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＜算数 本科教室 6年生 ステージⅤ 第12回＞

　第12回のテーマは「立体図形Ⅳ」です。今回は「水の移しかえ」「水位と棒」「相似比と体積比」「切り口の形」について確認をしていきます。立体図形の問題は、図がイメージできないため苦手とする受験生が多い単元です。立体図形がイメージできない場合の攻略法は「平面図形」で考えることです。立体図形を平面図形で考えると、水位の変化がわかりやすくなったり、水の移動のようすがとらえやすくなったりします。

　例えば水の移しかえの問題や水位と棒の問題を考えるときには立体を真正面から見た平面図形を書いて考えることがポイントです。図を書くときに意識してほしいことは変化の前後のようすがわかるように水位の位置を決めていくことです。図を書くときは比を表す数と具体量を表す数を区別していきましょう。

　また、切り口の形を考えるときには、平面上の2点を結ぶことを考えていくことが重要です。平面上にある2点を直線で結びながら、切り口の形を考えていくとよいでしょう。相似比と体積比では、複数の相似な立体を意識しながら問題に取り組むことでミスを減らすことができます。

　相似な図形を考えるときに計算に夢中になるあまり、図形のことが意識から外れることがあります。どの立体とどの立体が相似なのか考えながら比を使って計算していきましょう。

【対策ポイント】

　栄冠への道のチェックポイント〔ステージⅤ　第12回　立体図形Ⅳ〕を使って重要事項の確認をしていきましょう。

　47ページの「1．相似な立体の表面積の比と体積の比」では相似な立体の表面積の比と体積の比の求め方を確認しておきましょう。相似な2つの立体の相似比がA：Bのとき、表面積の比は(A×A)：(B×B)、体積の比は(A×A×A)：(B×B×B)となります。

　47ページの初めの(例)を見てみましょう。1辺の長さが2㎝の立方体Aと1辺の長さが5㎝の立方体Bがあります。立方体Aと立方体Bの相似比は2：5です。相似比を使って考えると、表面積の比は(2×2)：(5×5)＝4：25となります。また体積の比は(2×2×2)：(5×5×5)＝8：125となります。このことから、立方体Aと立方体Bの体積の差は比の125－8＝117となります。

　今までも学んできたように比も具体量と同じように扱うことができます。比と具体量を使い分けるために比には必ず印をつけ、具体量は単位を書き込むようにしましょう。比を具体量と同じように扱うことができるようになると複雑な立体の求積のときに効率よく問題を解くことができます。

　47ページの「2．立方体の切り口の形」では立方体を一つの平面で切ったときにできる形を確認していきましょう。入試問題では切り口を考えるときに、「点〇、点△、点□を通る平面で切ると…」と問題文で表現されることが多いです。このとき点と点を結んで切り口の線を作っていき、切り口の形を特定していくというプロセスを踏みます。

　点と点を結んで切り口の線を作るときには注意が必要です。切り口の作図のとき重要なことは次の2つです。

①同一平面上の2点は直線で結ぶことができる
②平行な面には平行な切り口の線が通る

　①②の内容を踏まえて、47ページの下の(例)立方体の切り口の形を見てみましょう。切り口の形はイメージを持つことは重要ですが覚える必要はありません。前述した「切り口の作図のとき重要なこと①②」を使って手を動かしながら考えるようにしましょう。このようにすると立方体以外の立体でも切り口を書くことができるようになります。

　また、立方体を平面で切断すると2つの立体ができます。切断したときにできる2つの立体の体積を求めるときには立方体の辺や切り口の線を延長して三角すいを作るとよいでしょう。

　例えば(例)立方体の切り口の形にある「等脚台形」の図では手前の面に見える斜め右下へ向かう切り口の線と右側の面に見える斜め左下へ向かう切り口の線と手前の正方形の右側の一辺をそれぞれ下に向かって延長すると1点で交わりさかさまの三角すいが見えてくると思います。この図形は(例)立方体の切り口の形にある「二等辺三角形」の図の三角すいと相似になります。

　このように立方体を1つの平面で切断した場合、切り口の線と立体の辺を延長し、三角すいを作ることで体積を求めていくとよいでしょう。このとき、「1．相似な立体の表面積の比と体積の比」で確認した相似な図形の体積比の考え方を使うとよいでしょう。

　48ページの「3．水位の変化」では直方体の容器に一定量の水が入っている場合、底面の大きさと水位(水の深さ)の関係について考えていきます。水位を考えるときには、直方体を真正面から見た平面図形で書いて、水位を書き込んでいくとよいでしょう。

　48ページの(例)では密閉された容器に、はじめはアの面を底面にして水を入れ、次にイの面が底面になるように倒したものです。このときアの面とイの面の面積の比は3：5です。ここで、立体図形で書かれた二つの図を真正面から見た平面図形で書いてみましょう。アの面が底面の左の図形は縦に長い長方形の内部に水面を書きます。ここでアの底面積は3のため、長方形の下の辺のところに3と書きます。すると、長方形の横の長さの3と水位の積が入れた水の体積を表すことになります。

　このように直方体を真正面から見て平面図形で表すと、体積を面積のように考えることができます。

　イの面が底面の右の図は横に長い長方形の内部に水面を書きます。このとき、イの面の方が底面積が大きいため、水位は低くなることに注意しましょう。ここでイの底面積は5のため、長方形の下の辺のところに5と書きます。

　アの面を底面にした左の図とイの面を底面にした右の図では入れた水の量は同じため、両方の水が入っている部分の中央に1と書きましょう。図の水位は水の量を底面積で割ることで求めることができます。したがって、左の図の水位と右の図の水位の比は(1÷3)：(1÷5)＝1/3：1/5＝5/15：3/15＝5：3となります。

　このように容器に入っている水の量が一定のとき、底面積の比と水位の比は逆比になります。このことは比を具体量と同じように計算して求めることもできますが、直方体を真正面から見た図で考えて、水の部分の面積が同じことを使えば、横の長さ(底面積)の比が3：5であることから、縦の長さ(水位)の比は逆比の5：3であることは一目瞭然です。

　水そうに棒やおもりを入れていく問題でも、平面図形を利用して、棒(おもり)を入れる前と入れた後でどのように水位が変化したのかを図に書いて、面積図のように考えていくとよいでしょう。

　ここからは、『合格力完成教室 ステージⅤ』と『合格力完成教室 ステージⅤ難問』それぞれから、合格へ向けて優先順位の高い問題をピックアップして行きます。

【合格への10題(合格力完成教室 ステージⅤより)】

　152ページから155ページの演習1～演習4は必修 です。その他に絶対やって欲しい合格への10題は以下の通りです。

①156ページの問2
②156ページの問3
③156ページの問4
④157ページの問7
⑤158ページの問10
⑥158ページの問11
⑦159ページの問12
⑧159ページの問15
⑨160ページの問19
⑩163ページの問25

　図に書き込みをしたり、自分で図を書いたりしながら辺の長さや体積を調べていきましょう。辺の長さや体積を求めるときには必ず計算の結果と図を照らし合わせて確認しましょう。

【合格への10題(合格力完成教室 ステージⅤ難問より)】

　208ページから213ページの知識•技術重点問題は必修です。その他に絶対やって欲しい合格への10題は以下の通りです。

①214ページの問3
②215ページの問5
③215ページの問6
④216ページの問7
⑤216ページの問8
⑥217ページの問11
⑦219ページの問16
⑧220ページの問18
⑨220ページの問20
⑩221ページの問21

　204ページから207ページの身に付けたい重要なポイントも確認しておきましょう。特に205ページの「Ⅱ．水そうの水位変化は、底面積・水位・水量の3つの比の関係から」で説明している面積図による解法と、207ページの「Ⅳ．複雑な水そうの水位変化は、特異な点で分解して調べる」で説明している考え方は重要です。それぞれの●解法を読み、実際に自分の手を動かして答えを導いてみましょう。

＜算数 本科教室 5年生 ステージⅣ 第12回＞

　第12回のテーマは「速さ　進行グラフに整理する」です。今回は速さをグラフで表していきます。前回からの続きとなりますが、速さを学ぶ時のキーワードとなる「速さ」「時間」「道のり」をグラフ上に表現していきます。

　ここでは「進行グラフから進んでいる様子を読みとることができること」「進んでいる様子を進行グラフに表すことができること」「平均の速さの定義を覚えること」が目標となります。今回の学びは13回で習う「旅人算」を理解する上では非常に重要な内容です。演習量を積んで理解を深めていきましょう。

【対策ポイント】

　「学び1」では進行グラフについて学びます。進行グラフとは縦軸に道のり、横軸に時間をとったグラフのことです。ここではグラフの特徴をみていきます。

　268ページの「やってみよう！」を見てみましょう。「例1」ではグラフの形が0(ゼロ)を通る直線となっています。このようなグラフは一定の速さで進んでいることを表しています。

　「例2」ではグラフの形が0(ゼロ)を通る右上がりの直線から、右下がりの直線になっています。このようなグラフは一定の速さである地点まで行き、一定の速さでもとの地点に戻ってきたことを表しています。また、グラフの傾きが急なほど速さが速いことを表しているため、帰りよりも行きの方が速さが速いこともわかります。

　「例5」ではグラフの形が階段状になっています。右上がりの直線は一定の速さで進んでいることを表していて、水平な直線はその地点にとどまっていることを表しています。

　右上がり、右下がりの直線は一定の速さで進んでいることを、水平な直線はその地点にとどまっていることを表していることをおさえておきましょう。また、一定の速さで進んでいる場合、グラフの傾きが急なほど速さが速いことも覚えておきましょう。

　「学び2」では進行グラフをかいてみます。進行グラフをかくときには、はじめにだいたいの形をイメージします。ある地点から一定の速さで進んでいるときは右上がりの直線、ある地点に向かって一定の速さで戻っているときは右下がりの直線、ある地点にとどまっているときは水平な直線になります。

　次にグラフ上で通る点を見つけていきます。例えば「時速60kmの速さで進んだ」とあった場合、1時間後にはスタート地点から60km離れた地点を通っています。2時間後にはスタート地点から120km離れた地点を通っています。

　270ページの「やってみよう！」を使って説明します。はじめに「①2時間止まらずに同じ速さで歩いて、5km進んだ様子」をグラフにしてみましょう。同じ速さで歩いていることから、グラフの形は右上がりの直線になります。0(ゼロ)から始めて、2時間で5kmのため、グラフ上の時間が2、道のりが5のところ(以降(2時間,5km)と表します)に点をとります。また、2時間で5km進むことから、1時間で2.5km進むことになります。したがって(1時間,2.5km)にも点をとりましょう。これらの点を直線で結ぶとグラフが完成します。

　次に「③初めから50分で1km進み、10分止まって、次の50分で2.5km進んだ様子」をグラフにしてみましょう。進んでいる時は一定の速さで進んでいるため、グラフの形は右上がりの直線→水平な線→右上がりの直線となります。0(ゼロ)から始めて、50分で1kmのためグラフ上の(50分,1km)に点をとります。その後、10分止まるので(60分,1km)に点をとります。その後、50分で2.5km進んだため、(110分,3.5km)に点をとります。これらの点を直線で結ぶとグラフが完成します。

　「学び3」は平均の速さについて学びます。平均の速さとは「進んだ道のりの合計を、かかった時間の合計でわったもの」です。このことをグラフで見ていきます。

　272ページのグラフ①②を比べてみましょう。①のグラフを見ると0(ゼロ)を出発点として、初めは一定の速さで進みましたが、途中から速くなり、その後だんだんと遅くなり到着点につくことがわかります。②のグラフを見ると出発点と到着点が直線で結ばれています。このことから平均の速さとは「初めから終わりまで一定の速さで進んだときの速さ」ととらえることができます。

　273ページの下段の「やってみよう！」を説明します。A地点からC地点までの1200mを分速80mで進んだことから、AC間を進むのにかかった時間は1200÷80＝15分となります。また、C地点からB地点までの1200mを分速60mで進んだことから、CB間を進むのにかかった時間は1200÷60＝20分となります。したがって、AB間を一定の速さで進んだ時の平均の速さは、2400ｍ÷(15+20)＝2400/35＝480/7＝分速68.57・・・mとなります。

　また、「やってみよう！」の文章中にあるように、(80＋60)÷2(これを「速さの平均」と呼ぶことにします)を計算してみると分速70mとなります。このように、平均の速さ(分速68.57・・・m)と速さの平均(分速70m)は異なることがあります。したがって平均の速さは速さの平均では求めることはできません。

　演習としては276ページから279ページは必修です。問題を解くときには、単位に気を付けて考えていきましょう。 281ページの問1、282ページの問2、問3は2種類の電車が登場したり、途中で速さが変わったりするため、273ページの問5は①、②の解答を出すプロセスに注目すると、③が解きやすくなります。284ページの問6では時間の単位に注意しながら取り組みましょう。287ページの問9はグラフをかいて考える問題です。今回のテーマである「進行グラフに整理する」を象徴する問題となりますのでぜひ取り組みましょう。

＜算数 本科教室 4年生 ステージⅢ 第12回＞

　第12回のテーマは「文章題　線分図を使う　～差集め算・倍数算～」です。今回は線分図を使い「倍数算」「差集め算」を解いていきます。倍数算や差集め算が解けない原因が「線分図のかき方」にあることがよくあります。したがって、問題の状況を線分図に表すことができると理解がいっそう進みます。

　第11回で学んだ線分図のかき方に注意しながら、今回も丁寧に見やすくかいていきましょう。「倍数算」「差集め算」は入試では最も多く出題される単元です。線分図を活用してじっくりと取り組んでいきましょう。

【対策ポイント】

　「学び1」では「倍」の関係を線分図で表して問題を解いていきます。第11回の線分図のかき方を思い出しながら取り組みましょう。

　198ページを見てみましょう。例ではゆきやさんとさとるさんのおこづかいについての線分図が2種類書かれています。左側の線分図は2人のおこづかいを横に並べて書いたもので、全体の長さが2人のおこづかいの和になっています。ゆきやさんのおこづかいはさとるさんの3倍ですから、さとるさんのおこづかいを①、ゆきやさんのおこづかいを③とします。すると2人のおこづかいの和は④と表すことができます。線分図の左端から右端を結んで④と書き込みましょう。

　右側の線分図は2人のおこづかいを縦に並べて書いたもので、ゆきやさんの方がさとるさんよりも②だけ多いことがわかります。さとるさんを基準にした場合、ゆきやさんの線分図の右側にはみ出している部分に②と書き込みましょう。

　次に199ページの「やってみよう！」をやってみましょう。「ア」では2人がもらったおこづかいの合計が8000円とあるため、線分図の④が8000円となります。したがって、①=8000÷4=2000となり、さとるさんのおこづかいは2000円となります。また、ゆきやさんのおこづかいは③=2000×3=6000となり、6000円とわかります。

　「イ」ではゆきやさんの方がさとるさんよりも1500円多くもらっていたとあるため、線分図の②が1500円となります。したがって、ゆきやさんのおこづかいは③=750×3=2250となり、2250円とわかります。

　「学び2」では3種類以上の量についての「倍」の関係を線分図で表して問題を解いていきます。200ページの例で説明します。「やってみよう！」にある線分図を完成させます。はじめにメロンの値段はグレープフルーツの10倍とあることから、グレープフルーツの値段の線を①、メロンの値段の線を⑩の長さでかきます。次に、マスカットの値段はグレープフルーツの5倍とあることから、グレープフルーツの値段の線を①、マスカットの値段の線を⑤の長さでかきます(ここでメロンの値段もマスカットの値段もグレープフルーツの①を基準にしていることを意識しましょう)。メロン、グレープフルーツ、マスカットの値段の合計は2400円とあるため、線分図の横に合計の2400円を書き込みます。

　線分図よりメロン、グレープフルーツ、マスカットの値段の和は⑩＋①＋⑤=⑯となります。⑯=2400となることから、①=2400÷16=150となり、グレープフルーツの値段は150円であることがわかります。したがってメロンの値段は⑩=150×10=1500円、マスカットの値段は⑤=150×5=750円となります。

　「学び3」では線分図で「差の集まり」をとらえます。201ページの例と「やってみよう！」を見てみましょう。中段には「ゆうやさん、ひできさんのふたりが1日ずつ貯金した様子」が線分図で表されています。何日かたったある日の「2人の貯めた金額の差が120円になった様子」を線分図に表してみましょう。ゆうやさんよりもひできさんの方が120円多いため、ゆうやさんの線分図の右端からひできさんの線分図の右端の間に120円と書き込みましょう。

　線分図を見ると、ゆうやさんとひできさんの金額の差が1日あたり12-10=2円であることがわかります。2日たつと2×2=4円となります。このように1日に2円ずつ差がつきます。2人の貯めた金額の差が120円になったことから、この日までに2人が貯金をした日数は120÷2=60日となります。差集め算ではこのように貯金をした日数は同じにして、2人の1日あたりの貯金額の差と数日後の貯金額の差を比べます。

　「学び4」では線分図を使って「1あたりの差からわかること」について学びます。202ページの例を見てみましょう。アルークは旗の立っているゴールまで80歩で行きます。一方、ススームはゴールまで 120歩で行きます。この様子を線分図で表すと202ページの中段のようになります。この線分図は「アルークとススームの2人が1歩ずつ進んだ様子」です。

　203ページの「やってみよう！」を見てみましょう。ここでは歩数をアルークの80歩にそろえます。1歩あたりの差は10cmであることから、80歩進んだ時の差は10×80=800cmとなります。つまり、アルークとススームが80歩進んだ時にアルークの進んだ道のりよりもススームの進んだ道のりの方が800cm長くなります。ススームの線分図の80歩目の右端からアルークの線分図の80歩目の右端の間に800cmと書き込みましょう。線分図を見ると、ススームは120歩でゴールまで行くため、120-80=40歩で800cm進んだことがわかります。したがって、ススームの1歩あたりの長さ(歩幅)は800÷40=20cmとなります。

　このように2人の1歩ずつの長さの差と、2人が歩いた道のりの全体の差を比較することで、ススームの1歩あたりの長さ(歩幅)がわかります。差集め算では日数や歩数、個数や人数を合わせることが重要です。これらを同じくすることで、全体の差を1あたりの差で割ることで日数や歩数、個数や人数を出すとこができます。

　演習としては204ページから206ページは必修です。205ページの問4②アでは、なぜこの問いかけがあるのか考えてイの問いに進むとよいでしょう。また、207ページの問1、208ページの問2では問題文の条件を線分図に表してから取り組みましょう。209ページの問5②③では個数や本数をそろえて考えることがポイントとなります。いずれの問題も線分図をかくことが重要になります。線分図のかき方をあらためて確認しながら取り組むとよいでしょう。

　われわれ中学受験鉄人会のプロ家庭教師は、常に100％合格を胸に日々研鑽しております。ぜひ、大切なお子さんの合格の為にプロ家庭教師をご指名ください。