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＜算数 本科教室 6年生 ステージⅤ 第12回＞

　第12回のテーマは「立体図形Ⅳ」です。今回は「水の移しかえ」「水位と棒」「相似比と体積比」「切り口の形」について確認をしていきます。立体図形の問題は、図がイメージできないため苦手とする受験生が多い単元です。立体図形がイメージできない場合の攻略法は「平面図形」で考えることです。立体図形を平面図形で考えると、水位の変化がわかりやすくなったり、水の移動のようすがとらえやすくなったりします。

　例えば水の移しかえの問題や水位と棒の問題を考えるときには立体を真正面から見た平面図形を書いて考えることがポイントです。図を書くときに意識してほしいことは変化の前後のようすがわかるように水位の位置を決めていくことです。図を書くときは比を表す数と具体量を表す数を区別していきましょう。

　また、切り口の形を考えるときには、平面上の2点を結ぶことを考えていくことが重要です。平面上にある2点を直線で結びながら、切り口の形を考えていくとよいでしょう。相似比と体積比では、複数の相似な立体を意識しながら問題に取り組むことでミスを減らすことができます。

　相似な図形を考えるときに計算に夢中になるあまり、図形のことが意識から外れることがあります。どの立体とどの立体が相似なのか考えながら比を使って計算していきましょう。

【対策ポイント】

　栄冠への道のチェックポイント〔ステージⅤ　第12回　立体図形Ⅳ〕を使って重要事項の確認をしていきましょう。

　47ページの「1．相似な立体の表面積の比と体積の比」では相似な立体の表面積の比と体積の比の求め方を確認しておきましょう。相似な2つの立体の相似比がA：Bのとき、表面積の比は(A×A)：(B×B)、体積の比は(A×A×A)：(B×B×B)となります。

　47ページの初めの(例)を見てみましょう。1辺の長さが2㎝の立方体Aと1辺の長さが5㎝の立方体Bがあります。立方体Aと立方体Bの相似比は2：5です。相似比を使って考えると、表面積の比は(2×2)：(5×5)＝4：25となります。また体積の比は(2×2×2)：(5×5×5)＝8：125となります。このことから、立方体Aと立方体Bの体積の差は比の125－8＝117となります。

　今までも学んできたように比も具体量と同じように扱うことができます。比と具体量を使い分けるために比には必ず印をつけ、具体量は単位を書き込むようにしましょう。比を具体量と同じように扱うことができるようになると複雑な立体の求積のときに効率よく問題を解くことができます。

　47ページの「2．立方体の切り口の形」では立方体を一つの平面で切ったときにできる形を確認していきましょう。入試問題では切り口を考えるときに、「点〇、点△、点□を通る平面で切ると…」と問題文で表現されることが多いです。このとき点と点を結んで切り口の線を作っていき、切り口の形を特定していくというプロセスを踏みます。

　点と点を結んで切り口の線を作るときには注意が必要です。切り口の作図のとき重要なことは次の2つです。

①同一平面上の2点は直線で結ぶことができる
②平行な面には平行な切り口の線が通る

　①②の内容を踏まえて、47ページの下の(例)立方体の切り口の形を見てみましょう。切り口の形はイメージを持つことは重要ですが覚える必要はありません。前述した「切り口の作図のとき重要なこと①②」を使って手を動かしながら考えるようにしましょう。このようにすると立方体以外の立体でも切り口を書くことができるようになります。

　また、立方体を平面で切断すると2つの立体ができます。切断したときにできる2つの立体の体積を求めるときには立方体の辺や切り口の線を延長して三角すいを作るとよいでしょう。

　例えば(例)立方体の切り口の形にある「等脚台形」の図では手前の面に見える斜め右下へ向かう切り口の線と右側の面に見える斜め左下へ向かう切り口の線と手前の正方形の右側の一辺をそれぞれ下に向かって延長すると1点で交わりさかさまの三角すいが見えてくると思います。この図形は(例)立方体の切り口の形にある「二等辺三角形」の図の三角すいと相似になります。

　このように立方体を1つの平面で切断した場合、切り口の線と立体の辺を延長し、三角すいを作ることで体積を求めていくとよいでしょう。このとき、「1．相似な立体の表面積の比と体積の比」で確認した相似な図形の体積比の考え方を使うとよいでしょう。

　48ページの「3．水位の変化」では直方体の容器に一定量の水が入っている場合、底面の大きさと水位(水の深さ)の関係について考えていきます。水位を考えるときには、直方体を真正面から見た平面図形で書いて、水位を書き込んでいくとよいでしょう。

　48ページの(例)では密閉された容器に、はじめはアの面を底面にして水を入れ、次にイの面が底面になるように倒したものです。このときアの面とイの面の面積の比は3：5です。ここで、立体図形で書かれた二つの図を真正面から見た平面図形で書いてみましょう。アの面が底面の左の図形は縦に長い長方形の内部に水面を書きます。ここでアの底面積は3のため、長方形の下の辺のところに3と書きます。すると、長方形の横の長さの3と水位の積が入れた水の体積を表すことになります。

　このように直方体を真正面から見て平面図形で表すと、体積を面積のように考えることができます。

　イの面が底面の右の図は横に長い長方形の内部に水面を書きます。このとき、イの面の方が底面積が大きいため、水位は低くなることに注意しましょう。ここでイの底面積は5のため、長方形の下の辺のところに5と書きます。

　アの面を底面にした左の図とイの面を底面にした右の図では入れた水の量は同じため、両方の水が入っている部分の中央に1と書きましょう。図の水位は水の量を底面積で割ることで求めることができます。したがって、左の図の水位と右の図の水位の比は(1÷3)：(1÷5)＝1/3：1/5＝5/15：3/15＝5：3となります。

　このように容器に入っている水の量が一定のとき、底面積の比と水位の比は逆比になります。このことは比を具体量と同じように計算して求めることもできますが、直方体を真正面から見た図で考えて、水の部分の面積が同じことを使えば、横の長さ(底面積)の比が3：5であることから、縦の長さ(水位)の比は逆比の5：3であることは一目瞭然です。

　水そうに棒やおもりを入れていく問題でも、平面図形を利用して、棒(おもり)を入れる前と入れた後でどのように水位が変化したのかを図に書いて、面積図のように考えていくとよいでしょう。

　ここからは、『合格力完成教室 ステージⅤ』と『合格力完成教室 ステージⅤ難問』それぞれから、合格へ向けて優先順位の高い問題をピックアップして行きます。

【合格への10題(合格力完成教室 ステージⅤより)】

　152ページから155ページの演習1～演習4は必修 です。その他に絶対やって欲しい合格への10題は以下の通りです。

①156ページの問2
②156ページの問3
③156ページの問4
④157ページの問7
⑤158ページの問10
⑥158ページの問11
⑦159ページの問12
⑧159ページの問15
⑨160ページの問19
⑩163ページの問25

　図に書き込みをしたり、自分で図を書いたりしながら辺の長さや体積を調べていきましょう。辺の長さや体積を求めるときには必ず計算の結果と図を照らし合わせて確認しましょう。

【合格への10題(合格力完成教室 ステージⅤ難問より)】

　208ページから213ページの知識•技術重点問題は必修です。その他に絶対やって欲しい合格への10題は以下の通りです。

①214ページの問3
②215ページの問5
③215ページの問6
④216ページの問7
⑤216ページの問8
⑥217ページの問11
⑦219ページの問16
⑧220ページの問18
⑨220ページの問20
⑩221ページの問21

　204ページから207ページの身に付けたい重要なポイントも確認しておきましょう。特に205ページの「Ⅱ．水そうの水位変化は、底面積・水位・水量の3つの比の関係から」で説明している面積図による解法と、207ページの「Ⅳ．複雑な水そうの水位変化は、特異な点で分解して調べる」で説明している考え方は重要です。それぞれの●解法を読み、実際に自分の手を動かして答えを導いてみましょう。

＜算数 本科教室 5年生 ステージⅣ 第11回＞

　第11回のテーマは「速さ　速さと単位」です。今回は速さの導入です。「速さの定義を確認すること」「速さの単位を変えることができること」「速さ、道のり、時間の関係を捉えること」が目標となります。

　今回の学びは、この後で習う「進行グラフ」「旅人算」「通過算」、ひいては入試に関わってくる重要な内容です。速さの本質的な意味を理解して、公式やグラフに結び付けていけば、いっそう理解が深まります。今回はこれから始まる速さの学習の基礎を固めていきましょう。

【対策ポイント】

　「学び1」では速さを比べます。複数の速さを比べる場合、①同じ時間で、どれだけの道のりを進んだのかを比べる、②同じ道のりを進むのに、どれだけの時間がかかったのかを比べる、の2つの方法があります。

　242ページの「やってみよう！」を見てみましょう。クマさん、ネコさん、ゾウさんの速さを比べます。クマさんのネコさんは同じ10分でクマさんの方が進んだ道のりが長いため、クマさんの方が速いことになります。クマさんとゾウさんでは同じ1000mをクマさんの方が短い時間で歩いたため、クマさんの方が速いことになります。

　ネコさんとゾウさんは時間も道のりも違うため、正確に速さを比べることはできません。そこで時間をそろえて比べてみます。具体的には、ネコさんの時間を16分にしてみましょう。ネコさんは800mの道のりを10分で歩くため、80mの道のりを1分で歩くことになります。このことから、ネコさんは16分で80×16=1280m歩くことになります。

　したがって、同じ16分でネコさんの方が進んだ道のりが長いため、ネコさんの方が速いことになります。このように速さを比べるときは時間や道のりを同じにすると比べやすくなります。

　「学び2」は速さの定義について学びます。速さとは「単位時間あたりに進んだ道のり」のことをいいます。単位時間には1時間、1分、1秒などがあります。また道のりの単位はkm、m、cmなどがあります。

　例えば、242ページの「学び1」のクマさんの例では1000mの道のりを10分で歩いています。この場合、クマさんは1分あたり1000÷10=100m進んだことになります。このことを速さといい、分速100m（毎分100m、100m/分）と表します。

　次に同じ速さを、いろいろな単位で表す練習をしましょう。244ページの「やってみよう！」を説明します。秒速10mをいろいろな単位で表してみます。秒速10mの速さは「1秒で10m進む」ということです。常に速さの定義に戻って考えてみましょう。はじめに1分を考えてみます。1分は60秒ですから、同じ速さで進むと1分で10×60=600m進むことになります。このことを分速600mと表します。

　このことをもとに、1時間を考えてみます。1時間は60分ですから、同じ速さで進むと1時間で600×60＝36000m進むことになります。このことを時速36000mと表します。また、道のりの単位をkmに変えると時速36kmとなります。このように速さの定義にしたがって考えれば同じ速さをいろいろな表し方で表現することができます。

　速さの問題では時間の単位をそろえて計算する場合がよくあります。このとき、「時間」から「分」に変える場合や「分」から「秒」に変える場合は計算しやすいのに対して、「秒」から「分」や「分」から「時間」に変える場合は計算しづらい場合があます。

　はじめに「時間」から「分」に変える方法を説明します。1時間は60分ですから、時間を分に変える場合は時間の数字を60倍します。例えば2時間2×60=120分です。同様にして「分」から「秒」に変える場合、1分は60秒ですから、分を秒に変える場合は分の数字を60倍します。例えば3分は3×60＝180秒です。

　次に「秒」から「分」や「分」から「時間」をやってみます。「秒」から「分」にする方法を説明します。60秒は1分ですから、秒を分に変える場合は秒の数字を60分の1にします（60で割ります）。例えば15秒は15÷60＝0.25分です。時間を小数で表すことにピンとこないかも知れませんが慣れましょう。

　また、10秒は10÷60＝0.166…となります。これでは困ります。このような場合、10÷60＝10/60＝1/6（6分の1）分とします。こうすることでどのような場面でも使える形になります。同様にして「分」から「時間」に変える場合、60分は1時間ですから、分を時間に変える場合は分の数字を60分の1にします。例えば12分は12÷60＝0.2時間です。20分は20÷60＝20/60＝1/3時間となります。

　「秒」から「分」や「分」から「時間」に変える場合、割り切れなければ分数で表せることを覚えておきましょう。「学び2」のまとめとして246ページの「学んだことを使う」をやってみましょう。

　「学び3」では速さ、道のり、時間の関係を学びます。はじめに速さとは単位時間あたりに進む道のりのことです。分速10mの速さは「1分間に10m進む」ことを表しています。したがって2分では10m/分×2分＝20m進むことになります。このことから「速さ×時間＝道のり」ということがわかります。

　また、50m進むには50m÷10m/分＝5分かかることになります。このことから「道のり÷速さ＝時間」ということがわかります。速さの計算をする場合は常に単位を意識し、速さ、道のり、時間の単位を合わせて計算するようにしましょう。また、計算の結果、出てきた数字の単位も考えましょう。あらためてまとめると速さ、道のり、時間の関係は以下のようになります。

速さ=道のり÷時間
道のり=速さ×時間
時間=道のり÷速さ

　「学び3」の最後に250ページの「やってみよう！」をやってみましょう。

　演習としては252ページから254ページは必修です。254ページの問4、問5では単位に気をつけましょう。255ページの「自分の速さは…」もやってみましょう。速さの問題に取り組むときに、速さの感覚を持っていることはとても重要です。

　256ページ以降は問1～問4、問5～問8、問9～問12の範囲でだんだんと難易度が上がっていきます。それぞれの問いで文章中の条件や単位に注意しながら取り組みましょう。また、時間を表すときには分数をうまく使っていきましょう。特に256ページの問1、257ページの問2、問3、問4は必ず取り組みましょう。さらに257ページの問5、258ページの問9、259ページの問12にもチャレンジしてみましょう。

＜算数 本科教室 4年生 ステージⅢ 第11回＞

　第11回のテーマは「文章題　線分図を使う　～和差算・分配算～」です。ここでは「線分図がかけること」「線分図を使えること」「線分図を操作すること」が目標になります。線分図は文章題にとどまらず、図形や速さの問題でも使います。受験生にとってなくてはならない道具です。

　線分図はかき方や表し方に工夫をすると使える形になります。それぞれの「学び」で習うポイントを意識しながら丁寧にかいていきましょう。線分図のかき方次第で問題がスムーズに解けるか否かが決まります。今回の学びを通して線分図の達人を目指しましょう！

【対策ポイント】

　「学び1」では2種類の線分図をかいてみます。線分図とは物の個数や金額、重さなどを線の長さで表したものです。個数であれば多いほど長くかき、少ないほど短くかきます。線分図にはその長さを表す数字をかき込みます。数字をかき込んだら、どこからどこまでがその数字が表す長さなのか示します。数字が何を表しているのか情報もかき込みましょう。かき込んだ線と線、線と情報などか重ならないようにかくように注意しましょう。フリーハンドでかけるのが理想ですが、初めは定規を使っても良いでしょう。

　線分図のかき方として、184ページを見てみましょう。例ではゆきやさんとさとるさんのおこづかいについての線分図が2種類かかれています。左側の線分図は2人のおこづかいを横に並べてかいたもので、全体の長さが2人のおこづかいの和になっています。線分図の左端から右端を結んで1400円とかき込みましょう。

　右側の線分図は2人のおこづかいを縦に並べてかいたもので、ゆきやさんの方がさとるさんよりも200円多いことがわかります。線分図を縦に並べてかく場合、必ず左側の端をそろえてかきましょう。さとるさんを基準にした場合、ゆきやさんの線分図の右側にはみ出している部分に200円とかき込みましょう。

　このように横に並べた線分図では2人のおこづかいの「和」がとらえやすくなり、縦に並べた線分図では2人のおこづかいの「差」がとらえやすくなります。

　「学び2」では実際に線分図を使って問題を解いてみます。186ページのちとせあめをひろしさんとたけしさんで分ける例を見てみましょう。50cmのちとせあめを2人で分けましたが、ひろしさんの方が6cm長かったようです。

　中段にある線分図を見てみましょう。線分図を見ると2人のちとせあめの長さの差が6cm、長さの和が50cmであることがわかります。線分図を縦に並べてかいた場合、和は中かっこをつけて横にかきます。はじめにたけしさんのちとせあめの長さを出してみましょう。ポイントは「線の長さを同じにする」ことです。

　はじめにたけしさんの線分図の線の長さにそろえる方法を説明します。ひろしさんの線分図の右側にはみ出している部分を取り除きます（指で6cmの部分を隠してみましょう）。するとたけしさんの線分図と同じ長さの線分図がひろしさんのところに現れます。これで線の長さが同じになりました。また、はみ出した6cmの部分は取り除いたため、2人の長さの和は50－6＝44cmとなります。

　ここまでできればもう少しです。2人の長さがたけしさんの長さにそろったため、2人の和の44cmを2で割ると22cmとなり、たけしさんのちとせあめの長さは22cmとなります。つまり、(2人の長さの和－2人の長さの差)÷2で短い方の長さ（たけしさんの長さ）が出ます。

　次に別の方法でひろしさんのちとせあめの長さを出してみましょう。再び線分図に戻りましょう。今度はたけしさんの線分図にある線の右側の足りない部分に6cmを付け足します（たけしさんの線分図の右側に6cmの線をかき込んでみましょう）。するとひろしさんの線分図と同じ長さの線分図がたけしさんのところに現れます。

　これで線の長さが同じになりました。また、6cmの部分は付け足したため、2人の長さの和は50＋6＝56cmとなります。2人の長さがひろしさんの長さにそろったため、2人の和の56cmを2で割ると28cmとなり、ひろしさんのちとせあめの長さは28cmとなります。つまり、(2人の長さの和＋2人の長さの差)÷2で長い方の長さ（ひろしさんの長さ）が出ます。

　どちらの方法でやっても構いませんが、両方ともできるようにしましょう。

　「学び3」では3種類以上の量の関係を線分図で表して問題を解いていきます。3種類以上の量を比較する場合、「どの量とどの量を比較しているのか」に注意を払いましょう。

　188ページの例で説明します。「やってみよう！」にある線分図を完成させます。はじめに「4年生は5年生より8人多い」とあるため、4年生の線を8人分長くかきます。また、「5年生は6年生より11人多い」とあるため、5年生の線を11人分長くかきます。そして4年生、5年生、6年生の人数の合計は210人のため、これを中かっこを使って右側にかきます。

　これで線分図は出来上がりです。6年生の人数を出してみましょう。4年生、5年生、6年生の線の長さを6年生にそろえます。4年生は6年生よりも11＋8＝19人多いため、この部分を取り除きます。5年生は6年生よりも11人多いため、この部分を取り除きます。そして4年生、5年生、6年生の人数の合計も210－(19＋11)＝180人となります。

　3つの線の長さが6年生にそろいましたから、6年生の人数は180÷3＝60人となります。このように3種類以上の量の関係も2種類の時と同じように長さをそろえれば簡単に解くことができます。4年生や5年生に長さをそろえた方法もやってみましょう。

※「学び4」は「ステージⅢ・本科教室答え4年」に掲載されている線分図を参照しながらお読みください

　「学び4」ではやりとりの様子を線分図で考えてみます189ページの例で説明します。「やってみよう！」にある線分図を完成させます。はじめにみきさんの払った3人分の交通費は780×3＝2340円となります。これを線分図にかき込みます。

　次によしこさんの払った3人分の昼食代の3300円を線分図にかき込みます。さらにらんさんの払った3人分の入場料は2500×3＝7500円となります。これを線分図にかき込みます。3人の使ったお金の合計金額は2340＋3300＋7500＝13140円となります。また、3人の使ったお金の平均金額は13140÷3＝4380円となります。

　再び線分図に戻りましょう。全員が同じ金額を払ったことになるように、3人のお金のやり取りを考えます。3人の線分図に平均の4380円を表す線をかき込みます。みきさん（2340円）よりも右側、よしこさん（3300円）よりも右側、らんさん（7500円）よりも左側に4380円の線をかき込みます（縦に上から下までまっすぐに線をかくイメージです）。こうすると、たくさん払っているのはらんさんで、みきさんとよしこさんはらんさんにお金を払わなければならないことがわかります。

　具体的にはみきさんが使ったお金は2340円ですから、平均の4380円には4380－2340＝2040円足りません。この金額をらんさんに払います。同じようによしこさんが使ったお金は3300円ですから、平均の4380円には4380－3300＝1080円足りません。この金額をらんさんに払います。したがって、らんさんはみきさん、よしこさんの2人から2040＋1080＝3120円もらうことになります。線分図で確認すると、らんさんの線分図は平均の4380円よりも7500－4380＝3120円はみ出していることがわかります。このやりとりの線分図は入試においてもとても重要です。必ずかけるようにしましょう。

　演習としては190ページから191ページは必修です。191ページの問4、問5はやりとりの問題です。やりとりの問題の場合には、渡したお金ともらったお金が等しいことに注目して線分図に表していきましょう。この後、192ページから193ページの問は問題文の条件から新しい情報を作り出したり、複数の可能性を調べたりと、どれも一段階難しくなっています。「学び1」「学び2」の内容が定着していない場合はもう一度、190ページから191ページの問に取り組みましょう。

　192ページの問2は「AがCに200円渡すと、AとCの所持金が等しくなります」の部分の考え方がポイントとなります。線分図に表して考えてみましょう。193ページの問3は線分図をかいていくつかの可能性を探っていきましょう。

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