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2017.10.3配信
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四谷大塚・早稲田アカデミー4・5年生 予習シリーズ算数下 第6回攻略ポイント

<算数 5年下 第6回 >

第6回は『速さと比(1)』です。速さの基本公式 [速度×時間=距離] において、速度・時間・距離の3要素のうち、どれか1つが一定ならば他の2つは比例か反比例になります。
整頓しておきます。(ア)速度が一定のときは、時間と距離は比例します(時間比と距離比は等しくなります)。(イ)時間が一定のときは、速度と距離は比例します(速度比と距離比は等しくなります)。(ウ)距離が一定のときは、速度と時間は反比例します(速度比と時間比は逆比になります)。
このことを使って、速さと比の問題を解いていきます。なお、分数は、分子/分母の形で表します。

【攻略ポイント1】

「必修例題1」は、速度が一定の問題です。
AB間の距離16kmとBC間の距離12kmが与えられています。速度が一定ですから、距離比=時間比となります。距離比がAB:BC=16:12=4:3より、時間比もAB:BC=4:3となります。AB間を36分で進みましたので、36÷4×(4+3)=63より、太郎君がC地に着くのは、63分後、つまり、1時間3分後です。

「必修例題2」は、時間が一定の問題です。

  1. 姉が100mを走った時間で、姉はもちろん100m進み、そのとき、妹は100−20=80m進んでいます。時間が一定ですから、速度比=距離比となります。よって、100:80=5:4より、姉と妹の走る速さの比は、5:4です。
  2. 妹が100mを走る時間で、距離比は、姉:妹=5:4ですから、100÷4×5=125より、姉は125mを走れば、妹と同時にゴールすることになります。よって、125−100=25より、姉のスタート地点を、25m後ろに下げればよいことになります。

「必修例題3」は、(家から駅までの)距離が変わらない(一定の)問題です。
毎分90mの速さで歩くとき(ア)と、毎分60mの速さで歩くとき(イ)を考えますと、家から駅まで一定の距離を進むのにかかる時間の比は、速度比の逆比になります。よって、時間比は、ア:イ=1/90:1/60=2:3になります。この時間について、電車の発車時刻の7分前と3分後では、7+3=10分の差となります。時間比ア:イ=2:3の差が10分ですから、10÷(3−2)×2=20より、アの速さで歩くときにかかる時間は20分です。よって、9時に家を出て、駅まで20分かかり、駅に着いたあと7分後に電車の発車時刻になりますので、9時+20分+7分=9時27分が、電車の発車時刻とわかります。

「必修例題4」も、(登山口から山頂までの)距離が一定の問題です。
上りと下りの速度比は、1:1.5=2:3です。距離が一定ですから、速度比と時間比は逆比となりますので、上りと下りの時間比は、1/2:1/3=3:2となります。山頂で50分休みましたので、上りと下りにかかった時間の合計は、11時20分−7時−50分=3時間30分=210分です。よって、210÷(3+2)×2=84より、下りにかかった時間は84分=1時間24分です。登山口到着の1時間24分前に山頂を出発したことになりますので、11時20分−1時間24分=9時56分が、山頂を出発した時刻とわかります。時刻のひき算にも十分に注意しましょう。

【攻略ポイント2】

問題文より、速度・時間・距離の3要素のうちの、何が一定かを読み取り、残りの2要素の関係が、比例か反比例かを考えて問題を解きます。

「必修例題5」は、距離の比と速度(比を利用してもよい)を使って時間比を求める問題です。このように、距離比÷速度比=時間比など、比の積や商を考える問題も重要です。

  1. 歩いた距離と走った距離の比は、歩き:走り=2/3:(1−2/3)=2:1です。時間(比)=距離(比)÷速度(比)ですから、時間比は、距離比の数を速度で割って求めます。2/60:1/150=5:1より、歩いた時間と走った時間の比は、5:1です。
  2. 家から駅まで行くのにかかった時間は18分です。よって、18÷(5:1)×1=3より、走った時間は3分となります。毎分150m×3分=450mが、走った距離です。歩いた距離と走った距離の比が、歩き:走り=2:1となることを利用して、450÷1×(2+1)=1350より、家から駅までの距離は、1350mです。

「必修例題6」は、距離一定の問題です。
 家から図書館までの距離は一定です。このとき、速度比と時間比は、逆比になります。時間比は、歩き:走り=45:20=9:4ですので、速度比は、歩き:走り=1/9:1/4=4:9となります。歩きの速度を4として、時間が45分かかりますので、家から図書館までの距離は、4×45=180となります。ここで、走る速度を9とし、歩く速度を4として合わせて30分で、180の距離を進むことを考えますと、つるかめ算を利用することができます。よって、(180−4×30)÷(9−4)=12より、走る時間は12分です。

「必修例題7」は、比を利用して平均速度を求める問題です。

  1. 距離が一定ですから、速度比と時間比は逆比になります。時間比は、行き:帰り=1/4:1/12=3:1となります。行きの時速4kmに時間の3をかけて、距離を4×3=12とします。平均速度=距離合計÷時間合計ですから、12×2÷(3+1)=6より、平均速度は、時速6kmです。
  2. AB間にかかる時間とBC間にかかる時間の比は、AB:BC=2/36:3/90=5:3です。よって、距離合計=36×5+90×3=450で、時間合計=5+3=8となりますので、450÷8=56.25より、平均速度は、分速56.25mです。

必修例題6や7のように、比の積や商を利用した場合でも、一部に実際数量(速度の数値)を使っているときの計算であれば、結果として実際数量を求めることができます。

<算数 4年下 第6回 >

第6回は『分配算』です。分配算とは、2つや3つの量の間で、1つの量の○倍,△倍という関係と、合計(和)や差が与えられている場合に、それぞれの実際数量を求める問題です。線分図を書いて、関係を目に見える形にすることが大切になります。予習シリーズのそれぞれの解き方にある線分図を参照してください。
なお、文字化けしますので、○に数字を入れた表示は、マル1、マル2などのように表します。

【攻略ポイント1】

「必修例題1」は、和がわかっている問題です。予習シリーズ45ページの解き方にある線分図を参照してください。

  1. 赤い金魚が白い金魚の3倍いて、合わせて20匹います。白い金魚の数をマル1(もとにする量と考える)とすると、赤い金魚は3倍のマル3となります。合計でマル4となり、20匹ですので、20÷4=5より、マル1、つまり白い金魚は、5匹です。
  2. 妹の出したお金をマル1とすると、姉の出したお金は、妹の2倍であるマル2より80円多くなり、マル2+80円と表されます。2人の出したお金の合計は、マル3+80円で、これが500円ということになります。500−80=420円がマル3ですから、420÷3=140より、マル1、つまり妹の出したお金は140円です。

線分図で表すと、マルの数字は、線上の目盛りと考えればよいことになります。

「必修例題2」は、父と子の年令において、○倍の関係が与えられた問題です。予習シリーズ46ページの解き方にある線分図を参照してください。
 子の年令をマル1とすると、父の年令はマル4と表すことができます。2人の年令の差が24才ですから、24÷(4−1)=8より、マル1は8才です。よって、8×4=32より、父の年令は32才とわかります。

【攻略ポイント2】

「必修例題3」は、兄と弟の持っているお金から同じ金額ずつ減った場合の問題です。予習シリーズ46ページの解き方にある線分図を参照してください。
同じ数量が増えたり、減ったりする場合、もともとの差は変わらないことに注目します。
 兄の800円と弟の350円の差は、2人が同じ金額を出し合ったあとも変わりません。弟の残りの金額をマル1とすると、兄の残りの金額はマル4と表すことができ、その差であるマル3は、もともとの金額の差を表しています。(800−350)÷(4−1)=150より、マル1、つまり弟の残りの金額は150円です。弟ははじめに350円もっていましたから、350−150=200円をプレゼントの代金として出したことになります。2人が同じ金額を出しましたので、200×2=400より、プレゼントの代金は、400円です。最後に、数値を2倍することを忘れないようにしてください。

【攻略ポイント3】

3つの量についての分配算を学習します。基本的には、2つの量と同様ですが、倍の関係や、増加分・減少分が加わって、複雑になります。やはり、線分図に整頓することを心がけましょう。

「必修例題4」は、三角形の角度を考えた分配算の問題です。予習シリーズ47ページの解き方にある線分図を参照してください。
 角Aの大きさをマル1とすると、角Bの大きさはマル2と表すことができます。また、角Cの大きさは、角Bの大きさより20度小さいので、マル2−20度と表すことができます。ここで、問題文には出ていない条件である、三角形の内角の和は180度であることを使います。角A、B、Cの大きさの合計は、マル1+マル2+マル2−20度=マル5−20度となり、これが180度です。よって、(180+20)÷5=40より、マル1、つまり角Aの大きさは40度です。

「必修例題5」は、やりとり算といわれる問題で、ここでは、3人の間でカードのやりとりを行います。3人の持っているカードの合計まい数は、いつも変わらないことに注目します。
 はじめにカードは合計48まいありましたが、やりとり後に持っているまい数は、3人とも等しくなりましたので、ひとり分は、48÷3=16まいずつです。はじめにBが持っているカードのまい数を□まいとします。BはAから5まいもらい、Cに12まいわたして、結果として16まいになっています。式に整頓すると、□+5−12=16となります。よって、□=16+12−5=23より、はじめにBが持っていたカードは23まいです。

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