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2017.6.27配信
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四谷大塚・早稲田アカデミー4・5年生 予習シリーズ算数上 第19回攻略ポイント

<算数 5年上 第19回>

第19回は『旅人算とグラフ(2)』です。円周上の旅人算、往復の旅人算、登場人物3人の旅人算を学習します。

【攻略ポイント1】

「必修例題1」は、池のまわりを歩く旅人算です。

  1. P地点から、A君とB君が反対方向に進みますので、1分間に75+60=135mずつ(速度の和)離れていきます。8分で出会いますから、2人が8分間で進んだ距離の和が、池1周分になります。135×8=1080より、池のまわりの長さは1080mです。
  2. 2回目に出会うのも、また8分かかりますので、2回目に出会うのは、出発して(8+8=)16分後です。A君の進んだ距離で考えて、75×16=1200m進んだときですから、1200−1080=120で、この長さは1080÷2=540より短いですから、答えは、P地点から120mのところです。

「必修例題2」は、公園のまわりを、同じ方向にA、B、Cの3人が動く旅人算です。

  1. 毎分70mの速さで歩くAと、毎分250mの速さの自転車で進むCが、同じ地点から同時に同じ方向に出発します。CがAに追いつくのは、CがAより、1周の長さ900m多く進むときです。CはAより、1分間に250−70=180m(速度の差)多く進みますから、900÷180=5より、5分後です。
  2. Cは(5+4=)9分後にBに追いつきますが、この9分でBとCの進んだ距離の差が公園のまわり1周分つまり、900mです。よって、900÷9=100より、BとCの速さの差は毎分100mとわかります。CがBに追いつくということは、Cの方が速いということですから、250−100=150より、Bの走る速さは、毎分150mです。
【攻略ポイント2】

「必修例題3」は、2人の登場人物(太郎君と花子さん)が、はなれた2地点から向かい合って往復する問題です。往復する問題は、この後もよく出てきます。往復の動きを正確に理解するには、動き表す線分図が有効となります。線分図のかき方をしっかりと覚えられるように練習してください。

  1. 反対方向に進みますので、速度は和を考えます。1800÷(70+50)=15より、2人がはじめて出会うのは、15分後です。
  2. 予習シリーズ177ページの解説にある線分図を参照して下さい。2度目に出会うのは、1 度目に出会った後に、2人合わせて1往復したときです。つまり、AB間を2つ分動きます。1度目に出会うのが、AB間を1つ分で15分ですから、2つ分では15×2=30分かかります。よって、スタートしてから、15×3=45分後です。花子さんは45分で、50×45=2250m進みますから、2250−1800=450より、2人が2度目に出会うのは、A地点から450mのところです。
  3. はじめて追いつくのは、太郎君が花子さんより、AB間を1つ分、つまり1800m多く進むときです。1800÷(70−50)=90より90分後です。(1)、(2)で考えたように、1度目の出会いは15分後、その後30分ごとに出会いますので、90分までには、15分後、45分後、75分後の3回出会います。

整頓すると、離れた2地点から向かい合って往復する問題では、スタートして1度目の出会いまでに進んだ距離の合計は、AB間の距離を1つ分で、1度目の出会いから2度目の出会いまでに進んだ距離の合計は、AB間の距離を2つ分です(スタートしてからは3つ分)。ですから、時間も、スタートして1度目の出会いまでの時間を1とすると、1度目の出会いから2度目の出会いまでの時間は、2倍となります(スタートしてからは3倍)。

【攻略ポイント3】

「必修例題4」は、ダイヤグラムの問題です。

  1. 前問と同様、離れた2地点から向かい合って往復する問題です。2度目の出会いは、スタートしてから1度目の出会いかかる時間の3倍の時間がかかります。よって、ダイヤグラムから、1度目の出会いは28分後ですので、28×3=84より、aは84(分)です。
  2. 2度目に出会うまでに、太郎君は11.2×2−3.5=18.9km進んでいます。よって、18.9÷84/60=13.5より、太郎君の速さは時速13.5kmです。また、花子さんは、11.2+3.5=14.7km進んでいます。よって、14.7÷84/60=10.5より、花子さんの速さは時速10.5kmです。

ダイヤグラムから折り返しの距離を求めることは、はじめのうちは難しく感じるかもしれません。それでも、慣れれば読み取れるようになりますので、くりかえし演習を重ねましょう。

<算数 4年上 第19回 >

第19回は『三角形の面積』です。三角形の面積計算は、基本的には、正方形、長方形、平行四辺形の面積の、半分あるいは4等分を考えます。

【攻略ポイント1】

「必修例題1」は、直角三角形の面積計算です。

  1. 直角三角形は、1本の対角線で長方形を2等分した図形です。よって、たて2cm、横7cmの長方形の面積を2でわります。4×7÷2=14より、この直角三角形の面積は、14平方cmです。
  2. 直角二等辺三角形は、2本の対角線で正方形を4等分した図形です。よって、6cmを1辺とする正方形の面積を4でわります。6×6÷4=9より、この直角二等辺三角形の面積は、9平方cmです。
【攻略ポイント2】

直角が1つもない、一般的な三角形の面積を求める公式を学習します。予習シリーズ146ページにある、公式の成り立ちを参照してください。基本は、1本の対角線で平行四辺形を分けた三角形です。平行四辺形の面積=底辺×高さより、三角形の面積=底辺×高さ÷2となります。また、平行四辺形の面積の求め方で学習したように、三角形においても底辺と高さは、必ず直角の関係になっていることを忘れないようにしてください。

「必修例題2」は、一般的な三角形の面積をもとめる問題です。

  1. 底辺は12cm、高さは7cmですから、12×7÷2=42より、この三角形の面積は、42平方cmです。
  2. 底辺と高さは直角の関係になっていなければならないので、底辺は9cm、高さは8cmです。よって、9×8÷2=36より、この三角形の面積は、36平方cmです。
  3. 直角二等辺三角形ですから、必修例題1の(2)と同様、8×8÷4=16より、この三角形の面積は、16平方cmです。別の考え方もできます。8cmの辺を底辺として考えると、底辺に含まれない残りの1つの頂点から、この底辺に直角になる線を引いて高さを作ることができます。この線によって、直角二等辺三角形は、大きさの等しい2つの小さな直角二等辺三角形に分かれます。そして、それぞれの等しい辺の長さは、8÷2=4cmになります。つまり、底辺8cmで、高さは4cmです。よって、8×4÷2=16より、面積は16平方cmと考えられます。予習シリーズ147ページの解き方(3)を参照してください。

「必修例題3」も、一般的な三角形の面積を求める問題です。

図の三角形の、斜めの辺を対角線とした平行四辺形を考えます。この平行四辺形は、底辺が6cmで、高さは、底辺と直角の関係にある4cmとなります。ですから、三角形の面積として、6×4÷2=12より、この三角形の面積は、12平方cmです。
 この三角形のように、三角形の内側に高さがない場合の注意点をお話しします。1つの辺を底辺とし、残りの1つの頂点から、この底辺に直角になる線を引き、この線の長さを高さとします。ですが、この線は、底辺を伸ばした(延長した)線と交わる線でもかまいません。このことを、きちんと理解してください。予習シリーズ147ページの例題の前にある説明を参照してください。

【攻略ポイント3】

「必修例題4」は、一般的な(面積公式の使えない)四角形の面積を求める問題です。このような場合は、三角形の面積を利用します。

  1. 四角形ABCDを三角形ABDと三角形CBDに分けて、三角形の面積を合計します。三角形ABDは、底辺10cm、高さ7cmですから、10×7÷2=35平方cmです。また、三角形CBDは、底辺10cm、高さ5cmですから、10×5÷2=25平方cmです。よって、35+25=60より、四角形ABCDの面積は、60平方cmです。
  2. 四角形AECDの面積は、台形ABCDの面積から三角形EBCの面積をひいて求めます。台形ABCDは、上底6cm、下底8cm、高さ5+5=10cmですから、(6+8)×10÷2=70平方cmです。三角形EBCは、底辺8cm、高さ5cmですから。8×5÷2=20平方cmです。よって、70−20=50より、四角形AECDの面積は、50平方cmです。

多角形の面積は、前回に学習した四角形、今回学習した三角形を利用して面積計算をおこないます。これらの図形に分けて計算した上で合計して面積を求めるか、引いて面積を求めるかの2通りを考えて求めていきます。

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