+BC)の長さは、8+12=20cmですから、20÷(1+4)=4 より、2点PとQは4秒後に重なります。
  2. 2回目に重なるのは、2点PとQが合わせて1周の長さ分移動したときです。1周の長さは、(8+12)×2=40cmですから、合わせて1周分移動するのにかかる時間は、40÷(1+4)=8秒間です。よって、5回目に重なるのは、1回目の4秒と、8秒を4回ですので、4+8×4=36 より、36秒後です。ここで、8×5と早とちりして計算をしないように気をつけましょう。
【攻略ポイント2】

「必修例題3」は、台形の辺上を点Pが移動する場合の、動く時間とその時の三角形PCDの面積の関係を表すグラフから考える問題です。

  1. グラフから、点Pは、10秒後に頂点Bに、16秒後に頂点Cに到着することがわかります。点Pの速さは毎秒1cmですから、ABの長さは、1×10=10cmです。
    (ア)グラフより、スタート(0秒)時に、三角形PCDは三角形ACDで、面積が20平方cmです。また、 AB=10cmですから、20×2÷10=4より、ADの長さは4cmです。 (イ) BCの長さは、1×(16−10)=6より、6cmです。
  2. 点Pが辺AB上にあるとき、グラフにおいて、三角形PCDの面積は、0秒から10秒までで、20平方cmから30平方cmに増加していて、10秒から16秒までで、30平方cm減少しています。 (ア) (30−20)÷10=1より、毎秒1平方cmずつ増加していることがわかります。よって、(24−20)÷1=4より、点Pが動き始めてから4秒後です。 (イ) 30÷(16−10)=5より、毎秒5平方cmずつ減少しますので、(30−24)÷5=1.2より、10秒後から1.2秒たったときですから、同じく点Pが動き始めてから11.2秒後です。
【攻略ポイント3】

「必修例題4」は、円周上を移動する点の問題です。円の中心と移動する円周上の2点をそれぞれ結んでできる2本の直線の作る角度を考える問題です。そのため、点の移動の速さを、角度を用いて表すことが必要になります。点Pは1周するのに18秒かかります。よって、1周360度を18秒で動くことになりますので、360÷18=20 より、点Pの速さは毎秒20度です。同様に、360÷12=30 より、点Qの速さは毎秒30度です。

  1. Aを同時に出発して、1秒間に20+30=50度はなれますから、直角=90度はなれるのは、90÷50=1.8 より、1.8秒後です。
  2. P、O、Qの順に一直線上に並ぶのは、2点PとQが180度はなれるときです。180÷50=3.6 より、3.6秒後です。

<算数 4年下 第17回>

第17回は『速さ(1)』です。速さの問題は、中学入試の問題で最頻出単元の1つです。基本からしっかりと身につけてください。速さとは、一定の時間で進む道のりを表したものです。一定の時間が、1秒の場合を秒速(毎秒)、1分の場合を分速(毎分)、1時間の場合を時速(毎時)といいます。このように、速さの単位は、時間の単位と長さの単位を合わせて使いますので、単位換算(単位を変える)の場合に注意が必要です。

【攻略ポイント1】

「必修例題1」は、単位換算の問題です。

  1. 秒速4mは、1秒間に4m進む速さで、分速□mは、1分間に□m進む速さです。1分=60秒ですから、4mを60回くり返して、1分間に進む道のりになります。4×60=240 より、分速240mです。
  2. 秒速5mは、1秒間に5m進む速さで、時速□kmは、1時間に□km進む速さです。1時間=60分=3600秒、1km=1000mですから、5mを3600回くり返した道のりを、メートル単位からキロメートル単位に直します。5×3600÷1000=18 より、1時間で18km進むことになりますので、時速18kmです。
  3. 時速3kmは、1時間に3km進む速さで、分速□mは、1分間に□m進む速さです。1時間=60分、3km=3000mですから、3000÷60=50 より、1分間で50m進む速さ、つまり、分速50mです。
  4. 時速72kmは、1時間に72km進む速さで、秒速□mは、1秒間に□m進む速さです。1時間=3600秒、72km=72000mですから、72000÷3600=20 より、1秒間で20m進む速さ、つまり、秒速20mです。
【攻略ポイント2】

速さの3公式について学習します。速さの3要素である、速さ、道のり、時間を求める問題です。3つの公式がありますが、 [速さ×時間=道のり]のかけ算の形を基本公式として、必要により逆算を使った解法を説明します。また、速さの問題では、速さ、時間、道のりの単位がそろっていることが重要です。時速□qでは、時間の単位は時間、道のりの単位はqにそろえて、計算します。同様に、分速□mでは、分、mに、秒速□mでは、秒、mにそろえます。

「必修例題2」は、速さを求める問題です。

  1. 分速□m×12分=840m となりますので、840÷12=70 より、速さは分速70mです。
  2. 分速□km×20分=15km となりますが、単位がそろっていませんので、20分を時間の単位に直します。1分=1/60時間ですから、20分=20/60時間=1/3時間です。よって、時速□km×1/3時間=15km となりますので、15÷1/3=45 より、速さは時速45kmです。

「必修例題3」は、道のりを求める問題です。

  1. 分速60m×16分=□m となりますので、そのまま計算します。60×16=960 より、960mです。
  2. 時速72m×1時間45分=□km となりますが、45分を時間単位に直さなければいけません。45分=45/60時間=3/4時間です。よって、時速72km×1・3/4時間(=1+3/4)=□km となって、72×1・3/4=126 より、126kmです。

「必修例題4」は、時間を求める問題です。

  1. 分速75m×□分=1200m となりますので、1200÷75=16 より、16分です。
  2. 時速40km×□分=24km となります。24÷40=0.6 より、0.6時間を分に直します。1時間=60分ですから、60×0.6=36 より、36分です。

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