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2017.4.25配信
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四谷大塚・早稲田アカデミー4・5年生 予習シリーズ算数上 第11回攻略ポイント

<算数 5年上 第11回 >

第11回は『柱体とすい体』です。底面の形が円や三角形、四角形、などで、太さの変わらない柱のような立体である円柱、三角柱、四角柱、などの立体を柱体といいます。また、同じく底面の形が円や三角形、四角形、などで、上にのびるにつれて細くなり、最終的に点になる円すい、三角すい、四角すい、などの立体をすい体といいます。これらの立体の体積や表面積を学習します。

【攻略ポイント1】

「必修例題1」は、角柱の体積、表面積を考える問題です。ここでは、台形の部分を底面とすることにより、太さの変わらない角柱として考えることがポイントになります。体積も表面積も、計算に底面積を使用するので、まず、底面積である台形の面積を求めておきます。(5+8)×4÷2=26より、台形の面積は26平方cmです。

  1. 角柱の体積は、[底面積×高さ]です。高さは6cmですから、26×6=156より、この立体の体積は、156立方cmです。
  2. 角柱の表面積は、[底面積×2+側面積]です。角柱の側面積は、展開図で考えると、底面1周の長さを横の長さとし、角柱の高さをたての長さとする長方形になります。ですから角柱の側面積は、[底面1周の長さ×高さ]です。底面1周の長さは、4+8+5+5=22cmですから、角柱の側面積は、22×6=132平方cmです。よって、26×2+132=184より、この立体の表面積は184平方cmです。

「必修例題2」は、円柱の体積、表面積を考える問題です。柱体は、円柱も角柱も体積、表面積の求め方は同じです。まず、底面積である円の面積を求めます。底面積は、4×4×3.14=(16×3.14)平方cmです。3.14のついた数量は、3.14をまとめてから計算します。

  1. 高さは6cmですから、16×3.14×6=96×3.14=301.44より、この円柱の体積は、301.44 立方cmです。
  2. 側面積は、[円周×高さ]です。高さは6cmですから、4×2×3.14×6=(48×3.14)平方cmです。よって、(16×3.14)×2+(48×3.14)=(32+48)×3.14=80×3.14=251.2より、この円柱の表面積は、251.2平方cmです。
【攻略ポイント2】

「必修例題3」は、展開図から、組み立ててできる立体の体積を求める問題です。辺の長さに注目して、組み立てた立体は、三角すいとなります。このすい体の体積は、[底面積×高さ×1/3]です。1/3をかける前の計算は、円柱や角柱である柱体の体積計算と同じです。つまり、同じ大きさの底面と、同じ高さをもつ柱体の体積を、1/3倍すると、円すいや角すいであるすい体の体積になります。
 問題を解きます。底面は、底辺と高さが6cm、9cmの三角形ですから、底面積は6×9÷2=27平方cmです。高さは底面に垂直にはかった長さですので、6cmが高さです。よって、27×6×1/3=54より、この立体(三角すい)の体積は、54立方cmです。すい体の体積を求める際には、高さがどの長さになるかに、よく注意してください。

「必修例題4」は、円すいの展開図から母線(=側面のおうぎ形の半径)の長さ、円すいの表面積を考える問題です。 問題に入る前に、重要なことを説明します。展開図を組み立てると、側面であるおうぎ形の弧の長さ(Aとする)と、底面である円の円周(Bとする)は重なりますので、同じ長さです。A=母線×2×3.14×(中心角/360)と、B=底面半径×2×3.14 は等しくなります。A、Bのどちらにも使われている(2×3.14)をなくしても、等しくなりますので、母線×(中心角/360)=底面半径です。このことから、[中心角/360=底面半径/母線]や[中心角=底面半径/母線×360]という関係が成り立ちます。また、側面であるおうぎ形(半径は、母線という言葉を使います)の面積ですが、母線×母線×3.14×(中心角/360)という計算になりますが、上記の関係を考えて、この式は、母線×母線×3.14×(底面半径/母線)となり、母線どうしが約分できますので、結果として、[側面積=母線×底面半径×3.14]という公式ができます。ここに記した関係(公式)は、大切ですので、しっかり理解してください(予習シリーズ102ページの解説を参考してください)。

  1. 母線の長さを□cmとして、底面の半径は5cmですから、5/□=120/360となります。120/360=1/3=5/15です(5/□の分子5にそろえました)。よって、□=15になりますので、母線の長さは15cmです。
  2. 円すいの表面積は、[底面積+側面積]です。底面積は円ですから、5×5×3.14=(25×3.14)平方cmです。側面積は、公式により、15×5×3.14=(75×3.14)平方cmです。よって、(25+75)×3.14=100×3.14=314より、円すいの表面積は、314平方cmです。

まずは、公式をしっかり使えるようトレーニングしてください。

<算数 4年上 第11回 >

第11回は『大きな数とおよその数』です。整数の万の位より大きい位を学習します。また、数の範囲を表す、以上、以下、未満という用語を学習し、同時にこれらの用語を使ったおよその数(がい数)についても学習します。

【攻略ポイント1】

「必修例題1」は、整数の位についての学習です。整数の位は、一の位、十の位、百の位、千の位、万の位がありますが、その上は、1万倍ごとに、億の位、兆の位と続きます(その後も位を表す言葉は続きますが、小学校で学習するのは、兆の位までです)。まとめますと、一、十、百、千、に続いて、一万、十万、百万、千万、となり、その後は、(小の位と名付けておきます)一、十、百、千の後に億や兆(大の位と名付けておきます)を付けて、一億、十億、百億、千億、一兆、十兆、百兆、千兆となります。

  1. 問題の数を右から4けたごとにたて線で区切っておくと、わかりやすいです。一億の位は、右から、9つ目ですから、「8」です。
  2. 4けたごとに区切ると、4組目は(75)で、(大の位の)兆となります。よって、七十五兆です。このように、各組を小の位で読んでその後に大の位を順に付けて読みます。以下、(0268)に億の位を付け、(1205)に万を付け、最後は(3007)です。よって、「七十五兆二百六十八億千二百五万三千七」です。
  3. 数は、位にある数字が等しければ、右から左に1けた動くと10倍になり、2けた動くと10×10=100倍になり、3けた動くと10×10×10=1000倍になります。以下同じ仕組みです。右の「2」から、左の「2」へ4けた動いていますので、10×10×10×10=10000より、左の「2」が表す数の大きさは右の「2」が表す数の大きさの一万倍です。
【攻略ポイント2】

「必修例題2」は、以上、以下、未満という用語の内容を考える問題です。 例えば、5以上とは、5の数を入れて5より大きい数を範囲とする用語です。また、5以下とは、5の数を入れて5より小さい数を範囲とする用語です。そして、5未満とは、5の数を入れずに5より小さい数を範囲とする用語です。この未満は、小数を考える場合によく使われます。つまり、5未満とは、4以下のことではなく、5より少しでも小さい数を表しますので、4.999……から小さい数全体を範囲とします。

  1. 10以上の数は、11、13、15の3個です。
  2. 9以下の数は、9を入れて、7、5、3、1の5個です。
  3. 5未満の数は、5は入れずに、3、1の2個です。

「必修例題3」は、範囲を考える問題です。
 5日目に読んだページ数が不明ですが、少なくとも1ページはあり、最大でも12ページです。4日目までに、4×12=48より、48ページは読んでいますから、合計のページ数は、48+1=49、48+12=60より、この本のページ数は、49ページ以上60ページ以下です。

【攻略ポイント3】

「必修例題4」は、およその数を作る3つの方法を考える問題です。
「およその数」とは、きりのよい数にすることで、例えば、1295人を、「およそ1300人」と表すことです。「数をまるめる」という言い方もあります。この数の場合、95人というはんぱな数を100人として増やす方法を、[切り上げ]といい、0人として無くす方法を、「切り捨て」といいます。もう1つ、真ん中の50人を基準にして、50人以上の場合は100人として切り上げ、50人に満たない(未満の)場合は0人として切り捨てる方法があります。この方法を、「四捨五入」といいます。
 鹿児島県の人口、1706428人を万人の位までのおよその数にします。この場合、千の位以下の数(6428人)が問題になります。 「切り捨て」の場合は、千の位以下に数があっても、0人としますので、170万人です。 「切り上げ」の場合は、千の位以下に1人でもあれば、1万人としますので、171万人です。 「四捨五入」の場合は、千の位の数字で切り捨てか、切り上げを決めます。千の位の数字は6で、5以上ですから、切り上げます。よって、171万人です。

数の位の仕組みを理解しましょう。また、以上、以下、未満の用語をきちんと覚え、およその数の求め方をマスターしましょう。

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