「自己理解」の黄金パターンを描いた成長物語『ぼくの色、見つけた!』予想問題付!
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第14回は『総合(第10回~第13回)』です。基本問題において、第10回から第13回までの基本が理解できているか、確認しましょう。今回のメルマガでは、基本問題、練習問題の中から、押さえておきたい問題を考えてみましょう。なお、分数は、分子/分母の形で、帯分数は、(整数と分子/分母)の形で表します。
総合回は、前4回分の復習および、その応用的な練習になります。算数は、学習した内容を積み重ねて進む教科ですので、この機会を有効に、しっかり復習しましょう。
数と規則性の問題について考えます。
倍数の問題です。3でわると1あまり、5でわると3あまり、7でわると5あまる整数を考えます。
(1) このような整数(□とします)のうち、最も小さい整数を求めます。書き出して考えてもよいのですが、3つのパターンすべてに共通する考えがあります。あまりに2を加えると、それぞれの倍数になるということです。□÷3=○あまり1 より、(□+2)÷3=●ですから、(□+2)は3の倍数になります。同様に、(□+2)÷5=▲、(□+2)÷7=◆ですから、(□+2)は、3,5,7の公倍数となります。3,5,7の最小公倍数は105ですので、□=105-2=103 より、最も小さい整数は、103です。
(2) このような整数のうち、3けたで最も大きい整数を求めます。□=105×〇-2 ですので、105の倍数で、1000に近い整数を考えます。1000÷105=9あまり55 より、105×9-2=943 となり、求める整数は、943です。
立体の問題を考えます。
立体の切断の基本問題を学習します。1辺の長さが8cmの立方体を、辺の真ん中の点P、Qと頂点Fを通る平面で切断します。
(1) 立方体の体積は、8×8×8=512立方cmです。また、切断された小さい方の立体の体積は、4×4÷2×8÷3=(64/3)立方cmです。切断された大きい方の立体の体積は、512-(64/3)=1472/3立方cmとなりますので、体積比 大立体:小立体=1472:64=23:1 です。別解として、立方体の1辺を2として、比の数値で計算することも可能です。立方体の体積=2×2×2=8、小さい方の立体の体積=1×1÷2×2÷3=1/3 より、体積比は、立方体:小立体=8:1/3=24:1 となりますので、大立体:小立体=(24-1)=1=23:1です。(2) この小立体は、辺の長さに特徴があります。底面の直角二等辺三角形の等辺を1として、高さが2の三角すいです。この立体の展開図は、高さの長さを1辺とする正方形になります。ここが、ポイントです。よって、8×8=64 より、小立体の表面積は、64平方cmです。
(3) 予習シリーズ別冊の解答解説82ページにある展開図を参照してください。切断面の面積は、正方形からまわりの3つの三角形をひいて求めますが、割合の計算をすると、切断面の面積は正方形面積の3/8になります。切断面の面積は、8×8×3/8=24平方cmです。よって、切断面を底面とする小立体の体積計算は、高さを□cmとして、24×□÷3=64/3 より、□=64/3×3÷24=(2と2/3) より、高さは、(2と2/3)cmです。
食塩水の問題を考えます。
食塩水と同様に考えられる砂糖水の問題です。
(1) 8%の砂糖水Aと24%の砂糖水Bを、重さ3:5の割合で混ぜます。比の数値をそのまま重さとして計算してかまいませんので、砂糖=3×0.08+5×0.24=1.44、砂糖水=3+5=8 より、1.44÷8×100=18 より、混ぜてできた砂糖水Dの濃さは、18%です。
(2) 27%の砂糖水Cと、18%の砂糖水Dを混ぜ、水60gを蒸発させると、25.2%の砂糖水が300gできました。逆に考えるところが、この問題のポイントです。水60gと25.2%の砂糖水300gを混ぜると、C、Dを混ぜた濃さになります。(300×0.252)÷(60+300)×100=21%……CとDを混ぜた濃さ、混ぜた、CとDの重さの比は、1/(27-21):1/(21-18)=1:2で、合計360gですから、360÷(1+2)=120 より、C=120、D=120×2=240、 よって、Cは120g、Dは240g混ぜました。
第15回は『総合(第11回~第14回)』です。基本問題において、第11回から第14回までの基本が理解できているか、確認しましょう。今回のメルマガでは、練習問題を考えてみましょう。
総合回は、前4回分の復習および、その応用的な練習になります。算数は、学習した内容を積み重ねて進む教科ですので、この機会を有効に、しっかり復習しましょう。
水量変化の問題です。
(図1)の見取り図から容積を、(図2)のグラフから水の入れ方を読み取ります。
(1) グラフのxは、容器の下の部分に水がいっぱいなった時間を表しています。また、この部分の深さは12cmです。容器の下の部分の容積は、(50×30×12)立方cmで、水の入れ方から、毎分6L=6000立方cmより、(6000×x)立方cmです。50×30×12=6000×x より、x=50×30×12÷6000=3 ですので、xは3(分)です。
(2) グラフから、容器の上の部分の高さ12cmから42cmまでの容積を考えます。容積は、{50×(30+y)×(42-12)}立方cmで、水の入れ方から、{6000×(15-3)}立方cmです。50×(30+y)×30=6000×12 より、30+y=6000×12÷(50×30)=48 ですので、y=48-30=18、よって、yは18cmです。なお、かけ算とわり算の混合計算は、分数を使用すると早く計算できます。
速さの問題です。
速さの問題に、植木算が入っています。
(1) 1周目の速さを求めますので、距離と時間を見つけます。「5番の旗の位置から17番の旗の位置まで走るのに16秒」8mおきの旗の5番目から17番目までは、植木算で、間は17-5=12か所あります。よって、(8×12)m÷16秒=6 より、秒速6mです。
(2) 秒速6mで、2分=120秒かかりましたので、6×120=720 より、1周720mです。 また、8m間で立っている旗の数は、720÷8=90 より、間の数は90か所で、池のまわりですから、間の数=旗の数です。よって、旗は90本立っています。
(3) 「10番の旗の位置から37番の旗の位置まで24秒」より、8×(37-10)÷24=9ですから、秒速9mで、2周目は、720÷9=80秒かかりました。平均速度を求めますので、距離の合計÷時間の合計の計算をします。720×2÷(120+80)=7.2 より、平均の速さは、秒速7.2mです。
並べ方の問題です。
{0、1、2、4、7}の5枚のカードをならべます。予習シリーズ130ページの「倍数の見分け方」をもう一度、確認して覚えましょう。
(1) 4の倍数は、下2けたが00か4の倍数です。そこで、カード2枚で4の倍数を考えます。(04)、(12)、(20)、(24)、(40)、(72)ができます。このそれぞれの2けたに、残りの3枚から、百の位に1枚のカードをおきます。(12)、(24)、(72)の場合は、百の位に0は使えませんので、それぞれ2通りあります。(04)、(20)、(40)の場合は、残りの3枚が使えますので、それぞれ3通りできます。よって、2通り×3+3通り×3=15 より、4の倍数は15通りできます。
(2) 3の倍数は、各位の数字の和が3の倍数になっています。そこで、カード3枚で和が3の倍数になる組を考えます。(0、1、2)、(0、2、4)、(0、2、7)、(1、4、7)ができます。このそれぞれの組で、3けたになるならべ方を考えます。
(0、1、2)、(0、2、4)、(0、2、7)の場合:百の位は0以外の2通り、十の位は百の位においたカード以外の2通り、一の位は残りの1通り、となりますので、それぞれ2×2×1=4通り
(1、4、7)の場合:3×2×1=6通り
よって、4通り×3+6通り=18 より、3の倍数は18通りできます。
ぬり分けの問題です。
{赤、青、黄、緑}の4色をすべて使って、ア~オの5つの部分をぬり分けます。ぬり分けの問題では、となり合う部分に同じ色は使えません。4色でぬり分けますので、4か所のグループにします。つまり、2か所は同じ色でぬることになります。この2か所は、(アとオ)、(イとエ)、(イ、オ)ができます。よって、4か所のぬり方、4×3×2×1=24通りが3つできますので、24×3=72 より、色のぬり方は、ぜんぶで72通りあります。
第15回は『総合(第11回~第14回)』です。基本問題において、第11回から第14回までの基本が理解できているか、確認しましょう。今回のメルマガでは、練習問題を考えてみましょう。
総合回は、前4回分の復習および、その応用的な練習になります。算数は、学習した内容を積み重ねて進む教科ですので、この機会を有効に、しっかり復習しましょう。
植木算の問題です。
420mの池のまわりに、10mの間かくで「くい」を立てていったところ、最初に立てたくいと最後に立てたくいの間が80mはなれています。
(1) 最初と最後の2本のくいの間80mに10mおきにくいを立てると、80÷10=8か所の間になりますが、両はしには、すでに立てたくいがありますので、8-1=7本のくいを新しく立てることになります。420÷10=42 より、池のまわりにくいを立てると42本必要になります。ところが、7本たりないのですから、42-7=35 より、くいは全部で35本あります。
(2) 420÷35=12 より、くいを12mおきに立てればよいことになります。
三角形や四角形の面積に関する問題です。
(1) 三角形AEDにおいて、底辺AD=12cm、高さDE=8-6=2cmです。よって、12×2÷2=12 より、三角形AEDの面積は、12平方cmです。
(2) 三角形AGFの面積をア平方cm、三角形GCEの面積をイ平方cm、四角形FGEDの面積をウ平方cmとします。問題文の条件より、ア=イですので、ア+ウ=イ+ウとなります。(1)より、三角形AED=ア+ウ=12平方cmですから、三角形CDF=イ+ウ=12平方cmです。また、三角形CDFは、底辺CD=8cm、高さDFですから、8×DF÷2=12 より、DF=12×2÷8=3cmとなります。よって、AF=AD-DF=12-3=9 より、x=9cmです。予習シリーズ別冊「解答解説」36ページにある図を参照してください。
周期を考える問題です。
白い正方形の紙と赤い正方形の紙を交互に重ねて行きます。このとき、白い紙に見えている数の和は、1+2+3=6です。また、赤い紙に見えている数の和は、5+6+7=18です。
(1) 全部で10まいの紙を重ねますから、白、赤それぞれ5まいずつになっています。よって、(6+18)×5=120ですが、10まい目の赤は8がかくれませんので、120+8=128より、見える数字すべての和は、128です。
(2) 白、赤1まいずつの合計2まいを1組(白、赤それぞれの右下のマスの数を除きます)として考えていきます。610÷(6+18)=25あまり10となりますが、これは、白、赤の組が25組あり、あまりの10は最後に4つの数の和が10になる、ということを表しています。和が10になるのは、1+2+3+4=10ですから、白の紙とわかります(1まいすべての数字が見えているということです)。よって、2(まい)×25(組)+1(まい)=51より、51まいの紙を重ねました(白が26まい、赤が25まい)。
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