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2017.5.16配信
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四谷大塚・早稲田アカデミー4・5年生 予習シリーズ算数上 第13回攻略ポイント

<算数 5年上 第13回 >

第13回は『場合の数(4)』です。今回は、「組み合わせ」を学習します。組み合わせとは、選ぶ順番は考えずに、組のメンバーを選ぶ場合の数を言います。例えば、A、B、C、D、Eの5人の中から2人の組を考えます。並べ方では、順番を考えて、ABとBAは別々に2通りと数えますが、顔ぶれは同じなので、組み合わせ(選び方)では1通りと数えます。

【攻略ポイント1】

「必修例題1」では、赤玉が2個、白玉が2個、青玉が1個の合計5個の玉の中から3個の玉を選ぶ、場合の数を考える問題です。同じ色の玉がある場合には注意が必要で、樹形図を利用します。予習シリーズ119ページの解き方にある樹形図を参照して下さい。赤玉の選び方に注目して、赤玉を2個選ぶ場合、1個選ぶ場合、選ばない場合、と3つの場合に分けて考えます。赤玉を2個選ぶ場合は、赤−赤−白、赤−赤−青、の2通りとなります。次に、赤玉を1個選ぶ場合、赤−白−白、赤−白−青、の2通りとなります。赤玉を選ばない場合、白−白−青、の1通りとなります。よって、それぞれの場合の数を合計して、2+2+1=5の5通りが答えです。

「必修例題2」は、計算により求めます。日直の2人を、並び方の規則(積の法則)で計算すると、5×4=20通りになります。ですが、たとえば、AとB、BとAのように、顔ぶれとしてはおなじものが含まれます。つまり、並び方の20通りの中には、選び方としては、2通りずつ同じものが入ります。そこで、20÷2=10より、2人の日直の選び方は10通りとなります。

この問題のように、選び方(組み合わせ)の計算では公式を作ることができます。全体数N個の中から、A個を選ぶ場合の選び方の計算(簡単に、NのAの組み合わせといいます)は、NのAの並び方の計算結果を、AのAの並び方の計算結果で割り算します。例えば、
5の2の組み合わせは、(5×4)÷(2×1)、
5の3の組み合わせは、(5×4×3)÷(3×2×1)、
6の2の組み合わせは、(6×5)÷(2×1)、
6の3の組み合わせは、(6×5×4)÷(3×2×1) となります。

「必修例題3」では、上の公式を利用して計算します。

  1. 男子4人の中から3人を選ぶ問題です。4の3の組み合わせ計算で、(4×3×2)÷(3×2×1)=(4×3×2)/(3×2×1)=4ですが、4人から3人を選ぶということは、1人が残るということと同じになります。この残りの1人の選び方を考えてもよいのですから、4通りです。つまり、4の3の組み合わせ計算は、4の(4−3=)1の組み合わせ計算と同じ結果が得られます。このことは、よく使われる考え方です。たとえば、12色の色鉛筆の中から10色の色鉛筆を選びなさい、といった問題もありますが、これは、12の(12−10=)2の組み合わせ計算の問題になります。より小さな数の組み合せの問題として解く方が、間違いが起こる可能性を減らすことができます。
  2. 男子4人の中から2人を選び、女子3人の中から1人を選ぶ問題です。これは、男子は4の2の組み合わせ計算、女子は3の1の組み合わせ計算で、この2つの計算結果を積の法則で計算します。男子は、(4×3)/(2×1)=6通り。女子は3通りです。男子の2人を選び、続けて女子の1人を選びますので、6×3=18という積の法則より、18通りです。
【攻略ポイント2】

「必修例題4」は、点を選んで三角形を作る問題です。
直線アの上の3個の点と、直線イの上の2個の点の、合わせて5個の点のうち、3個を選びます。5の3の組み合わせ計算ですが、これは5の(5−3=)2の組み合わせ計算と同じですから、(5×4)/(2×1)=10となります。ただし、直線アの上の3個の点を使っても三角形はできません。よって、1通り少なくなりますので、10−1=9より、三角形は9個できます。

「必修例題5」は、0、1、2、3、4、5の6枚のカードから3枚を選んで、3けたの9の倍数が何通りできるかを考える問題です。 まず、9の倍数となる数は、各位の数字の和が9の倍数になっていることを確認してください。予習シリーズ122ページにある、各倍数の見分け方を覚えましょう。そこで、6枚のカードの中から3枚を選んで、その3枚の数字の和が9となる組み合わせを作ります。(ア) (0、4、5)、(イ) (1、3、5)、(ウ) (2、3、4)が条件に合います。次に、それぞれの並べ方を考えます。(ア)百の位は、0を除く4か5の2通り、十の位は、百の位に置いたカード以外の2通り、一の位には残りの1通りが置けますので、2×2×1=4通り作ることができます。(イ)、(ウ)は、どちらも条件はありませんので、百の位、十の位、一の位の順に並べ方を考えると、3×2×1=6通りずつできます。場合に分けましたので、和の法則を使って、4+6+6=16より、9の倍数は全部で16通りできます。

【攻略ポイント3】

「必修例題6」は、試合数の問題です。試合の仕方は、(1)のリーグ戦(総当たり戦)と、(2)のトーナメント戦(勝ち抜き戦)があります。名前を覚えるとともにしっかり区別して下さい。

  1. リーグ戦は、それぞれのチームが他のチームと総当たりで対戦する試合方法です。6チームのうち、2チームずつが対戦しますから、6の2の組み合わせ計算ということになります。よって、(6×5)/(2×1)=15より、15試合となります。
  2. トーナメント戦は、最後に1チームが優勝しますが、このことは、残りの5チームはいずれかの試合で負けるということです。1試合に1チームが負けますので、5チームが負けるということは、5試合ある、ということです。つまり、トーナメント戦では全チーム数から優勝する1チームを除いた数が、試合数となるわけです。答えは5試合です。

場合の数は、中学入試に出題される問題では難問が多い内容です。条件をきちんと考えて解く姿勢を身につけてください。

<算数 4年上 第13回 >

第13回は『周期算』です。数や文字、あるいは図形がくり返しかかれている列において、くり返しのパターンを{周期}といいます。周期算は、この周期に注目して、特定の数や文字や図形が、列の中に何個あるかを考えたり、□番目にくるものは何かを考える問題です。なお、メルマガでは○の中に数値は入る記号を表せませんので、○の中に1は「マル1」のかたちで表記します。

【攻略ポイント1】

「必修例題1」は、白い丸と黒い丸を合わせて75個並べた列について考える問題です。まず、周期を考えます。はじめから3番目にくる白丸に注目して、{黒、黒、白、黒}の4個を1つの組(=周期)とします。

  1. 75÷4=18組あまり3個となります。よって、周期の3個目が最後ですので、最後に並べた記号は、白です。
  2. 黒は1組の中に3個あります。18組それぞれに3個ずつと、あまりの3個のうちに2個ありますので、3×18+2=56より、黒は56個です。

「必修例題2」は、1、2、3の3種類の数を、あるきまりで並べた数列についての周期算の問題です。周期は、{1,2,3,2,1}の5個1組です。

  1. 34÷5=6組あまり4個ですから、はじめからかぞえて34番目は、あまりの4より、周期の4個目の2です。
  2. 1組{1,2,3,2,1}の和は、1+2+3+2+1=9です。あまりの4個の和は、1組5個のうち最後の1が1個足りないのですから、9−1=8となります。よって、9×(6+1)組−1=62より、34番目の数までの和は、62です。
  3. 300÷9=33組あまり3となりますが、あまりの3は、和としての3ですから、1+2=3より、周期の1番目と2番目の2個あまるという意味です。よって、5個×33+2個=167個より、最後に加えたのは、167番目の数です。
【攻略ポイント2】

「必修例題3」は、図形の周期算の問題です。くり返しの図形を見つけます。5cmを1辺として、辺4つを1組とした図形のくり返しを考えます。山の部分は1組に1つずつできますから、マル9の番号の山をのぞいて、繰り返しの図形が8組できて、最後のマル9の山は辺3つになっています。予習シリーズ101ページの解き方にある図を参照してください。

  1. 図のXの長さは、くり返しの図形1組のうち、山と谷の部分の長さが集まったものですから、1組で、5+5=10cmです。また、最後の図形は山の部分の5cmまでです。よって、10cm×8組+5cm=85cmより、Xの長さは、85cmです。
  2. くり返しの図形1組で、針金は5×4=20cmです。また、最後の図形は辺が3つですから、5×3=15cmです。よって、20cm×8組+15cm=175cmより、針金の長さは全部で、175cmです。
【攻略ポイント3】

「必修例題4」は、日付と曜日の問題です。基礎知識として、それぞれの月が何日間あるかを覚えておく必要があります。1月から順に、1月は31日、2月は28日(4年に1度のうるう年では29日)、3月は31日、4月は30日、5月は31日、6月は30日、7月は31日、8月は31日、9月は30日、10月は31日、11月は30日、12月は31日です。
解くための手順としては、まず日数計算、次に曜日計算となります。日数計算とは、○月○日から×月×日までの日数を計算することです。月の途中から数える場合に注意が必要です(解き方の中で説明します)。また、曜日計算は周期算の考えで、7日ごとに分けた(7で割る)ときのあまりが重要になります。

  1. 6月23日から8月5日までの日数を数えます。6月中の日数(23日から30日まで)は、30−23+1=8日間です。この場合、(30−23)にして計算すると、23日が入らなくなりますので、(+1)が必要です。ここが注意すべき点です。7月はすべての日数を数えて31日間、8月は(1日から5日まで)5日間です。よって、日数は合計して、8+31+5=44日間となります。次に曜日計算ですが、この44日を、1週間の7日ずつに分けますので、44÷7=6週あまり2日となります。このあまりの2日は、数え始めた6月23日の火曜日から曜日がくり返していますので、あまりの1日目も火曜日です。よって、8月5日は、水曜日です。
  2. 5月10日から6月23日までの日数を数えます。5月中の日数(10日から31日まで)は、31−10+1=22日間です。6月は(1日から23日まで)23日間ですから、日数は合計して、22+23=45日間です。45÷7=6週あまり3日となりますが、ここでは、前にもどっていくことを考えますので、{火、月、日、土、金、木、水}という周期です。よって、あまりの3日は、火、月、日となりますので、5月10日は、日曜日です。
 

周期算では、割り算のあまりがポイントとなります。必修例題3にもありますように、あまりが何を表しているのかをきちんと考えましょう。

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