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2018.5.8配信
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四谷大塚・早稲田アカデミー4・5年生 予習シリーズ算数上 第12回・第13回攻略ポイント

<算数 5年上 第12回 >

第12回は『場合の数(3)』です。今回は、和の法則と積の法則の違いを学習します。また、並べ方(順列とも言います)の基本も学習します。

【攻略ポイント1】
 

「必修例題1」は、ごばんの目の形をした道を進む道順の問題です。A地点からB地点まで最短距離で行く道順が何通りあるかを考えます。基本は、ある道の角(かど)まで行くには、どの角を通って行けるかを考えることです。予習シリーズ109ページの解き方にある図を参照して下さい。
 A→E(角Aから角Eに行くことを表します)は1通りの行き方しかありません。そこで、角Eに1と書いておきます。同様に、A→Cも1通りなので、角Cに1と書きます。次に、角Fには、E→F、C→Fの2通りあります。そこで、角Fに2と書きます。このように、それぞれの角に、前(横とたて)の角に書かれた数を合計した数を書いていきます。また、角Dへの行き方は、C→Dのみですから、角Dは1と書きます。次に、角Gは、F→G、D→Gですので、角Fの2と、角Dの1を合計して角Gは3となります。このように、角ごとに合計の数を書き込んでいきます。結果として、ゴールの角Bは、左どなりの角の6と、下の角の4を合計して6+4=10となりますので、A地点からB地点までの行き方は10通りです。

「必修例題2」は,サイコロの目の和の問題です。
(区別のつく)大小2個のサイコロをふって、出た目の和が5の倍数になるのは何通りあるかを考えます。サイコロ2個の目の和は、2以上12以下ですので、5の倍数になるのは、和が5の場合と、和が10の場合です。それぞれの目の出方を考えます。(大の目、小の目)として表します。和が5の場合は、(4,1)、(3,2)、(2,3)、(1,4)の4通りあります。和が10の場合は、(6,4)、(5,5)、(4,6)の3通りあります。よって、4+3=7より、5の倍数になる目の出方は、7通りあります。
 このように、複数のことがらが同時におこらないとき、別々の場合に分けて場合の数を考え、結果をたし算することを、和の法則といいます。なお、必修例題1も、和の法則と考えられます。

【攻略ポイント2】

「必修例題3」は、A町、B町、C町を結ぶ道において、道順を考える問題です。

  1. A町からC町まで行く道順が何通りあるかを考えます。A町からB町まで4本の道がありますので、A→Bは4通りあります。B町からC町まで3本の道がありますので、B→Cは3通りあります。どの道を通ってもよいので、A→Bの4通りそれぞれに、B→Cの3通りがありますので、4×3=12より、A町からC町まで行く道順は、全部で12通りになります。
  2. A町とC町の間を往復するとき、行きに通った道は帰りには通れないとする条件で道順が何通りあるかを考えます。行きは、(1)の結果である12通りです。帰りには、C→Bは、3本の道のうちの1本は行きに通っていますので、残り2本ですから、2通りあります。同様に、B→Aも4本の道のうちの1本は行きに通っていますので、残り3本ですから、3通りとなります。よって、帰りは、2×3=6より、6通りです。往復では、行きの12通りのそれぞれに帰りの6通りがありますので、12×6=72より、往復の道順は72通りです。

このように、複数のことがらが、続けて起こる場合や、同時に起こる場合の計算は、それぞれの場合の数をかけ算します。これを、積の法則といいます。

【攻略ポイント3】

「必修例題4」は、何人かの人を並べる問題です。並べ方の問題、または、順列の問題といわれるものです。父をA、母をB、子ども2人をC、Dとします。

  1. 左から1番目には、A、B、C、Dの誰が並んでよいので4通りあります。2番目には、1番目に並んだ人を除く3人のうちの誰が並んでもよいので3通り、3番目には、1番目、2番目に並んだ人を除く2人のうちのどちらでもよいので2通り、4番目には、残りの1人がくる1通りです。続けて並んでいきますので、積の法則を使って、4×3×2×1=24より、4人の並び方は24通りあります。
  2. 両はしのA、Bの並び方は、A○○Bとするか、B○○Aとするかの2通り。中のC、Dのならび方は、□CD□とするか、□DC□とするかの2通り。2つのことがらが同時に起こりますので、積の法則を使って、2×2=4より、並び方は、4通りです。

「必修例題5」は、0、1、2、3、4の数字が書いてある5枚のカードのうちの3枚を並べる問題です。

  1. 百の位には、0以外のカードならどれでもよいので、4通りの置き方ができます。十の位には、百の位に置いたカード以外の4枚のどれでもよいので、4通り。一の位には、百の位、十の位に置いたカード以外の3枚のどれでもよいので、3通り。続けて起こりますので、積の法則を使って、4×4×3=48より、48通りの整数ができます。
  2. 偶数にするには、一の位が0か、2か4でなければなりません。このとき、百の位には0は置けませんので、その関係から、場合分けをします。(ア)一の位に0を置くとき。百の位には、4通り。十の位には、一の位に置いた0と百の位に置いたカード以外の3通り。よって、4×3=12より、12通りの整数ができます。(イ)一の位に2か4を置く2通り。百の位には、0と一の位に置いたカード以外の3通り。十の位には、一の位と百の位に置いたカード以外の3通り。よって、2×3×3=18より、18通りの整数ができます。 (ア)の場合と(イ)の場合は別々に起こりますから、和の法則により、12+18=30となり、偶数は、30通りできます。

<算数 5年上 第13回 >

第13回は『場合の数(4)』です。今回は、「組み合わせ」を学習します。組み合わせとは、選ぶ順番は考えずに、組のメンバーを選ぶ場合の数を言います。例えば、A、B、C、D、Eの5人の中から2人の組を考えます。並べ方では、順番を考えて、ABとBAは別々に2通りと数えますが、顔ぶれは同じなので、組み合わせ(選び方)では1通りと数えます。

【攻略ポイント1】

「必修例題1」では、赤玉が2個、白玉が2個、青玉が1個の合計5個の玉の中から3個の玉を選ぶ(3個の玉の組み合わせを考える)、組み合わせの問題です。同じ色の玉がある場合には注意が必要で、樹形図を利用します。予習シリーズ119ページの解き方にある樹形図を参照して下さい。赤玉の選び方に注目して、赤玉を2個選ぶ場合、1個選ぶ場合、選ばない場合、と3つの場合に分けて考えます。赤玉を2個選ぶ場合は、赤−赤−白、赤−赤−青、の2通りとなります。次に、赤玉を1個選ぶ場合、赤−白−白、赤−白−青、の2通りとなります。赤玉を選ばない場合、白−白−青、の1通りとなります。よって、それぞれの場合の数を合計して(和の法則)、2+2+1=5の5通りが答えです。

 

「必修例題2」は、計算により求めます。日直の2人を、並び方の規則(積の法則)で計算すると、5×4=20通りになります。ですが、たとえば、AとB、BとAのように、顔ぶれとしてはおなじものが含まれます。つまり、並び方の20通りの中には、選び方としては、2通りずつ同じものが入ります。そこで、20÷2=10より、2人の日直の選び方は10通りとなります。
 この問題のように、選び方(組み合わせ)の計算では公式を作ることができます。全体数N個の中から、A個を選ぶ場合の選び方の計算(簡単に、NのAの組み合わせといいます)は、[NのA]の並び方の計算結果を、[AのA]の並び方の計算結果で割り算します。例えば、
 5の2の組み合わせは、(5×4)÷(2×1)、
5の3の組み合わせは、(5×4×3)÷(3×2×1)、
 6の2の組み合わせは、(6×5)÷(2×1)、
6の3の組み合わせは、(6×5×4)÷(3×2×1) となります。
なお、これらの計算は、分数を利用すると、約分ができて計算が素早く正確にできます。

「必修例題3」では、上の公式を利用して計算します。なお、分数は、分子/分母の形で表します。

  1. 男子4人の中から3人を選ぶ問題です。4の3の組み合わせ計算で、(4×3×2)÷(3×2×1)=(4×3×2)/(3×2×1)=4ですが、4人から3人を選ぶということは、1人が残るということと同じになります。この残りの1人の選び方を考えてもよいのですから、4通りです。つまり、4の3の組み合わせ計算は、4の(4−3=)1の組み合わせ計算と同じ結果が得られます。このことは、よく使われる考え方です。たとえば、12色の色鉛筆の中から10色の色鉛筆を選びなさい、といった問題もありますが、これは、12の(12−10=)2の組み合わせ計算の問題になります。より小さな数の組み合せの問題として解く方が、間違いが起こる可能性を減らすことができます。
  2. 男子4人の中から2人を選び、女子3人の中から1人を選ぶ問題です。これは、男子は4の2の組み合わせ計算、女子は3の1の組み合わせ計算で、この2つの計算結果を積の法則で計算します。男子は、(4×3)/(2×1)=6通り。女子は3通りです。男子の2人を選び、続けて女子の1人を選びますので、積の法則により、6×3=18の18通りです。
【攻略ポイント2】

「必修例題4」は、3個の点を選んで結び、三角形を作る問題です。
直線アの上の3個の点と、直線イの上の2個の点の、合わせて5個の点のうち、3個を選びます。5の3の組み合わせ計算ですが、これは5の(5−3=)2の組み合わせ計算と同じですから、(5×4)/(2×1)=10となります。ただし、直線アの上の3個の点を使っても三角形はできないことに注意してください。よって、1通り少なくなりますので、10−1=9より、三角形は9個できます。

「必修例題5」は、0、1、2、3、4、5の6枚のカードから3枚を選んで、3けたの9の倍数が何通りできるかを考える問題です。
まず、9の倍数となる数は、各位の数字の和が9の倍数になっていることを確認してください。予習シリーズ122ページにある、各倍数の見分け方を覚えましょう。そこで、6枚のカードの中から3枚を選んで、その3枚の数字の和が9となる組み合わせを作ります。(ア)・ (0、4、5)、(イ)・(1、3、5)、(ウ)・(2、3、4)が条件に合います。次に、それぞれの並べ方を考えます。(ア)百の位は、0を除く4か5の2通り、十の位は、百の位に置いたカード以外の2通り、一の位には残りの1通りが置けますので、2×2×1=4通り作ることができます。(イ)、(ウ)は、どちらも条件はありませんので、百の位、十の位、一の位の順に並べ方を考えると、3×2×1=6通りずつできます。場合に分けましたので、和の法則を使って、4+6+6=16より、9の倍数は全部で16通りできます。

【攻略ポイント3】

「必修例題6」は、試合数の問題です。試合の仕方は、(1)のリーグ戦(総当たり戦)と、(2)のトーナメント戦(勝ち抜き戦)があります。名前を覚えるとともにしっかり区別して下さい。

  1. リーグ戦は、それぞれのチームが他のチームと総当たりで対戦する試合方法です。6チームのうち、2チームずつが対戦しますから、6の2の組み合わせ計算ということになります。よって、(6×5)/(2×1)=15より、15試合となります。
  2. トーナメント戦は、最後に1チームが優勝しますが、このことは、残りの5チームはいずれかの試合で負けるということです。1試合で1チームが負けますので、5チームが負けるということは、5試合ある、ということです。つまり、トーナメント戦では全チーム数から優勝する1チームを除いた数が、試合数となるわけです。答えは5試合です。
 

場合の数は、中学入試に出題される問題では難問が多い内容です。条件をきちんと考えて解く姿勢を身につけてください。

<算数 4年上 第12回 >

第12回は『三角形の性質』です。いろいろな形の三角形の角度について学習します。

【攻略ポイント1】

「必修例題1」は、三角形の内角についての問題です。三角形の内側にある3つの角を内角といい、この3つの内角のそれぞれの大きさを合計すると180度です。予習シリーズ91ページ必修例題の前にある説明、および92ページの類題2の前にある説明をよく読んでください。  内角の和は、ア+54+45=180度ですから、180−54−45=81より、アの角の大きさは81度です。

「必修例題2」は、三角形の外角の問題です。外角とは、三角形の1つの辺をのばして、となりの辺との間にできる角のことをいいます。内角の外側全体ではありませんので、注意してください。そして、外角アととなり合う内角をイとすると、ア+イ=180度になることを利用して考えます。
 イ+78+41=180度より、イは180−(78+41)=180−119=61度ですから、180−61=119より、イの角の大きさは、119度です。
なお、式をよくみますと、180から119を引いて61を求め、この61をまた180から引いていますから、答えは、元に戻るように119になるわけです。つまり、イは78+41=119で求めることができるのです。この求め方が、「外角の定理」と呼ばれるものです。この「外角の定理」は、とても重要です。図形の角度を求める問題では、非常に多く使われますので、逆の使い方(外角が与えられている内角を求める)とともに、必ず理解して使えるようにしましょう。

【攻略ポイント2】

「必修例題3」は、二等辺三角形や正三角形の角度の問題です。予習シリーズ92ページから93ページの説明をよく読み、理解しましょう。

  1. 図の左側は、二等辺三角形です。二等辺三角形の等しい辺の足もとの角は底角とよばれ、底角の大きさは等しい、という性質があります。よって、ア+36+36=180度となりますので、180−36×2=108より、アの角の大きさは108度です。
  2. 図の右側も、二等辺三角形ですから、角Aと角Cは底角で等しい大きさです。よって、42+イ+イ=180度となりますので、(180−42)÷2=69より、イの角の大きさは、69度です。
【攻略ポイント3】

「必修例題4」は、直角三角形、またその代表といえる三角定規の角度の問題です。予習シリーズ93ページの類題3の後にある説明をよく読み、理解しましょう。
 問題の(図2)の図形において、2つの直角三角形が重なってできている三角形に注目します。この三角形を三角形Pと呼ぶことにすると、三角形Pの3つの角のうち、左側の角は、30度、60度、90度の直角三角形のうちの1つの角と同じ30度の大きさです。また、三角形Pの右側の角は、直角二等辺三角形の1つの角と同じですから、45度です。よって、三角形Pの内角の合計は、ア+30+45=180度ですから、180−(30+45)=105より、アの角の大きさは、105度です。

三角形の内角の和、外角の定理、また、特別な三角形である二等辺三角形、正三角形、直角三角形の角について、しっかり身につけましょう。この基礎が、四角形以上の多角形の角の問題に応用できます。

<算数 4年上 第13回 >

第13回は『周期算』です。数や文字、あるいは図形がくり返しかかれている列において、くり返しのパターンを{周期}といいます。周期算は、この周期に注目して、特定の数や文字や図形が、列の中に何個あるかを考えたり、□番目にくるものは何かを考える問題です。なお、メルマガでは○の中に数値が入る記号を表せませんので、○の中に1が入る記号は「マル1」として表記します。

【攻略ポイント1】

「必修例題1」は、白い丸と黒い丸を合わせて75個並べた列について考える問題です。まず、周期を考えます。はじめから3番目にくる白丸に注目して、{黒、黒、白、黒}の4個を1つの組(=周期)とします。

  1. 75÷4=18組あまり3個となります。よって、周期の3個目が最後ですので、最後に並べた記号は、白です。
  2. 黒は1組の中に3個あります。18組それぞれに3個ずつと、あまりの3個のうちに2個ありますので、3×18+2=56より、黒は56個です。

「必修例題2」は、1、2、3の3種類の数を、あるきまりで並べた数列についての周期算の問題です。周期は、{1,2,3,2,1}の5個1組です。

  1. 34÷5=6組あまり4個ですから、はじめからかぞえて34番目は、あまりの4より、周期の4個目の2です。
  2. 1組{1,2,3,2,1}の和は、1+2+3+2+1=9です。あまりの4個の和は、1組5個のうち最後の1が1個足りないのですから、9−1=8となります。よって、9×6組+8=62より、34番目の数までの和は62です。最後の1個である1に注目して、9×(6+1)組−1=62とする方法もあります。
  3. 300÷9=33組あまり3となりますが、あまりの3は、和としての3であることに注意して、1+2=3より、周期の1番目と2番目の2個あまるという意味です。よって、5個×33+2個=167個より、最後に加えたのは、167番目の数です。
【攻略ポイント2】

「必修例題3」は、図形の周期算の問題です。くり返しの図形を見つけます。5cmを1辺として、辺4つを1組とした図形のくり返しを考えます。山の部分は1組に1つずつできますから、マル9の番号の山をのぞいて、繰り返しの図形が8組できて、最後のマル9の山は辺3つになっています。予習シリーズ101ページの解き方にある図を参照してください。

  1. 図のXの長さは、くり返しの図形1組のうち、山と谷の部分の長さが集まったものですから、1組で、5+5=10cmです。また、最後の図形は山の部分の5cmまでです。よって、10cm×8組+5cm=85cmより、Xの長さは、85cmです。
  2. くり返しの図形1組で、針金は5×4=20cmです。また、最後の図形は辺が3つですから、5×3=15cmです。よって、20cm×8組+15cm=175cmより、針金の長さは全部で、175cmです。
【攻略ポイント3】

「必修例題4」は、日付と曜日の問題です。基礎知識として、それぞれの月が何日間あるかを覚えておく必要があります。1月から順に、1月は31日、2月は28日(4年に1度のうるう年では29日)、3月は31日、4月は30日、5月は31日、6月は30日、7月は31日、8月は31日、9月は30日、10月は31日、11月は30日、12月は31日です。
 解くための手順としては、まず日数計算、次に曜日計算となります。日数計算とは、○月○日から×月×日までの日数を計算することです。月の途中から数える場合に注意が必要です(解き方の中で説明します)。また、曜日計算は周期算の考えで、7日ごとに分けた(7で割る)ときのあまりが重要になります。

  1. 6月23日から8月5日までの日数を数えます。6月中の日数(23日から30日まで)は、30−23+1=8日間です。この場合、(30−23)にして計算すると、23日が入らなくなりますので、(+1)が必要です。ここが注意すべき点です。7月はすべての日数を数えて31日間、8月は(1日から5日まで)5日間です。よって、日数は合計して、8+31+5=44日間となります。次に曜日計算ですが、この44日を、1週間の7日ずつに分けますので、44÷7=6週あまり2日となります。このあまりの2日は、数え始めた6月23日の火曜日から曜日がくり返していますので、あまりの1日目も火曜日です。よって、8月5日は、水曜日です。
  2. 5月10日から6月23日までの日数を数えます。5月中の日数(10日から31日まで)は、31−10+1=22日間です。6月は(1日から23日まで)23日間ですから、日数は合計して、22+23=45日間です。45÷7=6週あまり3日となりますが、ここでは、前にもどっていくことを考えますので、{火、月、日、土、金、木、水}という周期です。よって、あまりの3日は、火、月、日となりますので、5月10日は、日曜日です。

周期算では、割り算のあまりがポイントとなります。必修例題3にもありますように、あまりが何を表しているのかをきちんと考えましょう。

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