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2017.6.20配信
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四谷大塚・早稲田アカデミー4・5年生 予習シリーズ算数上 第18回攻略ポイント

<算数 5年上 第18回 >

第18回は『旅人算とグラフ(1)』です。旅人算は、2人以上の旅人(登場人物)が出会ったり、追いついたりするときの、速さ、時間、距離を考える問題です。ダイヤグラム(たて軸に距離を表し、横軸に時間を表したグラフ)も使用して考えます。旅人算の基本は、2人が出会う(近づく)問題であっても、反対方向に離れていく(遠ざかる)問題であっても、距離の和を考える問題では、2人の速度の和を考えます。また、距離の差を考える問題では、追いつく(近づく)問題であっても、同じ方向に離れていく(遠ざかる)問題であっても、2人の速度の差を考えます。

【攻略ポイント1】

「必修例題1」は、距離の和を考える問題です。

  1. 分速85mで歩く人と、分速65mで歩く人が向かい合って進みます。向かい合って18分進んだときの距離、つまり、2人の歩いた距離の和が、AB間の距離です。1分間で2人合わせて85+65=150m進みますから、150×18=2700より、2700m=2.7km進んで出会いますので、AB間は2.7kmです。ここでは、速度の和×時間=近づいた距離(距離の和)という関係になっています。
  2. 家から駅までの距離である1200mは、姉と妹が歩いた距離の和です。1.と同様に、姉と妹の速度の和である、80+70=150に時間□分をかけると、家から駅までの距離になりますから、150×□=1200となります。よって、1200÷150=8より、8分後に出会います。

「必修例題2」は、距離の差を考える問題です。

  1. 次郎君が出発するときに、太郎君は、10分間進んでいますので、65×10=650m離れています。これは、次郎君が出発するときの、太郎君と次郎君の距離の差です。1分後には、2人の速度の差である、90−65=25m近づきます。650m近づくと追いつくことになりますから、650÷25=26より、26分後に追いつくことになります。ここでは、速度の差×時間=離れている距離(距離の差) という関係から、距離の差÷速度の差=時間を考えています。
  2. 540mは、お母さんが出発するときの、お母さんとゆみさんの距離の差です。ゆみさんの速度を分速□mとして、ゆみさんとお母さんの速度の差である分速(240−□)mで進んで、3分後に追いついたということは、離れていた距離の540mが縮まったということになります。つまり、(240−□)×3=540と整頓できます。よって、540÷3=180が、速度の差である、240−□ですから、240−180=60より、ゆみさんの速度は、分速60mです。

「必修例題3」も、距離の差を考える問題です。

  1. 妹が家を出発してから8分後に、姉が妹を追いかけます。姉が妹を追いかけて7分たった時、妹は毎分60mの速度で、8+7=15分進みましたから、家から60×15=900m離れた地点にいます。また、姉は、妹より305m手前ですから、家から900−305=595m離れた地点にいます。よって、姉は7分で595m進みました。595÷7=85より、姉の走る速さは、毎分85mです。
  2. 2人の速度の差は、85−60=15mで、姉が家を出発して7分後の距離の差である305m近づくと追いつきますから、305÷15=12.2より、姉は家を出発してから7+12.2=19.2分後で、0.2分=12秒ですから、19分12秒後に妹に追いつくことになります。
【攻略ポイント2】

旅人算を表すダイヤグラムについて学習します。右上がりのグラフと右下がりのグラフが同時に示されている場合は、出会いの問題です。この場合は、横軸の右方向にある(あとに出発した人の)出発時刻を元にしてグラフの間の距離を考えます。右上がりどうし右下がりどうしのグラフが同時に示されている場合は、追いつきの問題です。この場合も同様に、横軸の右方向にある出発時刻を元にしてグラフの間の距離を考えます。予習シリーズ168ページの図を参照して下さい。

「必修例題4」は、旅人算とダイヤグラムの問題です。
 A君の動きを表す直角三角形では、距離(たての長さ)は1500m、時間(横の長さ)は(20−5=)15分ですから、1500÷15=100より、A君の速度は、分速100mとわかります。B君の動きを表す直角三角形では、距離(たての長さ)は1500m、時間(横の長さ)は25分ですから、1500÷25=60より、B君の速度は、分速60mとわかります。B君が出発して5分後のA君とB君の間は、1500−60×5=1200m離れています。よって、1200÷(100+60)=7.5より、7.5分後にすれちがいますから、B君が出発して5+7.5=12.5分、つまり12分30秒後に2人はすれちがいます。B君が出発してからの時間ですから、A君が出発する前の5分を加えることを忘れないようにしましょう。

【攻略ポイント3】

「必修例題5」は、折り返しの旅人算です。太郎君と次郎君が、AB間を往復します。太郎君の方が次郎君より速いので、2人が出会うのは、太郎君がB地点を折り返したあとです。ですから、2人が出会うまでに進んだ距離の和は、AB間の往復の距離となります。距離の和を考えますから、速度も和を使うことになります。速度の和は、80+60=140で、24分たつと、140×24=3360より、AB間の往復の距離は、3360mです。よって、片道は、3360÷2=1680より、AB間の道のりは1680mです。予習シリーズ169ページの解き方にある図を参照してください。

<算数 4年上 第18回 >

第18回は『四角形の面積』です。予習シリーズ137ページから138ページにある、四角形の分類と性質をよく読み、四角形の種類および性質の関連を理解しておきましょう。

【攻略ポイント1】

「必修例題1」は、四角形の内角について、角度を求める問題です。それぞれの四角形の角度の性質を考えて解きます。

  1. 台形では、図の左側にあるアの角と81度の角の和は180度になります(予習シリーズ137ページの説明にあります)。よって、180−81=99より、アの角の大きさは、99度です。
  2. 平行四辺形でも、(1)と同様に、となり合う角の和は180度になります。180−68=112度で、この角は、イの角と61度の和になっています。よって、112−61=51より、イの角の大きさは、51度です。
  3. ひし形の4つの辺の長さはすべて等しいですから、1本の対角線によって、同じ形、同じ大きさの2つの二等辺三角形になります。1つの二等辺三角形において、37度の角が2つとウの角の和は180度になっています。よって、180−37×2=106より、ウの角の大きさは、106度です。
【攻略ポイント2】

平行四辺形、台形、ひし形の面積の求め方を学習します。これらの図形は、長方形を変化させてできた図形ですので、面積の公式も、長方形の面積の求め方から出発しています。
予習シリーズに書いてある、公式の成り立ちを理解して、必ず使えるようにしましょう。
また、底辺と高さの関係は、必ず、直角になっていることに注意してください。

「必修例題2」は、平行四辺形の面積を求める問題です。
 平行四辺形の面積=底辺×高さです。よって、12×5=60より、面積は、60平方cmです。

「必修例題3」は、台形の面積を求める問題です。
 台形の面積=(上底+下底)×高さ÷2です。上底とは上にある底辺、下底とは下にある底辺のことです。よって、(5+12)×6÷2=51より、面積は、51平方cmです。

「必修例題4」は、ひし形の面積を求める問題です。
 ひし形の面積=対角線×対角線÷2です。2つある対角線のそれぞれの長さをかけて2でわります。よって、9×12÷2=54より、面積は、54平方cmです。

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