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早稲田アカデミー・四谷大塚5年生 算数予想問題
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2018.9.20配信
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予想問題付き!サピックス5年生10月3日(水)マンスリーテストの攻略ポイントベスト5を発表します!

 

今回のマンスリーテストは、「旅人算」「流水算」「通過算」と速さの問題を中心として、さらに「割合の復習」の範囲も含まれます。いずれも入試でも頻出の単元になりますので、今の時期に基本からしっかり固めておくことがとても大事になります。 そこで今回は、10月度マンスリーテスト対策について、ぜひ気をつけて頂きたいポイントを、第5位から第1位までのランキングのかたちでご紹介します。
 このランキングを参考に重要単元の理解をしっかり固めて、ぜひ万全の構えでマンスリーテストに臨んでください!

また、攻略ポイントだけでなく予想問題付きです。過去問を分析し最も出題される可能性が高い問題を揃えてあります。解説も準備しますので、間違えた箇所はとくに読み込んで本番で同じ間違いをしないように注意してください。問題は9/26(水)のお昼ごろ 鉄人会のHPにアップ致します。アップが完了しましたら、メルマガ、フェイスブック、ツイッターでもお知らせ致しますので、ぜひ鉄人会のフェイスブック、ツイッターもフォローしてください!

予想問題をアップするページはこちらです。ぜひ、ブックマークをしておいてください!

それではランキングの発表です。まずは第5位からです!

【第5位 売買損益:利益という言葉の意味を正確に理解できていますか?】

割合の問題の中でも、売買損益の難しさは、言葉の意味を正確に理解しなければ正解に行きつくことができないところにあります。大人からすれば当たり前のようなことでも、小学生のお子さんにはイメージがなかなかできないことで、内容を取り違えてしまうことが起こるのです。
 ここでは、以下のような問題を取り上げてみましょう。

コップを1個150円で仕入れました。これを1個210円で売ると、30個こわれて売れなかったとしても12900円の利益があります。コップは何個仕入れましたか。

この問題では、こわれた30個がこわれずに売れた場合を想定して解き進めることがポイントになります。ここで間違いが起こりやすいのが、30個が売れた場合の利益の考え方です。仕入れ値が150円で売値が210円ですので、1個あたりの利益が210-150=60(円)となるから、30個がこわれずに売れた場合は、12900円に、60×30=1800(円)を足すことで、全体の利益が出る、と考えてしまってはいないでしょうか?
 利益は売値と仕入れ値の差ではありますが、こわれてしまった30個は150円の売り上げすらない状態ですので、ここでは1個あたり60円ではなく、1個あたり売値の210円を足すことで、全体の利益を出さなくてはいけないのです。
 よって全体の利益は、12900+210×30=19200(円)となります。ここで初めて1個あたりの利益60円を使って、19200÷(210-150)=320(個)として、仕入れた個数を導き出すことができます。
 一見取り組みやすい問題ですが、考え方を含め、細心の注意が必要となります。大人からすれば容易にイメージできることがお子さんにはしづらい点が、売買損益の特徴でもあります。ぜひゆっくりとお子さんの理解を確かめながら、復習を進めてください。

【第4位 時計算:頭の中でイメージするのではなく、図をかいて解き進めていますか?】

速さの単元の中でも、この時計算を苦手とするお子さんが多く見られます。その原因のひとつは、速さが角度で表されることにあります。同じように周を動く対象を扱う問題でも、池の周りで出会う(追いこす)タイプの旅人算であれば、動きがイメージできるのに、時計算で、周るものが針となって、速さが角度で表されてしまうと、一気にイメージができなくなることが多いのです。
 お子さんがイメージをしやすいようにと、実際の時計を動かしてみせることも効果がないことはありませんが、長針と短針が同時に動く様子を見ても、なかなかイメージを把握するまで至らないことがあります。まずは、長針と短針それぞれの動きを分けて理解することが大事です。
 対策としては、時計の図を自分でかいてみることが有効となるでしょう。その場合、10時45分、といった細かい時刻ではなく、10時30分など、30分単位の時刻から始めるのがよいです。
 時計に10時のときの長針と短針それぞれの位置を記入させて、そこからまずは、長針だけを12から6の位置まで動かします。その際に、長針が30分をかけて180度を動いたので、長針は1分間に6度動く、ということを確認しておきましょう。次に短針を10の位置から、10と11の半分の位置まで動かし、30分に15度動くので、短針は1分間に0.5度動く、と確認します。
 そこで、10時30分の時の、長針と短針がつくる小さい方の角度を求める、というところまでの作業をできるだけ繰り返してください。基本問題ではありますが、この基本を繰り返すことが、時計算のイメージを把握するためには必要になります。

そのような基本作業を繰り返すことの効果として、「長針が1分間に6度、短針が1分間に0.5度進む」ということを、ただ数値を覚えるのではなく、「長針は60分で360度進むから1分間に6度、短針は60分で30度進むから1分間に0.5度進む」と、単位量あたりの考え方から理解できるようになることがあります。
 そうした考え方から時計の針の動きを理解しておくと、時計の文字盤が24等分され、長針が1時間で1周、短針が1日で1周するといった応用問題に対した際にも、「長針は60分で360度進むから1分間に6度、短針は60分で360÷24=15(度)進むから1分間に15÷60=0.25(度)進む」と、対応できるようになります。時計であれば長針が1分間に6度、短針が0.5度と機械的に覚えてしまっていると、どのように対応すればよいか、わからなくなってしまうのです。

時計算の基本を固めたうえで、実践的な演習に進みましょう。難度が高めの問題ですので、じっくり取り組んでください。そこでも、時計の図を自分でかいてみることが必要になります。

10時から11時までの間で、時計の長針と短針のつくる角の大きさが135度になる時刻が2回あります。1回目に135度になってから2回目に135度になるまでに何分かかりますか

それぞれの時刻を算出して、その時刻の差を求めてもよいのですが、(6-0.5=)5.5で割るという複雑な計算が2回も出てきてしまいますので、別の方法で進めてみましょう。
 まずは、問題の最初の段階、この問題であれば時計が10時を表している図をかきます。
 次に、1回目に135度になる状況を図にしてみましょう。簡単な時計の図で構いません。35度は90度と180度のちょうど中間になりますので、長針と短針がアルファベットのV(ブイ)より少し開いたようなかたちになります。よく時計屋に展示された時計が表しているような時刻です(10時13分と14分の間くらい)。
 次に2回目に135度になる図ですが、10時何分くらいが該当するのか、まずお子さんにかかせてみてください。こうしたイメージを働かせることが、有意義な練習になります。長針がだいぶ短針に近づき、ほぼ10時30分のあたりで135度になります。実は10時30分が、ちょうど135度になる時刻なのですが、その時刻を出さない前提で進めていますので、そのまま、ほぼ10時30分あたり、ということで進めましょう。
 ここから図に角度を記入してゆきます。ここで、1回目の図、2回目の図ともに135度の部分に「135」と記入してしまうと、かえってわかりづらくなります。1回目から2回目の変化をわかりやすくするためには、角度を統一する必要があります。つまり、「短針が長針よりどれだけ先にあるか」という視点で統一するのです。
 1回目であれば、短針は長針より360-135=225(度)先にいます。そこで図の、両方の針の下の部分に「225」と記入します。 2回目は、短針が長針より135度先にいる状態になっていますので、135度の部分に「135」と記入します。 こうして、1回目から2回目までに、短針と長針の差が「225-135」の分だけ縮まったことがわかります。よって(225-135)÷(6-0.5)=180/11=16・4/11より、16・4/11分が答えとなります。

時計の図をかくことは少し手間がかかるように思われるかもしれませんが、こうした長針・短針の動きのプロセスを実際にかいてみることで、お子さんのイメージする力が一気に養成されていきます。基本的な問題でも、まず簡単な図で構いませんので、図をかいて、長針・短針がどのように動くのかのイメージをつかむ練習を重ねましょう。

【第3位 流水算:流速や静水時の速さが変化する問題に対応できていますか?】

ここでは流水算の中でも、流速や静水時の速さが変化する問題を取り上げてみます。
 まずは流速が変化する問題です。

ある船が川を48km上ったところ、6時間かかりました。その後、流れの速さが上るときの3倍になったので、同じところを下るのに2時間かかりました。この船の静水時の速さは時速何kmですか

与えられた条件から、この船の上りと下りの速さが算出できます。上りの速さは、48÷6=8(km/時)、下りの速さは、48÷2=24(km/時)となります。ここから図を活用します。
 上りのときの流れの速さ(以下、流速とします)をマル1とします。下りのときの流速は船が川を上るときの3倍になった、とありますので、下りのときの流速をマル3とします。
この上りと下り2つの速さ、その中間に静水時の速さを表すそれぞれの線分を、たてに並べます。そこで、上りの速さと下りの速さの差(24-8=)16(km/時)が、(マル3+マル1=)マル4にあたることがわかりますので、マル1、つまり上りのときの流速が、16÷4=4(km/時)と求められます。よって、この船の静水時の速さが8+4=12(km/時)と求められるのです。

やり方を覚えると、つい図をかかずにすぐに計算をしてしまいがちですが、流水算は上りの速さ、下りの速さ、流速に静水時の速さ、と速さだけでもいくつも種類がありますので、自分が求めたものがどれに該当するのかを間違えてしまう可能性が出てきます。図をかいて、そこに求めた数値を記入すれば、そうした間違いを防ぐことができます。ぜひ図をかく練習を重ねてください。

次に静水時の速さが変わる問題を取り上げてみましょう。上りと下りで状況が変わる点では、流速が変わる問題と同じで、図をかくことが必要になる点も同じです。ただし、式のたて方はだいぶ異なりますので、やり方をしっかり区別できるようにしましょう。ここでも例題を挙げます。

ある船が60kmの川を上るのに8時間かかりました。同じところを、静水時の速さを1.5倍にすると3時間で下ることができました。この川の流れの速さは時速何kmですか

図をかくにあたっての基本的な考え方は、上記の流速が変化するパターンと同じです。上りの速さ、静水時の速さ、下りの速さを表す線分をたてに並べてかきます。今回は静水時の速さが1.5倍になるのですから、上りの静水時の速さをマル1、下りの静水時の速さをマル1.5としても、もちろんよいのですが、小数計算を減らすために、上りの静水時の速さをマル2、下りの静水時の速さをマル3としてみましょう。上りの速さはマル2から流速を引いた長さ、下りの速さはマル3に流速を足した長さで表されます。
 上りの速さは、60÷8=7.5(km/時)、下りの速さは60÷3=20(km/時)となりますが、ここから消去算の考え方を使うことになります。
 上りの速さ=マル2-流速、下りの速さ=マル3+流速となることから、上りの速さと下りの速さを足すと、(マル2-流速)+(マル3+流速)という式から、流速が相殺されて、マル2+マル3が残ることになります。この解き方は、図を見ることでよりイメージがしやすくなります。数値をあてはめると、7.5+20=27.5がマル5にあたりますので、27.5÷5=5.5より、マル2、つまり上りのときの静水時の速さは、5.5×2=11より時速11kmとなります。よって流速は、11-7.5=3.5(km/時)と求められます。
手順が多い印象を受けられるかもしれませんが、しっかり図がかけていれば、決して難しい問題ではなくなります。

流水算は、いくつかの手順を踏まなければならない単元ですので、図をかくこと、問題を解く方針をしっかり持つことに注意してください。

【第2位 旅人算:2人と1人が向かい合って進む問題で正確に図がかけていますか?】

旅人算の中でも人数が増えることで、よりわかりづらくなってしまう問題です。この問題に対応するには図が不可欠になります。例題を挙げてみましょう。

学校から図書館までの間を、太郎君と次郎君は学校から、花子さんは図書館から同時に出発します。太郎君と花子さんが出会ってから3分後に、次郎君と花子さんが出会いました。太郎君、次郎君、花子さんの速さは、それぞれ分速100m、分速70m、分速50mです。学校から図書館までの距離は何mですか

ここで、3人の進む状況を1本の直線にまとめる、という方法を選ばないように気をつけてください。線が重なって、状況が全くわからなくなります。状況をより理解しやすくするためにも、同じ直線にそろえるのではなく、上下にずらして3本の直線でかくようにしましょう。こうした手間を惜しまないようにすることが算数の問題を攻略するためには、とても大切になります。
 2人が出会う地点が同じ直線上にならなくなりますが、出会う地点を同じ印で記して、ずらしたままでかくようにします。
 例えば、一番上に太郎君、真ん中に花子さん、一番下に次郎君、としてみましょう。まず太郎君と花子さんが先に出会いますが、3人の速さはわかっていて、太郎君は花子さんの倍の速度で進みます。そのため出会う地点は、真ん中より図書館寄り(全体の距離を2:1に分ける地点)になります。太郎君と花子さんが出会った時点で、一番下の線である次郎君は、太郎君よりも遅くなるため、2人が出会った地点よりも学校側にいることになります。

そこからは、花子さんが次郎君と出会う場面に切り替わります。ここで、問題で与えられた「3分後」を活用することになります。分速70mの花子さんと分速50mの次郎君が3分かけて出会うのですから、太郎君と花子さんが出会うまでに進んだ距離は、(70+50)×3=360(m)です。これは、次郎君が太郎君よりも360m後ろにいた、ということになりますので、360mは太郎君と次郎君の進んだ距離の差でもあるのです。この、2人が進んだ距離の「和」を、別の組合せの2人が進んだ距離の「差」に切り替えることが、この問題を攻略するうえでの最初のポイントになります。
 太郎君と次郎君は同時に学校を出発していますので、360mの差ができるまでに、2人は360÷(100-70)=12(分)進んだことになります。この12分は、太郎君と花子さんが出会うまでの時間でもあります。この時間の切り替えが2つ目のポイントです。 こうして学校から図書館までの距離は、(100+50)×12=1800(m)と求められるのです。

同じタイプの問題で、別のものを求めさせる場合があります。例題を挙げてみましょう。

1440m離れたA地点とB地点があり、A地点からは太郎君と三郎君が、B地点からは次郎君が向かい合って同時に出発しました。すると、次郎君は太郎君と出会ってから3分後に三郎君と出会いました。次郎君の速さが分速65m、三郎君の速さが分速55mとすると、太郎君の速さは分速何mですか

先の問題が3人の速さが与えられていて、3人が進む距離を求めるタイプでしたが、今回は距離が与えられていて、3人のうちの1人の速さを求める問題です。基本的な考え方は変わりませんが、計算の順番が変わってきますので、見方を切り替える必要があります。
 まずは同じように3本の直線をかいて、一番上を太郎君、真ん中を次郎君、一番下を三郎君とします。まず太郎君と次郎くんが出会う状況ですが、太郎君の速さがわかっていませんので、適当なところに出会う印を記入します。適当とはしましたが、3人同時に出発して、太郎君は三郎君より先に次郎君と出会いますので、太郎君は三郎君よりも速いことは明らかです。したがって太郎君と次郎君が出会う印は、あまりA地点に近いところにせず、ほぼA地点とB地点の真ん中くらいにするとよいでしょう。
 次に次郎君と三郎君が出会う場面に切り替わりますので、次郎君と三郎君の直線が出会う印を記入して、計算に進みます。
 このタイプの問題では、後に出会った次郎君と三郎君の速さがわかっていますので、その2人が出会った状況から解き進めます。1440mの距離を、次郎君と三郎君が同時に出発して出会うまでの時間は、1440÷(65+55)=12より12分後です。その3分前に次郎君と太郎君が出会っていますので、12-3=9より、次郎君と太郎君は出発してから9分後に出会っていたことがわかります。そこから1440÷9=160より、2人の速さの和が分速160mとなりますので、太郎君の速さは、160-65=95より、分速95mと求められます。

難しそうに見える問題ですが、図をかいて内容を整理することで、パターンを習得できれば、難しい問題ではありません。ぜひ慣れることができるように、練習を重ねてください。

【第1位 旅人算:往復して2回目に出会う問題で、距離を何倍すればよいかが理解できていますか?】

今回の旅人算の中でも、特に多くの受験生が苦手としているタイプの問題です。こうした問題を解く際には、図が不可欠になりますが、図のかき方が難しいため、より混乱してしまうことが多いです。このタイプの問題で図が活用できるようになると、6年生になってからとても有利になります。ぜひ頑張って取り組みましょう。  例題を挙げてみます。

AさんはP地点から分速64m、BさんはQ地点から分速96mで、向かい合って同時に出発し、2人とも休むことなくP地点とQ地点を往復します。2人は出発してから15分後にはじめて出会い、さらに歩いてR地点で2回目に出会いました。Q地点とR地点の距離は何mですか

という問題です。

ここでのポイントは「2人が2回目に出会うまでに、2人合計してP地点とQ地点の間の距離の3倍を歩いた」ことがわかるかどうかです。このポイントを理解するために、図をかくことが必要になるのです。

図をかく上で、まずAさんとBさんのはじめのスタート位置を「ずらす」ことが重要です。向かい合って進むからといって同じ直線上に2人を置いてしまうと、往復した時点で図がグシャグシャになってしまいます。上下にずらして2人をスタートさせれば、とても見やすい図になるのです。
 それぞれの動きを表す2本の直線をかくことになるため、2人が1回目(15分後)に出会う地点については、同一直線上でぶつかるようにはかけなくなります。そこは、上下にずらしたまま、出会う地点に同じ印をつけてわかるようにしておきましょう。
 そこから2人がさらに進み、往復してからは、上の線は下に折り返し、下の線は上に折り返して、2人が1本の直線を向かい合って進むようにします。こうすると、2人が2回目に出会うまでの図は、アルファベットの「S」の左右を逆にしたような線になります。

こうして完成した図を見れば2人が動いた距離の合計が、P地点とQ地点の間の距離の3倍になることがわかるでしょう。このプロセスはどんなに時間がかかっても構いません。ゆっくりお子さんの理解を確かめながら、図の作成を進めてください。ここで急ぐことは禁物です。
 P地点とQ地点の間の距離は、(64+96)×15=2400(m)、2回目に出会うまでにA君が進む距離は64×15×3=2880(m)となることから、Q地点とR地点の距離は、2880-2400=480(m)と求められます。

この往復するという問題は、応用問題でも頻出パターンのひとつです。お子さんが理解するまでは、時間をかけてでも折り返しの図のかき方を、しっかりマスターさせてください。

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