中学受験鉄人会がよくわかる！サービス概要・よくあるご質問（FAQ）
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算数予想問題
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第9回のテーマは「速さと比Ⅴ」です。今回は「旅人算」「旅人算と進行グラフ」「通過算」について確認をしていきます。
ここでは旅人算の考え方を中心に扱います。旅人算も速さの単元の1つのため、第8回で学んだように情報を線分図やグラフに整理し、「時間が一定」「道のりが一定」「速さが一定」の部分に注目していきます。旅人算では同時に出発することが重要となります。
このため、問題文の情報を整理するときには特に時間に注意しましょう。「どの時間からどの時間までで誰がどのように進んだのか」という視点で問題を整理していきましょう。進行グラフを読むときも同様です。
通過算は列車がすれ違ったり、追い越したりする様子を図で書くようにしましょう。その上で最前部、最後部に注目し、旅人算の考え方も使いながら考えていきましょう。速さをテーマにした問題では図やグラフを書いて、「一定」の部分を探して手がかりを増やしていくことが基本です。このことを意識して問題に取り組むようにしましょう。
栄冠への道のチェックポイント〔ステージⅤ 第9回 速さと比Ⅴ〕を使って重要事項の確認をしていきましょう。
37ページの「1．旅人算」では「反対方向に進む場合」と「同じ方向に進む場合」について速さ、時間、道のりの関係を確認します。
①反対方向に進む場合
初めに出会いについて考えます。37ページのはじめの(例)を見てみましょう。140m離れた(※2人の間の距離をへだたりと言います)甲地、乙地からA、Bがそれぞれ毎秒3m、毎秒4mの速さで向かい合って同時に出発します。(例)にある図を見てみましょう。Aは甲地を出発して1秒後には右に向かって3m進みます。Bは乙地を出発して1秒後には左に向かって4m進みます。2人合わせると1秒間で3＋4＝7m進むことになります。
このように反対方向に進む場合には2人が1秒間に進む道のりは2人の速さの和となります。一人ひとり別々に考えるのではなく、2人の速さの和(や差)を利用して、時間や道のりを求めることが旅人算の基本です。
図でAとBが出会うときは、AとBが2人合わせて140m進んだときと考えることができます。このことから、AとBが同時に出発してから出会うまでの時間は140÷7＝20秒後となります。
このように反対方向に進む場合は「速さの和」で考えることができます。このことを一般化すると「へだたり÷速さの和＝出会う時間」となります。
次にへだたりについて考えます。37ページの2番目の(例)を見てみましょう。甲地からA、Bがそれぞれ毎秒3m、毎秒4mの速さで同時に反対方向に10秒進みます。(例)にある図を見てみましょう。Aは甲地を出発して1秒後には左に向かって3m進みます。Bは甲地を出発して1秒後には右に向かって4m進みます。2人合わせると1秒間で3＋4＝7m進むことになります。
図でAとBが出発してから10秒後の2人のへだたりを考えてみましょう。AとBが同時に出発してから10秒後のへだたりは7×10＝70mとなります。このことを一般化すると「速さの和×時間＝へだたり」となります。
②同じ方向に進む場合
初めに追いかけについて考えます。37ページの3番目の(例)を見てみましょう。120m離れた甲地、乙地にそれぞれA、Bがいて、Aは分速80m、Bは分速65mの速さでAがBを追いかけます。38ページの(例)にある図を見てみましょう。Aは甲地を出発して1分後には右に向かって80m進みます。Bは甲地を出発して1分後には右に向かって65m進みます。したがって1分あたり2人の差は80－65＝15mずつ縮まります。
このように同じ方向に進み、追いかける方が追いかけられる方よりも速く進む場合には、1分間に2人の速さの差の分だけ距離が縮まります。
このことから、AとBが同時に出発してから120mの差を縮める(AがBに追いつく)のは、120÷15＝8分後となります。このように同じ方向に進む場合は「速さの差」で考えることができます。このことを一般化すると「へだたり÷速さの差＝追いつく時間」となります。
次にへだたりについて考えます。38ページの中段の(例)を見てみましょう。甲地からA、Bがそれぞれ分速85m、分速65mの速さで同時に同じ方向に20分進みます。(例)にある図を見てみましょう。Aは甲地を出発して1分後には右に向かって80m進みます。Bは甲地を出発して1分後には右に向かって65m進みます。2人の差は1分間で80－65＝15mとなります。
図でAとBが出発してから20分後の2人のへだたりを考えてみましょう。AとBが同時に出発してから20分後のへだたりは15×20＝300mとなります。このことを一般化すると「速さの差×時間＝へだたり」となります。
38ページの「2．旅人算と進行グラフ」では進行グラフを使った問題への取り組み方について確認します。進行グラフを使うときには場面ごとに区切って考えるとよいでしょう。
38ページの下段の(例)を見てみましょう。車Qは1時にA町を出発し、休まずに150km先のB町に6時に着いたことがわかります。車Qの速さを求めると150÷(6－1)＝毎時30kmとなります。車Pは2時にA町を出発し、休まずに150km先のB町に時に着いたことがわかります。車Pの速さを求めると150÷(4－2)＝毎時75kmとなります。
また、車Pは4時にB町を出発し、休まずに150km先のA町に6時に着いたことがわかります。車Pは行きと同じ道のり(150km)を同じ時間(2時間)で帰っているため速さも同じ(毎時75km)です。PがQを追い越すときの時間とA町からの距離を求めてみましょう。
初めにQが1時にA町を出発してから2時までを考えます(ここまではQの独り旅です)。Qは1時にA町を出発してから1時間後の2時にA町から、30×1＝30kmのところにいます(この時、PはA町にいます)。
次に2時からPがQを追い越す時間までを考えます。2時の時点ではQはA町から30kmのところにいて、PはA町にいます。PとQは同時に出発して、Pは30km離れたところにいるQに追いつきます(追い越します)。PがQに追いつくのにかかる時間は旅人算の考え方を使って30÷(75－30)＝30/45＝2/3時間となります。この時PはA町から75×2/3＝50kmのところにいます(ここまでで問題は終わりです)。
次にPがQを追い越した時刻(2＋2/3＝2・2/3時＝2時40分)から4時までを考えてみます。グラフから4時にPはB町にちょうど着きます。この時QはA町を出発してから3時間後のためA町から30×3＝90km離れたところにいます。この時PとQのへだたりは150－90＝60kmとなります。
次に4時からPとQが出会う(すれ違う)までを考えます。4時の時点ではPとQのへだたりは60kmです。4時にPとQは同時に反対方向に出発して出会い(すれ違い)ます。PとQが出会うのにかかる時間は旅人算の考え方を使って60÷(75＋30)＝60/105＝4/7時間となります。この時PはB町から75×4/7＝300/7＝42・6/7kmのところにいます。最後の場面はP、Qがすれ違ってから6時まででQはB町に、PはA町にそれぞれ進んで着くまでとなります。
進行グラフを考えるときには問題に登場するものや人の動きと時間(時刻)に注目し、場面に分けて考えていきましょう。その時に線分図に整理して補助として使っていくとよいでしょう。39ページの(考え方2)には相似を利用した解法も紹介されています。こちらもあわせて確認しておきましょう。
39ページの「3．通過算」では列車が長さのあるものの前(鉄橋など)を通過する場合、列車が列車を追い越す場合、列車と列車がすれ違う場合について確認していきます。通過算では列車の最前部または最後部に注目し、列車が実際に走った距離をつかむことがポイントとなります。
はじめに39ページ②長さのあるものの前を通過する場合の(例)を見てみましょう。図のように長さ225m、秒速25mの列車が425mの鉄橋にさしかかってから渡り終わるまでの時間を求めます。列車は左から右に向かって走っています。
列車のとがっているほうが最前部です。ここでは最前部に注目して考えていきます。列車の最前部に注目すると図より、列車は鉄橋にさしかかってか渡り終わるまでに425＋225＝650m進むことがわかります。したがって、列車が鉄橋にさしかかってから渡り終わるまでの時間は650÷25＝26秒となります。
次に40ページ③列車が列車を追い越す場合の(例)を見てみましょう。図のように長さ165m、秒速25mの列車Aが、長さ225m、秒速15mの列車Bを追い越すのにかかる時間を求めます。図に列車Aの長さ165mと列車Bの長さ225mを書き込みましょう。
図では、列車Aの最前部が列車Bの最後部にさしかかってから、列車Bを追い越す(列車Aの最後部が列車Bの最前部にさしかかるとき)までが書かれています。実際は列車Aも列車Bも動いているため、少し違う図になりますが、列車Bを止めて書くことで列車Aと列車Bの最前部や最後部がどれくらい離れているのかわかりやすくなります。
ここでは列車Aと列車Bの最後部に注目して考えてみましょう。列車Aの最後部は165m先にある列車Bの最後部を追い越し、さらに列車Aの最後部は225m先にある列車Bの最前部まで差を開けます。列車A、Bとも同じ方向に進んでいるため、列車Aが列車Bを追い越すのにかかる時間は、旅人算の考え方を使って、(165＋225)÷(25－15)＝39秒となります。
次に40ページ④列車と列車がすれ違う場合の(例)を見てみましょう。図のように長さ165m、秒速25mの列車Aと、長さ225m、秒速15mの列車Bがすれ違うのにかかる時間を求めます。図に列車Aの長さ165mと列車Bの長さ225mを書き込みましょう。
図では、列車Aが右に向かって、列車Bが左に向かって進んでいます。列車Aの最前部が列車Bの最前部にさしかかってから、列車Bとすれ違う(列車Aの最後部が列車Bの最後部にさしかかるとき)までが書かれています。列車Aと列車Bの最後部に注目して考えてみましょう。
このとき列車Aの最後部と列車Bの最後部は165＋225＝390m離れていて、お互いに反対方向に進みます。したがって、列車Aが列車Bとすれ違うのにかかる時間は、旅人算の考え方を使って、390÷(25＋15)＝9.75秒となります。
ここからは、『合格力完成教室 ステージⅤ』と『合格力完成教室 ステージⅤ難問』それぞれから、合格へ向けて優先順位の高い問題をピックアップして行きます。
108ページから111ページの演習1～演習4は必修 です。その他に絶対やって欲しい合格への10題は以下の通りです。
①112ページの問2
②112ページの問3
③112ページの問6
④113ページの問10
⑤113ページの問12
⑥113ページの問13
⑦114ページの問15
⑧116ページの問22
⑨118ページの問29
⑩121ページの問38
文章だけで表されている情報は必ず図やグラフに整理して考えましょう。また、新たにわかった手がかりもどんどん書き込んで考えていきましょう。
148ページから151ページの知識•技術重点問題は必修です。その他に絶対やって欲しい合格への10題は以下の通りです。
①152ページの問1
②152ページの問2
③153ページの問4
④154ページの問7
⑤155ページの問10
⑥155ページの問11
⑦156ページの問14
⑧157ページの問17
⑨160ページの問25
⑩160ページの問26
条件が複雑な問題では、図を使うか、グラフを使うかで考えるプロセスが変わります。考えが行き詰まったら、思い切って視点を変えてみるのも方法です。問題を通していろいろな解法を試してみましょう。
第8回のテーマは「割合と比 濃度」です。食塩水の濃度の定義、食塩水の濃さを変える方法、食塩水の面積図の使い方がわかることが目標です。濃度、食塩の重さ、食塩水の重さ(水の重さ)を明らかにしながら、線分図や面積図を書きながら考えていきましょう。食塩水の濃度計算は算数だけではなく、理科でも入試でよく出題される重要な単元です。何度も練習し、基本的解法を定着させましょう。
「学び1」は食塩水の濃度の基本的な知識です。166ページの上段には「濃度＝食塩の重さ÷食塩水の重さ」とあります。この定義は必ず覚えましょう。注意したいのは、濃度は百分率で表すため濃度を出したら、その値を100倍して%の単位にすることです。また、食塩水の重さの部分を水の重さで割らないよう気をつけましょう。
次に166ページの線分図を見てみましょう。図の100%に対応するのが食塩水の重さ(g)で、濃度(%)に対応するのが食塩の重さ(g)となります。
具体的な数字で説明します。例えば10%の食塩水を作る場合、10gの食塩を水にとかして食塩水100gを作ればよいことになります(100gが100% にあたり、10gが10%にあたります)。これをもとに考えると、10%の食塩水を作る場合、20gの食塩を水にとかして食塩水200gを作ればよいことになります(食塩の重さを2倍、食塩水の重さも2倍にすると同じ濃度です)。
このように同じ濃度の食塩水を作る場合、はじめに100gの食塩水を作り、それを基準に比例関係を使っていけば同じ濃度の食塩水を作ることができます。食塩水の重さ(g)＝食塩の重さ(g)＋水の重さ(g)なので、水の重さも出すことができます。
合わせて166ページ中段に出ている食塩の重さ(g)＝食塩水の重さ(g)×濃度(%)の式も使えるようにしておきましょう。食塩水の濃度がわかったら、167ページの「やってみよう！」を使って練習しましょう。食塩と食塩水の重さの関係に注意しながら考えていきます。比例の関係を使えば、同じ濃度の食塩水が何通りも作れます。何通りかの濃度の食塩水を、重さを変えて作ってみましょう。
「学び2」では食塩水の濃度を変える方法について学びます。172ページの中段にある「10%の食塩水が200ｇ」の整理の仕方を見てみましょう。上から順に10%(濃度)、20ｇ(食塩の重さ)、200ｇ(食塩水の重さ)となっています。ここではこれを横に書いて(10%、20ｇ、200ｇ)と表していきます。
この表現方法を使って、173ページにある食塩水をうすめる方法を考えていきます。例として10%の食塩水200ｇに水を200ｇ加えたら何%になるか考えてみましょう。できた食塩水の濃度を□%として整理すると、(10%、20ｇ、200ｇ)＋(0%、0ｇ、200g)＝(□%、20g、400g)となります(水は濃度が0%で溶けている食塩も0ｇと考えます)。ここで□の値は20÷400＝0.05となり5%となることがわかります。
次に174ページにある食塩水を濃くする方法を考えていきます。例として10%の食塩水200ｇに食塩を25ｇ加えると何%になるか考えてみましょう。できた食塩水の濃度を□%として整理すると、(10%、20ｇ、200ｇ)＋(100%、25ｇ、25g)＝(□%、45g、225g)となります(食塩は濃度が100%で溶けている食塩の重さと食塩水の重さが等しいと考えます)。ここで□の値は45÷225＝0.2となり20%となることがわかります。
※「学び1」「学び2」はあくまでも初めて学ぶ食塩水についてのイメージ作りです。実際に計算できることも大切ですが、水に食塩をたくさん溶かせば溶かすほど濃くなることや、食塩水に水を混ぜればうすくなることを感覚的に身につけましょう。168ページや169ページにある「算数探検」はご家庭でもできる内容です。授業に行く前にぜひ実験をしてみましょう。授業での理解度に断然の差がつきます。
「学び3」では食塩水の面積図について学びます。入試でもよく使う実践的な方法のため必ずできるようにしましょう。175ページの面積図を見てください。食塩水の面積図では縦に濃度、横に食塩水の重さを書いていきます。面積が表す値が食塩の重さになります。
「やってみよう！」にある面積図は12%の食塩水200gと5%の食塩水150gを混ぜたときのものです。第7回の平均の面積図と同じように考えてみましょう。12%の食塩水200gと5%の食塩水150gを混ぜたとき 、全部で350gの食塩水の濃度は12%から5%の間になるはずです。
平均の線を横に引いて長方形を作ってみましょう。すると平均の線から12%の間に長方形が、平均の線から5%の間に長方形ができます。この2つの長方形の面積が等しいことを利用して12%と5%の食塩水を混ぜたときの濃度を求めていきます。(左側の横の長さ)：(右側の横の長さ)＝200：150＝4：3です。面積が等しいことから逆比の考え方を使って、(左側の縦の長さ)：(右側の縦の長さ)＝3：4となることがわかります。すると比の7にあたる量が12－5＝7%となります。このことから比の1にあたる量は7÷7＝1%となります。したがって12%と5%の食塩水を混ぜたときの濃度 は5+4＝9%となります。
このように平均の面積図と同じように考えて、濃度の違う2つの食塩水を混ぜた時の濃度を出すことができます。176ページの「やってみよう！」は179ページの問6を使って練習するとよいでしょう。
演習としては177ページから179ページは必修です。178ページの問3～179ページの問5までは「学び2」で学んだ食塩水の整理の仕方を使う練習です。179ページの問6は問題にもある通り面積図を使う練習です。183ページの問2は食塩水を捨てる問題です。ここでは食塩水を捨てても食塩水の重さが減るだけで濃度は変わらないことがポイントです。
また、183ページから184ページの問3～問5は食塩水のやりとりの問題です。ここでも食塩水を分けた場合、濃度は変わらないことを使います。やりとりの問題の整理の仕方は解答解説の【解き方】にある図を参考にしてください。184ページの問6以降、難易度がさらに上がります。184ページの問6は同じ作業を何回も行う問題で難関校でも見られる問題です。185ページの問7、186ページの問10の問題にもぜひチャレンジしてみて下さい。
第8回のテーマは「規則性 比例のグラフ」です。第7回で学んだ比例のグラフを書き、グラフから比例の関係を表す式を作っていきます。入試でもグラフを書く問題は出題されることがあります。初めて習う内容のため、定規を使って丁寧に書いていくことを心がけましょう
「学び1」では比例の関係をグラフに表していきます。130ページのは針金の長さAと針金の長さBの表を見てみましょう。針金の長さAが1、針金の重さBが50の列を基準に考えると、Aが2、Bが100の列ではAが2倍、Bも2倍になっていることがわかります。前回習った比例の関係です。
131ページの「やってみよう！」を使ってグラフを書いてみましょう。グラフを書くときには表にある7個の点をはっきりと書きその点を線で結んでいきます。比例の場合、0(ゼロ)を通る直線になります。グラフを書くときには、きちんと点をとり、その点のひとつひとつを結ぶ作業を怠らないようにしましょう。今回出てくるのは直線のグラフですが、グラフは書いてみないと規則性があるのかないのか、直線なのか曲線なのかどちらでもないのかなど、わからないことがたくさんあります。まずは点をとって特徴を見つけることが基本姿勢です。
131ページの「やってみよう！」では0(ゼロ)を通る右上がりの直線(これが比例のグラフの特徴です！覚えておきましょう)のグラフが出来上がれば正解です。132ページの「やってみよう！」もやっておきましょう。
「学び2」ではグラフから比例の関係をとらえていきます。133ページの長方形の面積の例を見てみましょう。ここでは縦の長さが5cmと決まっている長方形の横の長さAcmと面積B㎠の関係を考えていきます。
はじめにグラフから情報を読みとってみましょう。Aが0cmのときBも0㎠であることがわかります。ここではこれを(0、0)と表します。順番に読みとっていくと(1、5)(2、10)(3、15)…となります。カッコの中のAの値とBの値を比べると、BがAの5倍であることがわかります。このことからグラフの関係を式に表すとB＝5×Aとなります。
また、Aにかける値(ここでは5)は、Aが1のときのBの値となります。つまり(1、5)の5がAにかける値です。Aが1のときのBの値がわかれば式を作ることができます。
「学び3」ではグラフから情報を読みとり式を作っていきます。136ページのリボンの長さAmと重さBgの例を見てみましょう。文章中には「AとBは比例していて、A＝4のとき、B＝50である。」と書かれています。これをもとにグラフを書いて、式を求めていきます。グラフは比例ということがわかっているため、0に点を書き、(4、50)のところにも点を書きます。これらの点を結ぶとグラフが出来上がります。
また出来上がったグラフからグラフ上の点をいくつか調べていくと、(1、12.5)(2、25)(3、37.5)(4、50)となります。これらの数値を表でまとめることも有効です。このことからAとBの関係を表す式はB＝12.5×Aとなります。
演習としては136ページから137ページは必修です。137ページの「何が決め手？」もやってみましょう。138ページの問1はグラフから式を作る練習です。必要であればAとBの関係を表にしてみるとよいでしょう。
139ページの問3は理科でも扱われる「ばね」の問題です。部分的に比例していますが、まずは調べることから始めましょう。この問いでは図からおもりの重さが4ｇふえると、ばねの長さが4cmふえることがわかります。グラフに情報を書き込んでみましょう。140ページの問4はろうそくが燃える長さに注目しましょう。25分で30cm燃えることから考えていきます。
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