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グノーブル GnoRev実力確認テスト
算数予想問題
第4回のテーマは「平面図形Ⅶ」です。今回は「相似と面積比」「底辺や高さが共通な場合の面積比」「補助線を入れて相似形を作る」の確認をしていきます。平面図形の面積や辺の長さに関する問題はほとんどすべての学校で出題されるといっても過言ではないでしょう。
今回は「底辺や高さが共通な三角形」と「ピラミッド形や砂時計形のような相似形」の使い分けがポイントです。この2つの考え方を混同しないように、図形を見極めていきましょう。補助線を入れなければ解けない問題も、これらの図形ができるように作図します。
文章題を学んだときと同様になりますが、問題が複雑になっても大切なのは「基本形」です。ベースとなる考え方をしっかりと確認して身に付けていきましょう。
「身に付けたい重要なポイントI」では相似な三角形の面積比について確認します。58ページの「●総合」を見てみましょう。相似な三角形にはいくつかのパターンがありました。1番左側の図はＤＥとＢＣが平行で三角形ＡＤＥと三角形ＡＢＣは相似です。このような図形をピラミッド形といいます。
左から2番目の図はＤＥとＢＣが平行で三角形ＡＤＥと三角形ＡＢＣは相似です。このような図形を砂時計形といいます。砂時計形では角度を確認して対応する点や辺に注意しましょう。
左から3番目の図は直角三角形ＡＢＣの内部に直角三角形を作った図です。頂点ＡからＢＣに下ろした垂線がＢＣと交わる点をＤとします。三角形ＡＢＣと三角形ＤＢＡと三角形ＤＡＣは相似です。相似を調べるときにはこれらの図にあるように同じ角度に印をつけながら調べると、対応する点や辺を見つけやすくなります。
58ページの問題を見てみましょう。ピラミッド形がいくつか見えます。はじめに三角形ＡＢＦに注目しましょう。三角形ＡＢＦでＤＨとＢＦは平行で三角形ＡＤＨと三角形ＡＢＦは相似です。ＡＤ：ＤＢ＝4：5のためＡＨ：ＨＦ＝4：5となります。
次に三角形ＡＦＧに注目しましょう。三角形ＡＦＧでＨＩとＦＧは平行で三角形ＡＨＩと三角形ＡＦＧは相似ですＡＨ：ＨＦ＝4：5のためAH：AF＝4：(4＋5)＝4：9となります。このことから三角形ＡＨＩと三角形ＡＦＧの面積比は4×4：9×9＝16：81となります。したがって、三角形ＡＨＩと四角形ＨＦＧＩの面積比は16：(81－16)＝16：65となります。
ここで、三角形ＡＦＧと三角形ＡＢＣを比べます。三角形ＡＦＧと三角形ＡＢＣは底辺がそれぞれＦＧ、ＢＣで高さが共通な三角形です。ＦＧ：ＢＣ＝2：(1＋2＋3)＝2：6＝1：3であることから、三角形ＡＦＧと三角形ＡＢＣの面積比は1：3となります。したがって三角形ＡＦＧの面積を81とした場合、三角形ＡＦＧは81×3＝243となります。したがって、図の斜線部分(四角形ＨＦＧＩ)の面積は三角形ＡＢＣの面積の65÷243＝65/243となります。
「身に付けたい重要なポイントII」では面積比から辺の比の求め方について確認します。59ページの問題を見てみましょう。ＡＤに平行な直線ＸＹで台形ＡＢＣＤの面積が二等分されています。ＡＢ、ＤＣを延長して交わる点をＰとします。
59ページの「●解法」にある図を見てみましょう。三角形ＰＡＤと三角形ＰＢＣは相似(ピラミッド形)です。三角形ＰＡＤの底辺ＡＤが7cm、三角形ＰＢＣの底辺ＢＣが17cmであることから、三角形ＰＡＤと三角形ＰＢＣの相似比は7：17です。したがって、三角形ＰＡＤと三角形ＰＢＣの面積比は7×7：17×17＝49：289となります。このことから台形ＡＢＣＤの面積は289－49＝240となります。ＸＹは台形ＡＢＣＤの面積を二等分しているため台形ＡＸＹＤと台形ＸＢＣＹの面積は240÷2＝120となります。
ここで三角形ＰＡＤと三角形ＰＸＹの面積比を考えると49：(49＋120)＝49：169となります。三角形ＰＡＤと三角形ＰＸＹは三角形ＰＸＹは ＡＤとＸＹが平行なため相似です。三角形ＰＡＤと三角形ＰＸＹの面積比が49：169＝(7×7)：(13×13)のため、ＡＤとＸＹの長さの比は7：13となります。
ＡＤの長さが7cmであることから、比の7にあたる長さが7cmとなり、比の1にあたる長さが1cmとなります。したがって、ＢＣの長さは比の13にあたるため13cmとなります。
このように、図形の問題でもピラミッド形や砂時計形の基本形が大切です。迷ったら基本形を作ることから始めてみましょう。
「身に付けたい重要なポイントⅢ」では共通な辺と高さの比を使い面積を求めてみましょう。はじめに60ページの「●総合」にある真ん中の図を確認します。アとイの面積比について考えます。ア、イの三角形はともに図の「共通な辺」を底辺とする三角形です。アの高さはＡ’で、イの高さはＢ’です。
ここで点線部分にできたピラミッド形の三角形を確認しましょう。Ａ’：Ｂ’=Ａ：Ｂであることがわかります。このことからアの三角形の高さはＡ、イの三角形の高さはＢとみなすことができます。このとき、ア、イの三角形はともに図の「共通な辺」を底辺とする三角形のため、面積の比は高さの比と同じでＡ：Ｂとなります。
ア、イのような三角形の図形を矢印形と呼ぶことにします。矢印形の三角形では、共通の底辺を見つけて、高さの比と同じ辺の比を探して面積比を求めていきます。
60ページの問題を解いてみましょう。図に条件を書き込んでから始めましょう。ＢＤ：ＤＣ＝3：5、ＣＥ：ＥＡ＝3：2で、三角形ＡＰＥの面積は4㎠です。三角形ＢＰＤの面積を求めます。
はじめに三角形ＣＰＥ と三角形ＡＰＥに注目しましょう。三角形ＣＰＥ と三角形ＡＰＥは高さが共通の三角形です。ＣＥ：ＥＡ＝3：2のため三角形ＣＰＥ と三角形ＡＰＥの面積の比は3：2となります。三角形ＡＰＥの面積は4㎠で、これは比の2にあたるため、比の1は4÷2＝2㎠となります。このことから、三角形ＣＰＥ の面積は2×3＝6㎠となります。
次に三角形ＡＢＰと三角形ＡＣＰに注目します。三角形ＡＢＰと三角形ＡＣＰはＡＰを共通の底辺とする矢印形です。三角形ＡＢＰの高さはＢＤ、三角形ＡＣＰの高さはＤＣとみなすことができます。したがって三角形ＡＢＰと三角形ＡＣＰの高さの比はＢＤ：ＤＣ＝3：5となります。このことから、三角形ＡＢＰと三角形ＡＣＰの面積の比はＢＤ：ＤＣ＝3：5となります。
ここで三角形ＡＰＥの面積は4㎠、三角形ＣＰＥ の面積は6㎠のため、三角形ＡＣＰの面積は4＋6＝10㎠となります。これは比の5にあたるため、比の1は10÷5＝2㎠となります。このことから、三角形ＡＢＰの面積は2×3＝6㎠となります。
次に三角形ＡＢＰと三角形ＣＢＰに注目します。三角形ＡＢＰと三角形ＣＢＰはＢＰを共通の底辺とする矢印形です。三角形ＡＢＰの高さはＡＥ、三角形ＣＢＰの高さはＥＣとみなすことができます。したがって三角形ＡＢＰと三角形ＣＢＰの高さの比はＡＥ：ＥＣ＝2：3となります。このことから、三角形ＡＢＰと三角形ＣＢＰの面積の比は2：3となります。
ここで三角形ＡＢＰの面積は6㎠で、これは比の2にあたるため、比の1は6÷2＝3㎠となります。このことから、三角形ＣＢＰの面積は3×3＝9㎠となります。
最後に三角形ＣＢＰの面積が9㎠であることから、三角形ＢＰＤの面積を求めてみましょう。三角形ＢＰＤと三角形ＣＰＤは高さが共通の三角形です。ＢＤ：ＤＣ＝3：5のため、三角形ＢＰＤと三角形ＣＰＤの面積の比は3：5となります。三角形ＣＢＰの面積は9㎠で、これは比の3＋5＝8にあたるため、比の1は9÷8＝9/8㎠となります。このことから、三角形BPD の面積は9/8×3＝27/8＝3・3/8㎠となります。
「身に付けたい重要なポイントⅣ」では補助線を入れて相似形を作り問題を解いていきます。平面図形の辺の長さの比を求めるときには相似を使う手段が有効です。相似形が見つからない場合は相似な三角形を自分で作る必要があります。このようなときはピラミッド形や砂時計形を作るように補助線を引きます。
61ページの問題を見てみましょう。「●解法」にある上の図を見ながら考えていきましょう。図はＡＤとＰＣを延長し交わった点をＳとしたものです。このように補助線を引くと三角形ＰＡＳと三角形ＰＢＣは相似(砂時計形)となります。Ｐ、ＱはＡＢを3等分しているため、ＡＰ：ＰＢ＝1：2となります。このことからＡＳ：ＢＣ＝1：2となることがわかります。
また、平行四辺形の向かい合う辺の長さは等しいため、ＢＣを比の2とした場合、ＡＤも2となります。ここで、ＲはＡＤの2等分点であることから、ＡＲとＲＤは比の2÷2＝1となります。
まとめるとＡＳ：ＡＲ：ＲＤ：ＢＣ＝1：1：1：2となります(比をテキストの図に書き込みましょう)。斜線部分の面積について考えていきます。高さが共通な三角形を作るためＲＣを直線で結びます。すると平行四辺形ＡＢＣＤは高さが同じ三角形ＢＡＲ、三角形ＲＢＣ、三角形ＣＲＤに分割されます。
三角形ＢＡＲの底辺はＡＲ(比の1)、三角形ＲＢＣの底辺はＢＣ(比の2)、三角形ＣＲＤの底辺はＲＤ(比の1)であることから、三角形ＢＡＲ、三角形ＲＢＣ、三角形ＣＲＤの面積比は1：2：1となります。ここで三角形ＲＥＣの面積の比を求めていきます。三角形ＳＲＥと三角形ＣＢＥは相似(砂時計形)です。ＳＲ：ＢＣ＝(1＋1)：2＝2：2＝1：1のため、ＲＥ：ＥＢ＝1：1となります。
三角形ＲＥＣと三角形ＥＢＣに注目しましょう。三角形ＲＥＣ と三角形ＥＢＣは高さが共通の三角形です。ＲＥ：ＥＢ=1：1のため、三角形ＲＥＣと三角形ＥＢＣの面積の比は1：1となります。
平行四辺形ＡＢＣＤを高さの同じ3つの三角形に分割したときに三角形ＲＢＣの面積の比を2としたため、この比をもとにすると、三角形ＲＥＣ(三角形ＥＢＣ)の面積の比は2÷2＝1となります。これらのことから平行四辺形ＡＢＣＤは面積の同じ三角形ＢＡＲ、三角形ＲＥＣ、三角形ＥＢＣ、三角形ＣＲＤに分割されることがわかります。
したがって斜線部分の面積は三角形ＲＥＣと三角形ＣＲＤの和のため1＋1＝2となります。 平行四辺形の面積は三角形ＢＡＲ、三角形ＲＥＣ、三角形ＥＢＣ、三角形ＣＲＤの和のため、1＋1＋1＋1＝4となります。このことから斜線部分の面積は平行四辺形ＡＢＣＤの2÷4＝2/4＝1/2であることがわかります。
したがって平行四辺形ＡＢＣＤの面積を24㎠とすると、斜線部分の面積は24÷2＝12㎠となります。
補助線を入れて相似形を作る場合は今回のように辺を延長して作ること以外に、図形を分割して作ることもできます。このとき、補助線は図上の辺に平行に引くように注意しましょう。
演習としては62ページから67ページの知識技術重点問題は必修です。第3回に引き続き、今回も典型的な問題で練習したい場合は知識技術重点問題だけでも良いでしょう。
次に68ページ以降の運用力重点問題で、取り組んでおいた方がよい問題を挙げます。68ページの問3、69ページの問4、70ページの問6、問7、72ページの問16は辺の長さの比などから面積を求めていく問題です。68ページの問1、71ページの問12、76ページの問27は面積や相似の考え方を使って辺の長さや比を求める問題です。74ページの問23は作図をして考えてみましょう。
第4回のテーマは「規則性 比例・反比例」です。今回の単元では比例・反比例の関係を調べる→式に表す→グラフ化するというプロセスをたどっていきます。
比例・反比例の関係は算数に限らず、理科でもよく使う考え方です。また、中学生になるとさらに他単元との関連の中で総合的に学びが進められ、その後も一次関数などに発展していく重要な単元です。今回の演習で比例・反比例の基本的な考え方を身につけましょう。
「学び1」は、「ともなって変わる」とは何かを考えます。ともなって変わるとは一方(ここではxとしています)が変わると他方(ここではyとしています)も変わる関係のことです。72ページの「やってみよう！」ではともなって変わる量を表などで表してみるとよいでしょう。
例えば例1では勉強時間(x)を1時間としたら成績(y)は50点のようにし、さらに勉強時間を2時間にした場合について考えていくという具合です。勉強時間の場合は「時間」と「成績」に数字の上では関係性がないことがわかります。他の例も同じように考えて表にまとめてみましょう。
「学び2」では比例について学習します。比例とは「xが2、3倍…になるとyも2倍、3倍…になる」関係のことをいいます。73ページの底辺4cmの平行四辺形の高さと面積の関係では、表を見ると高さ(x)の4倍が面積(y)になっていることがわかります。このことを式に表すと「y＝4x」となります。
さらに74ページに進んでグラフにしていきます。グラフを書くときには表にある7個の点をはっきりと書きその点を線で結んでいきます。比例の場合、0(ゼロ)を通る直線になります。グラフを書くときには、きちんと点をとり、その点の一つひとつを結ぶ作業を怠らないようにしましょう。
グラフは書いてみないと規則性があるのかないのか、直線なのか曲線なのかどちらでもないのかなど、わからないことがたくさんあります。まずは点をとって特徴を見つけることが基本姿勢です。
「学び3」では反比例について学習します。「学び2」の比例同様のプロセスで考えていきます。反比例とは「xが2倍、3倍…になるとyが2分の1倍、3分の1倍…になる」関係のことをいいます。75ページの面積が12平方㎝となる長方形のたて(x)と横(y)の関係を見ると、たて(x)と横(y)をかけると12になることがわかります。
このことを式に表すと「x×y＝12」となります。中学校で学ぶ反比例とは式の形が違いますが小学生はこの方がわかりやすいでしょう。
「学び4」では「学び3」で使った反比例の表をグラフにしていきます。グラフにするプロセスは「学び2」で説明した通りです。78ページでは、さらに細かく調べてグラフを書きます。反比例の場合、曲線になることがわかります。グラフを書くときにあまり細部にこだわってしまうと書くのに時間がかかるため、だいたいきれいな曲線になっていれば大丈夫でしょう。また(x、y)で表される点が(1、12)(12、1)のように対称なことも覚えておきましょう。
演習としては80ページから85ページまでは必修です。今回学んだ「関係性を調べる」、「式に表す」、「グラフを書く」ということができるかどうかじっくりと取り組んでみてください。また82ページにある「何かに似ている！」「ゼロは特別だ！」は面白いのでぜひやってみましょう！また、83ページから86ページの問1～問5は今回学んだことが使えるかを試すにはよい問題です。
87ページの問6は理科でも入試問題に出題されるおもりの重さとばねの長さの問題です。表の見方に注意しながら取り組みましょう。問7は比例・反比例の関係以外に考える要素がもう1つふえる実践的な問題です。88ページの問9はろうそくの長さの問題です。燃えることによって減った長さに注目できるかがポイントです。最後の問13は規則性を見つける問題です。入試でもよく扱われるテーマなので挑戦してみてください。
第4回のテーマは「数と計算 小数の計算4 ～四則混合計算・逆算～」です。四則混合計算では、整数の計算のときと同じ約束で計算を行っていきます。逆算では線分図や面積を使い、逆算の考え方を確認していきます。
また、今後いろいろな場面で活用される分配法則についても学びます。四則混合計算や逆算は入試問題の計算問題で出題されます。また、分配法則は入試問題を効率よく解くテクニックとなります。じっくり学び定着させておきましょう。
「学び1」は四則混合計算の導入です。計算の順番は「カッコの中を先に計算する」「たし算・ひき算よりもかけ算・わり算を先に計算する」など整数の計算のときと同じです。ここでは計算をするのではなく「やってみよう！」の図を見て問題を作ります。
問題を作る(文章にする)のが難しい場合は、図を見て式を作ることができればよいでしょう。例えば、0.4×3＋0.6や1.8-(0.4×2＋0.6)などです。今回は四則混合がテーマですから、なるべく目的にあった式が作成できるとよいでしょう。
「学び2」では四則混合逆算を学びます。56ページの「やってみよう！」では線分図や面積を使って逆算のプロセスを確認します。整数のときと同様の考え方ですが、後ろが□のひき算、わり算の逆算(3.2－□＝2、0.6÷□＝1.2など)はあらためて注意しておきましょう。また57ページの「やってみよう！」は□に入る数を求める実践編です。計算の順序を考えながら取り組んでみましょう。
「学び3」では分配法則を学びます。58ページの「やってみよう！」では(ア＋イ)×ウ＝ア×ウ＋イ×ウに数字を入れて分配法則が成立することを確認していきます。例えばア＝0.3、イ＝0.7、ウ＝1.2とした場合(0.3＋0.7)×1.2＝0.3×1.2＋0.7×1.2となります。左辺を計算しても右辺を計算しても答えが1.2になることがわかると思います。
同じようにア、イ、ウに好きな小数を入れて計算してみましょう。この作業を行うとカッコでまとめてからかけた方が計算が早いことに気づくと思います。59ページの「やってみよう！」を使ってカッコでまとめた方が効率よく計算できることを実感してみてください。この方法は円やおうぎ形の周りの長さや面積を出すときに効果的です。必ず身につけましょう。
演習としては60ページか63ージは必修です。61ページの問3、問4は逆算の問題です。繰り返しになりますが後ろが□のひき算、わり算は要注意です。再度解法を確認しましょう。問5は分配法則を利用した計算です。「書きかえる」とありますが、計算を最後までやりましょう。また文章題が苦手だという場合は問7をじっくり考えると文章から式を作る力がつくでしょう。
65ページから66ページにかけての問1～3は少し複雑な四則混合計算と逆算です。66ページの問4の文章題は答えが出せるかではなく、式にまとめる力が求められます。普段、式を長々と横に連ねて書いてしまうような方はぜひ取り組んでみてください。
67ページ問6は入試でもよく見られる形式です。ある数を□として式を立ててみたり、ひっ算のプロセスを書いてみたりして考えるようにしましょう。さらに69ページの問8は、見た目は違いますが逆算を利用する問題です。②は少し難しいかもしれませんがチャレンジしてみてください。
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