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グノーブル GnoRev実力確認テスト
算数予想問題
第9回のテーマは「速さと比Ⅴ」です。今回は「旅人算」「旅人算と進行グラフ」「通過算」について確認をしていきます。
ここでは旅人算の考え方を中心に扱います。旅人算も速さの単元の1つのため、第8回で学んだように情報を線分図やグラフに整理し、「時間が一定」「道のりが一定」「速さが一定」の部分に注目していきます。旅人算では同時に出発することが重要となります。
このため、問題文の情報を整理するときには特に時間に注意しましょう。「どの時間からどの時間までで誰がどのように進んだのか」という視点で問題を整理していきましょう。進行グラフを読むときも同様です。
通過算は列車がすれ違ったり、追い越したりする様子を図で書くようにしましょう。その上で最前部、最後部に注目し、旅人算の考え方も使いながら考えていきましょう。速さをテーマにした問題では図やグラフを書いて、「一定」の部分を探して手がかりを増やしていくことが基本です。このことを意識して問題に取り組むようにしましょう。
栄冠への道のチェックポイント〔ステージⅤ 第9回 速さと比Ⅴ〕を使って重要事項の確認をしていきましょう。
37ページの「1．旅人算」では「反対方向に進む場合」と「同じ方向に進む場合」について速さ、時間、道のりの関係を確認します。
①反対方向に進む場合
初めに出会いについて考えます。37ページのはじめの(例)を見てみましょう。140m離れた(※2人の間の距離をへだたりと言います)甲地、乙地からA、Bがそれぞれ毎秒3m、毎秒4mの速さで向かい合って同時に出発します。(例)にある図を見てみましょう。Aは甲地を出発して1秒後には右に向かって3m進みます。Bは乙地を出発して1秒後には左に向かって4m進みます。2人合わせると1秒間で3＋4＝7m進むことになります。
このように反対方向に進む場合には2人が1秒間に進む道のりは2人の速さの和となります。一人ひとり別々に考えるのではなく、2人の速さの和(や差)を利用して、時間や道のりを求めることが旅人算の基本です。
図でAとBが出会うときは、AとBが2人合わせて140m進んだときと考えることができます。このことから、AとBが同時に出発してから出会うまでの時間は140÷7＝20秒後となります。
このように反対方向に進む場合は「速さの和」で考えることができます。このことを一般化すると「へだたり÷速さの和＝出会う時間」となります。
次にへだたりについて考えます。37ページの2番目の(例)を見てみましょう。甲地からA、Bがそれぞれ毎秒3m、毎秒4mの速さで同時に反対方向に10秒進みます。(例)にある図を見てみましょう。Aは甲地を出発して1秒後には左に向かって3m進みます。Bは甲地を出発して1秒後には右に向かって4m進みます。2人合わせると1秒間で3＋4＝7m進むことになります。
図でAとBが出発してから10秒後の2人のへだたりを考えてみましょう。AとBが同時に出発してから10秒後のへだたりは7×10＝70mとなります。このことを一般化すると「速さの和×時間＝へだたり」となります。
②同じ方向に進む場合
初めに追いかけについて考えます。37ページの3番目の(例)を見てみましょう。120m離れた甲地、乙地にそれぞれA、Bがいて、Aは分速80m、Bは分速65mの速さでAがBを追いかけます。38ページの(例)にある図を見てみましょう。Aは甲地を出発して1分後には右に向かって80m進みます。Bは甲地を出発して1分後には右に向かって65m進みます。したがって1分あたり2人の差は80－65＝15mずつ縮まります。
このように同じ方向に進み、追いかける方が追いかけられる方よりも速く進む場合には、1分間に2人の速さの差の分だけ距離が縮まります。
このことから、AとBが同時に出発してから120mの差を縮める(AがBに追いつく)のは、120÷15＝8分後となります。このように同じ方向に進む場合は「速さの差」で考えることができます。このことを一般化すると「へだたり÷速さの差＝追いつく時間」となります。
次にへだたりについて考えます。38ページの中段の(例)を見てみましょう。甲地からA、Bがそれぞれ分速85m、分速65mの速さで同時に同じ方向に20分進みます。(例)にある図を見てみましょう。Aは甲地を出発して1分後には右に向かって80m進みます。Bは甲地を出発して1分後には右に向かって65m進みます。2人の差は1分間で80－65＝15mとなります。
図でAとBが出発してから20分後の2人のへだたりを考えてみましょう。AとBが同時に出発してから20分後のへだたりは15×20＝300mとなります。このことを一般化すると「速さの差×時間＝へだたり」となります。
38ページの「2．旅人算と進行グラフ」では進行グラフを使った問題への取り組み方について確認します。進行グラフを使うときには場面ごとに区切って考えるとよいでしょう。
38ページの下段の(例)を見てみましょう。車Qは1時にA町を出発し、休まずに150km先のB町に6時に着いたことがわかります。車Qの速さを求めると150÷(6－1)＝毎時30kmとなります。車Pは2時にA町を出発し、休まずに150km先のB町に時に着いたことがわかります。車Pの速さを求めると150÷(4－2)＝毎時75kmとなります。
また、車Pは4時にB町を出発し、休まずに150km先のA町に6時に着いたことがわかります。車Pは行きと同じ道のり(150km)を同じ時間(2時間)で帰っているため速さも同じ(毎時75km)です。PがQを追い越すときの時間とA町からの距離を求めてみましょう。
初めにQが1時にA町を出発してから2時までを考えます(ここまではQの独り旅です)。Qは1時にA町を出発してから1時間後の2時にA町から、30×1＝30kmのところにいます(この時、PはA町にいます)。
次に2時からPがQを追い越す時間までを考えます。2時の時点ではQはA町から30kmのところにいて、PはA町にいます。PとQは同時に出発して、Pは30km離れたところにいるQに追いつきます(追い越します)。PがQに追いつくのにかかる時間は旅人算の考え方を使って30÷(75－30)＝30/45＝2/3時間となります。この時PはA町から75×2/3＝50kmのところにいます(ここまでで問題は終わりです)。
次にPがQを追い越した時刻(2＋2/3＝2・2/3時＝2時40分)から4時までを考えてみます。グラフから4時にPはB町にちょうど着きます。この時QはA町を出発してから3時間後のためA町から30×3＝90km離れたところにいます。この時PとQのへだたりは150－90＝60kmとなります。
次に4時からPとQが出会う(すれ違う)までを考えます。4時の時点ではPとQのへだたりは60kmです。4時にPとQは同時に反対方向に出発して出会い(すれ違い)ます。PとQが出会うのにかかる時間は旅人算の考え方を使って60÷(75＋30)＝60/105＝4/7時間となります。この時PはB町から75×4/7＝300/7＝42・6/7kmのところにいます。最後の場面はP、Qがすれ違ってから6時まででQはB町に、PはA町にそれぞれ進んで着くまでとなります。
進行グラフを考えるときには問題に登場するものや人の動きと時間(時刻)に注目し、場面に分けて考えていきましょう。その時に線分図に整理して補助として使っていくとよいでしょう。39ページの(考え方2)には相似を利用した解法も紹介されています。こちらもあわせて確認しておきましょう。
39ページの「3．通過算」では列車が長さのあるものの前(鉄橋など)を通過する場合、列車が列車を追い越す場合、列車と列車がすれ違う場合について確認していきます。通過算では列車の最前部または最後部に注目し、列車が実際に走った距離をつかむことがポイントとなります。
はじめに39ページ②長さのあるものの前を通過する場合の(例)を見てみましょう。図のように長さ225m、秒速25mの列車が425mの鉄橋にさしかかってから渡り終わるまでの時間を求めます。列車は左から右に向かって走っています。
列車のとがっているほうが最前部です。ここでは最前部に注目して考えていきます。列車の最前部に注目すると図より、列車は鉄橋にさしかかってか渡り終わるまでに425＋225＝650m進むことがわかります。したがって、列車が鉄橋にさしかかってから渡り終わるまでの時間は650÷25＝26秒となります。
次に40ページ③列車が列車を追い越す場合の(例)を見てみましょう。図のように長さ165m、秒速25mの列車Aが、長さ225m、秒速15mの列車Bを追い越すのにかかる時間を求めます。図に列車Aの長さ165mと列車Bの長さ225mを書き込みましょう。
図では、列車Aの最前部が列車Bの最後部にさしかかってから、列車Bを追い越す(列車Aの最後部が列車Bの最前部にさしかかるとき)までが書かれています。実際は列車Aも列車Bも動いているため、少し違う図になりますが、列車Bを止めて書くことで列車Aと列車Bの最前部や最後部がどれくらい離れているのかわかりやすくなります。
ここでは列車Aと列車Bの最後部に注目して考えてみましょう。列車Aの最後部は165m先にある列車Bの最後部を追い越し、さらに列車Aの最後部は225m先にある列車Bの最前部まで差を開けます。列車A、Bとも同じ方向に進んでいるため、列車Aが列車Bを追い越すのにかかる時間は、旅人算の考え方を使って、(165＋225)÷(25－15)＝39秒となります。
次に40ページ④列車と列車がすれ違う場合の(例)を見てみましょう。図のように長さ165m、秒速25mの列車Aと、長さ225m、秒速15mの列車Bがすれ違うのにかかる時間を求めます。図に列車Aの長さ165mと列車Bの長さ225mを書き込みましょう。
図では、列車Aが右に向かって、列車Bが左に向かって進んでいます。列車Aの最前部が列車Bの最前部にさしかかってから、列車Bとすれ違う(列車Aの最後部が列車Bの最後部にさしかかるとき)までが書かれています。列車Aと列車Bの最後部に注目して考えてみましょう。
このとき列車Aの最後部と列車Bの最後部は165＋225＝390m離れていて、お互いに反対方向に進みます。したがって、列車Aが列車Bとすれ違うのにかかる時間は、旅人算の考え方を使って、390÷(25＋15)＝9.75秒となります。
ここからは、『合格力完成教室 ステージⅤ』と『合格力完成教室 ステージⅤ難問』それぞれから、合格へ向けて優先順位の高い問題をピックアップして行きます。
108ページから111ページの演習1～演習4は必修 です。その他に絶対やって欲しい合格への10題は以下の通りです。
①112ページの問2
②112ページの問3
③112ページの問6
④113ページの問10
⑤113ページの問12
⑥113ページの問13
⑦114ページの問15
⑧116ページの問22
⑨118ページの問29
⑩121ページの問38
文章だけで表されている情報は必ず図やグラフに整理して考えましょう。また、新たにわかった手がかりもどんどん書き込んで考えていきましょう。
148ページから151ページの知識•技術重点問題は必修です。その他に絶対やって欲しい合格への10題は以下の通りです。
①152ページの問1
②152ページの問2
③153ページの問4
④154ページの問7
⑤155ページの問10
⑥155ページの問11
⑦156ページの問14
⑧157ページの問17
⑨160ページの問25
⑩160ページの問26
条件が複雑な問題では、図を使うか、グラフを使うかで考えるプロセスが変わります。考えが行き詰まったら、思い切って視点を変えてみるのも方法です。問題を通していろいろな解法を試してみましょう。
第9回のテーマは「平面図形 底辺比と面積比」です。高さが等しい三角形の底辺の長さの比が面積の比に等しいことを学びます。今回はこの「底辺比＝面積比」の関係をいかに使いこんなすかがポイントになります。
この関係を使えるようになるには、まず、高さが等しい三角形を見つけることがポイントです。ここでは自分で探して自分で見つけることが重要なため、できるだけ粘り強くお子さまに考えさせてください。
さらに、高さが等しい三角形が見つからないときは、自分で作らなければなりません。ここでも自分で線を引いてみることが重要なため、じっくりと取り組むようにしましょう。
今回は高さが等しい三角形を見抜く眼力を高めていきましょう。
「学び1」は高さが等しい図形についてイメージし、「高さが等しい」ということの正確な知識をつけていきます。195ページの上段の図を見てましょう。三角形と平行四辺形と台形が並んでいます。高さとは底辺を地面につけたときに、最も高いところにある頂点から地面に下ろした垂線の長さです(最も高いところにある頂点におもりのついたひもを下げるイメージです)。ここでは実際に高さの線を書いてみましょう。
「学び2」では高さが等しい三角形の「底辺の長さの比と面積の比の関係」について学びます。196ページの上段にある三角形が3つ並んだ図を見てみましょう。3つの三角形の底辺の長さの比は左からA：B：cです。高さが同じため、これを◯とします。面積を表す式を作ると、左からA×◯÷2、B×◯÷2、c×◯÷2となります。「×◯÷2」の部分は同じため、面積の比もA：B：cとなります。したがって高さが等しい三角形の場合、「底辺の長さの比=面積の比」となります。
197ページの「やってみよう！」の一番上の2つの三角形が並ぶ図形を見てみましょう。左側の三角形と右側の三角形の高さは同じです。このように今回扱う高さが等しい三角形は、「底辺が一直線上にあり最も高いところにある頂点が共通する」特徴があります。このイメージを忘れないようにしましょう。
200ページの問3①を見てみましょう。三角形ACDと三角形DCBは底辺が一直線上(辺AB)にあり最も高い頂点(点C)が共通する三角形です(このように、底辺にあたる線が地面についていない場合もあります)。「底辺の長さの比=面積の比」ですから、三角形ACDの面積：三角形DCBの面積の比＝辺ADの長さ：辺DBの長さ＝8：6＝4：3となります。
面積の公式に「高さ」が登場する図形は台形と平行四辺形があります。はじめに高さが等しい2つの台形A、Bを考えます。三角形と同じように図をイメージしてください。台形Aの上底の長さと下底の長さをA、B、台形Bの上底の長さと下底の長さをc、dとします。面積を表す式を作ると、台形Aでは、(A＋B)×◯÷2、台形Bでは(c＋d)×◯÷2となります。「×◯÷2」の部分は同じため、面積の比は、(A＋B):(c＋d)となり、「上底の長さと下底の長さの和の比＝面積の比」となります。
また、平行四辺形も台形の仲間です。普段、面積を出すときは「底辺×高さ」としていると思いますが、「(上底＋下底)×高さ÷2」でも面積を出すことができます。高さが等しい2つの平行四辺形C、Dの場合、それぞれの底辺の長さをA、Bとすると面積の比は、(A＋A)：(B＋B)となり、台形と同じように、「上底の長さと下底の長さの和の比＝面積の比」となります。平行四辺形の場合、結局、面積比はA：Bになりますが、上底＋下底で考えることで台形との比較もできます。こうすることで、高さが等しい三角形と台形と平行四辺形の面積の比を求めることができます。
具体的には200ページの問4を使って説明します。問4①は高さが等しい三角形と台形の例です。三角形ABEと台形AECDの面積の比は三角形ABEの底辺の長さと台形AECDの上底の長さと下底の長さの和の比になります。したがって面積比は6：(8＋10)＝1：3となります。
問4②も同じように考えます。台形ABEDと三角形DECの面積の比が17:8とありますから、(台形ABEDの上底の長さと下底の長さの和)：(三角形DECの底辺の長さ)＝17：8となります。台形ABCDの上底の長さと下底の長さの和は20＋30＝50cmとなるため、比の25(17＋8)にあたる値が50cmとなります。このことから、比の1にあたる値は50÷25＝2cmとなることがわかります。したがってECの長さ(三角形DECの底辺の長さ)は比の8にあたる値ですから2×8＝16cmとなります。
三角形の底辺の比と面積の関係だけでなく、台形や平行四辺形の上底と下底の長さの和と面積の関係も使えるようになるとさらに効率よく解くことができます。
「学び3」では高さが等しい三角形を、補助線を引いて作ります。198ページの「やってみよう！」にある台形を見てみましょう。この台形の点Dと点Eを結びます。高さが等しい3つの三角形ができます。方眼を読んで長さの比を決めると、AD：BE：EC＝11：13：5であることがわかります(本来は自由に長さをきめてよい設定になっています)。
このことから三角形AEDの面積：三角形ABEの面積：三角形DEC面積＝11：13：5となることがわかります。このように図形の面積比を出す場合、高さが等しい三角形を作って考えていく方法は様々な問題を解くときに有効な手段です。必ず身につけましょう。
演習としては199ページから202ページは必修です。「学び2」で学んだことが使えるようになるまで何回も練習しましょう。ポイントは底辺の長さと面積比ですから、これらを明らかにするためにどんどん数字を書き込んでいきましょう。比を表す数の場合は◯などで囲んで、単位のついている数と区別していきましょう。205ページ以降は入試問題レベルの問題が並びます。206ページの問2、207ページの問4、208ページの問5、209ページの問7あたりは入試で見られる典型的な問題です。実力を確かめてみましょう。
第9回のテーマは「速さ 速さの意味」です。今回は速さについての導入です。この単元はともすると公式に頼りがちになり、計算のことばかりが頭の中を占めるため、「公式を忘れた」「単位をそろえなかった」という事態になりがちです。
速さの定義からしっかりと学ぶことで、単位にも注意を払うことができ、自然と公式も受け入れることができます。速さは入試でも必ず出題される単元です。焦らず、じっくりと取り組んでいきましょう。
「学び1」では速さの意味について考えていきます。はじめに「どちらが速いか」を考えます。148ページの例1、例2を読んでみましょう。例1ではAの方が、例2ではCの方が速いことがわかります。
ここで重要なことは、「何を基準にしているか」です。例1では100mという同じ道のりを走っています。道のりが同じ時、時間が短い方が速いことになります。例2では5分という同じ時間を走っています。時間が同じ時、その時間で走った道のりが長い方が速いことになります。このように基準を決める(道のりを一定にする、時間を一定にする)と、どちらが速いのか分かりやすくなります。何を基準にするのか考えながら149ページの「やってみよう！」をやってみましょう。
次に実際に速さを求めていきます。速さを考える場合、基準にするのは時間です。1時間あたり◯km進むことを表したものを速さといい「時速◯km」と表します。同様に1分あたり◯m進むことを表したものが「分速◯m」、1秒あたり◯cm進むことを表したものが「秒速◯cm」です。
150ページの「やってみよう！」を例に説明します。ここでは1秒あたりに進む道のり(秒速)で比べてみましょう。100mを10秒で走るA選手の速さは100÷10＝秒速10m、5分(300秒)で2000mで走るB選手の速さは2000÷300＝秒速6.66…mとなります。このことからAさんの方が速いことがわかります。このように、速さを比べるときには秒速、分速、時速をそろえると比べやすくなります。分速でも比べてみましょう。
また、151ページではいろいろなものの速さが載っています。実際の速さがどのくらいなのかを知ることはとても重要です。覚えなくてもよいので「だいたいこのぐらい」を実感しておきましょう。文章題を解くときの助けになります。
「学び2」では速さと時間と道のりの関係を覚えましょう。速さの定義がわかっていれば式を作ることができます。152ページの「やってみよう！」を説明します。初めの文章は速さを求める問題です。600kmの道のりを3時間で進む新幹線の速さが時速200kmとあるため、式は600km÷3時間＝時速200kmとなります。式の中で時間の単位は時間、道のりの単位はkmとそろっています。このように速さの計算をするときは時間、道のり、速さの単位をそろえて使います。
次の文章は時間を求める問題です。600kmの道のりを時速200kmで進むと3時間かかるとあるため、式は600km÷時速200km＝3時間となります。時速200kmの意味が「1時間に200km進む速さ」ととらえることができていれば、式も容易に立てることができます。
最後の文章は道のりを求める問題です。新幹線が時速200kmで3時間進むと600km進みます、とあるため、式は時速200km×3時間＝600kmとなります。このことから、速さ、時間、道のりの関係について言葉を使った式で表すと次のようになります。
道のり÷時間=速さ
道のり÷速さ=時間
速さ×時間=道のり
「学び2」のまとめとして、152ページの「学んだことを使う」をやってみましょう。
演習としては153ページから154ページは必修です。154ページの問4は速さの単位を変える問題です。入試で問われるというよりは、問題を解くときに単位をそろえる場面で使います。したがって、確実にできるようにしましょう。
156ページの問1は単純に面白いです！お子さまと一緒に考えてみて下さい。157ページの問2、158ページの問4は速さの文章題です。本格的な文章題は第10回で扱うことになりますが、文章の中から条件を選んで使う練習をしておきましょう。
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