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＜算数 本科教室 6年生 ステージⅤ 第11回＞

　第11回のテーマは「立体図形Ⅲ」です。今回は「基本的な求積（立体図形の体積と表面積）」「円すいの性質と求積」「最短距離」について確認をしていきます。

　立体図形は平面図形と違い3次元のため、図形が思うように見えないことがあります。今回のポイントは見取図と展開図の利用にあります。特に見取図から展開図への書き変えは、表面積や最短距離を考えるときに重要です。また、見取図から切り口を考えていくことも重要です。

　見取図と展開図を利用すると、立体では把握しづらい辺の長さや角度をとらえることができます。このように立体図形を考えるときには工夫をして平面図形で考えることが重要です。

　円すいでは底面の半径と母線の関係を活用できるよう、十分に練習しておきましょう。

　複雑な立体の求積の問題では、立体を切る、全体から必要のない部分を取り除く、形を変えてみるという平面図形でも用いた手法を試してみましょう。立体図形は受験する学校の出題傾向と合わせて学習していくと効率的です。それぞれの入試でどの程度出題されているのか確認した上で、演習に取り組むとよいでしょう。

【対策ポイント】

　栄冠への道のチェックポイント〔ステージⅤ　第11回　立体図形Ⅲ〕を使って重要事項の確認をしていきましょう。

　44ページの「3．立体の表面積」ではいろいろな立体の表面積の求め方を確認しておきましょう。柱体（直方体や立方体を含む）やすい体は展開図を書いて表面積を求めていきます。展開図にすることが難しい44ページ図4のような同じ立方体を組み合わせた図形では正面から見た図と背面から見た図、右から見た図と左から見た図、真上から見た図と真下から見た図に分けて考えていくとよいでしょう。図4の図形を正面から見ると左側に正方形が縦に2個、右側に正方形が1個ある図になります。右から見ると右側に正方形が縦に2個、左側に正方形が1個ある図になります。

　また、真上から見ると左側に正方形が縦に2個、右側に正方形が1個ある図になります。この図形の場合、正面（背面）、右（左）、上（下）のどの面から見ても同じ正方形3個分の面積となります。また、同じ立方体を組み合わせた図形では凹みがある場合、どこから見ても見えない面があることに注意し、表面積を取り求めるときには慎重に調べましょう。

　44ページの「4．円すいの表面積」では側面積の求め方を確認しておきましょう。44ページの円すいの見取図と展開図、文章による説明を見ながら考えましょう。円すいの展開図は底面が円、側面がおうぎ形となります。

　側面のおうぎ形の中心角は「中心角=360×底面の半径/母線」の式で求めることができます。この式は「中心角/360＝底面の半径/母線」と表すこともできます。このことと母線の長さが側面のおうぎ形の半径となることから、円すいの側面積は「母線×母線×3.14×中心角/360」と表すことができ、「中心角/360」の部分を「底面の半径/母線」と置き換えて「母線×母線×3.14×底面の半径/母線」から「母線×底面の半径×3.14」と表すことができます。

　具体的には栄冠への道第11回94ページの基本演習の問3、95ページの問4（1）を使って練習してみましょう。

　45ページの「6．最短距離」では立体図形上のある点からある点までの最短距離の考え方を確認します。はじめに45ページの直方体の例を説明します。頂点Ｄから頂点Ｆまでの、辺ＢＣ上を通る最短距離を考えます。

　最短距離を考えるときには、線が通る部分の展開図を書いて点と点を直線で結びます。ここでは、45ページの直方体の右側に書かれた図が展開図で頂点Dと頂点Fを直線で結んでいます。ここで三角形DFGはPCとFGが平行なピラミッド型です。AB：BF＝2：3のため、DC：CG＝2：3です。このことからDC：DG＝2：5となり、PC：FG＝2：5となります。

　FGは4cmでこれは比の5にあたることから、比の1は4÷5＝0.8cmとなります。PCの長さは比の2にあたることから、0.8×2＝1.6cmとなります。

　次に円すいの側面にひもをまきつけた場合の最短距離について説明します。45ページの下にある円すいの見取図と展開図を見てみましょう。円すいの側面にAからひもをまきつけて側面を1周して再びAにもどってくる最短距離を求めます。

　円すいの底面の半径/母線＝2/12＝60/360であることから、側面のおうぎ形の中心角は60度であることがわかります。ここで右の展開図を見てみましょう。側面はAを通る母線で側面を切り開いたものです。AとAを直線で結ぶと最短距離となります。ここで側面のおうぎ形の一部に頂角が60度の2等辺三角形ができることがわかります。頂角が60度の2等辺三角形は正三角形です。このことからAAの長さ（最短距離）は12㎝となります。

　おうぎ形の最短距離を求める場合には正三角形や三角定規の形（内角が30度、60度、90度）などの特殊な三角形の性質を使って考えるとよいでしょう。

　46ページの「8．重要な展開図」では③特別な三角すいについて確認しましょう。46ページの一番下の正方形を見てみましょう。これは三角すいの展開図です。組み立てると展開図の右側にある三角すいのようになります。詳しく特徴を見ていきましょう。展開図は正方形で、一辺の長さは12㎝です。正方形の下の辺のDBとBDは同じ長さで6㎝です。

　ここで、三角形ADBと三角形ADCは合同で直角をはさむ2辺の長さは6㎝と12㎝で1：2となっています。また三角形CBDは直角をはさむ2辺がともに6㎝の直角2等辺三角形です。この特徴を持った展開図を組み立てると展開図の右の見取図にある三角すいとなります。三角すいの体積を求めると6×6÷2×12÷3＝72㎤となります。

　この三角すいを使った以下の問題①、②を考えてみましょう。

①側面の三角形ABCの面積を求める。
三角形ABCの面積は直接求めることはできませんが、展開図を利用して正方形の面積から周りの三角形の面積を取り除くことで求めることができます。

　正方形の面積は12×12＝144㎠です。三角形ADBと三角形ADCは合同で面積は6×12÷2＝36㎠です。三角形CBDの面積は6×6÷2＝18㎠です。したがって三角形ABCの面積は144-(36×2＋18）＝54㎠となります。

②三角形ABCを底面としたときの三角すいの高さを求める。
三角形ABCの面積は①で求めたように54㎠です。またこの三角すいの体積は72㎤であることがわかっています。このことから三角形ABCを底面とした場合の高さを○㎝とすると、54×○÷3＝72という式が成り立ちます。このことから逆算の考え方を使って、三角すいの高さを求めると○＝72×3÷54＝4㎝となります。

　次に本科テキストより、特別な三角すいを使う問題を紹介します。実際に解いてみて、特別な三角すいの知識をどのように使うのか実感してみましょう。

【合格力完成教室 ステージⅤより】

140ページ問2
144ページ問16
144ページ問17

【合格力完成教室 ステージⅤ難問より】

190ページ問10
190ページ問11

　ここからは、『合格力完成教室 ステージⅤ』と『合格力完成教室 ステージⅤ難問』それぞれから、合格へ向けて優先順位の高い問題をピックアップして行きます。

【合格への10題（合格力完成教室 ステージⅤより）】

　136ページから139ページの演習1～演習4は必修 です。その他に絶対やって欲しい合格への10題は以下の通りです。

①140ページの問2
②142ページの問11
③142ページの問12
④143ページの問13
⑤144ページの問16
⑥144ページの問17
⑦145ページの問20
⑧146ページの問22
⑨147ページの問26
⑩148ページの問29

　今回は136ページから139ページの例題1～例題4が非常に重要です。実際に演習を行ってみて考え方を確認してから練成問題を行うようにしましょう。

【合格への10題（合格力完成教室 ステージⅤ難問より）】

　188ページから192ページの知識•技術重点問題は必修です。その他に絶対やって欲しい合格への10題は以下の通りです。

①193ページの問1
②193ページの問4
③194ページの問5
④195ページの問8
⑤195ページの問9
⑥196ページの問12
⑦197ページの問15
⑧197ページの問16
⑨199ページの問22
⑩202ページの問28

　立体図形の問題を解くときには、図形の性質に目を向けたり、調べ方を考えたりと工夫が必要です。184ページから187ページの「身に付けたい重要なポイント」のⅠ、Ⅲ、Ⅳを確認しておくとよいでしょう。必要に応じて見取図や展開図などを書きながら考えていきましょう。

＜算数 本科教室 5年生 ステージⅣ 第11回＞

　第11回のテーマは「速さ　速さと単位」です。今回は速さの導入です。「速さの定義を確認すること」「速さの単位を変えることができること」「速さ、道のり、時間の関係を捉えること」が目標となります。

　今回の学びは、この後で習う「進行グラフ」「旅人算」「通過算」、ひいては入試に関わってくる重要な内容です。速さの本質的な意味を理解して、公式やグラフに結び付けていけば、いっそう理解が深まります。今回はこれから始まる速さの学習の基礎を固めていきましょう。

【対策ポイント】

　「学び1」では速さを比べます。複数の速さを比べる場合、①同じ時間で、どれだけの道のりを進んだのかを比べる、②同じ道のりを進むのに、どれだけの時間がかかったのかを比べる、の2つの方法があります。

　242ページの「やってみよう！」を見てみましょう。クマさん、ネコさん、ゾウさんの速さを比べます。クマさんのネコさんは同じ10分でクマさんの方が進んだ道のりが長いため、クマさんの方が速いことになります。クマさんとゾウさんでは同じ1000mをクマさんの方が短い時間で歩いたため、クマさんの方が速いことになります。

　ネコさんとゾウさんは時間も道のりも違うため、正確に速さを比べることはできません。そこで時間をそろえて比べてみます。具体的には、ネコさんの時間を16分にしてみましょう。ネコさんは800mの道のりを10分で歩くため、80mの道のりを1分で歩くことになります。このことから、ネコさんは16分で80×16=1280m歩くことになります。

　したがって、同じ16分でネコさんの方が進んだ道のりが長いため、ネコさんの方が速いことになります。このように速さを比べるときは時間や道のりを同じにすると比べやすくなります。

　「学び2」は速さの定義について学びます。速さとは「単位時間あたりに進んだ道のり」のことをいいます。単位時間には1時間、1分、1秒などがあります。また道のりの単位はkm、m、cmなどがあります。

　例えば、242ページの「学び1」のクマさんの例では1000mの道のりを10分で歩いています。この場合、クマさんは1分あたり1000÷10=100m進んだことになります。このことを速さといい、分速100m（毎分100m、100m/分）と表します。

　次に同じ速さを、いろいろな単位で表す練習をしましょう。244ページの「やってみよう！」を説明します。秒速10mをいろいろな単位で表してみます。秒速10mの速さは「1秒で10m進む」ということです。常に速さの定義に戻って考えてみましょう。はじめに1分を考えてみます。1分は60秒ですから、同じ速さで進むと1分で10×60=600m進むことになります。このことを分速600mと表します。

　このことをもとに、1時間を考えてみます。1時間は60分ですから、同じ速さで進むと1時間で600×60＝36000m進むことになります。このことを時速36000mと表します。また、道のりの単位をkmに変えると時速36kmとなります。このように速さの定義にしたがって考えれば同じ速さをいろいろな表し方で表現することができます。

　速さの問題では時間の単位をそろえて計算する場合がよくあります。このとき、「時間」から「分」に変える場合や「分」から「秒」に変える場合は計算しやすいのに対して、「秒」から「分」や「分」から「時間」に変える場合は計算しづらい場合があます。

　はじめに「時間」から「分」に変える方法を説明します。1時間は60分ですから、時間を分に変える場合は時間の数字を60倍します。例えば2時間2×60=120分です。同様にして「分」から「秒」に変える場合、1分は60秒ですから、分を秒に変える場合は分の数字を60倍します。例えば3分は3×60＝180秒です。

　次に「秒」から「分」や「分」から「時間」をやってみます。「秒」から「分」にする方法を説明します。60秒は1分ですから、秒を分に変える場合は秒の数字を60分の1にします（60で割ります）。例えば15秒は15÷60＝0.25分です。時間を小数で表すことにピンとこないかも知れませんが慣れましょう。

　また、10秒は10÷60＝0.166…となります。これでは困ります。このような場合、10÷60＝10/60＝1/6（6分の1）分とします。こうすることでどのような場面でも使える形になります。同様にして「分」から「時間」に変える場合、60分は1時間ですから、分を時間に変える場合は分の数字を60分の1にします。例えば12分は12÷60＝0.2時間です。20分は20÷60＝20/60＝1/3時間となります。

　「秒」から「分」や「分」から「時間」に変える場合、割り切れなければ分数で表せることを覚えておきましょう。「学び2」のまとめとして246ページの「学んだことを使う」をやってみましょう。

　「学び3」では速さ、道のり、時間の関係を学びます。はじめに速さとは単位時間あたりに進む道のりのことです。分速10mの速さは「1分間に10m進む」ことを表しています。したがって2分では10m/分×2分＝20m進むことになります。このことから「速さ×時間＝道のり」ということがわかります。

　また、50m進むには50m÷10m/分＝5分かかることになります。このことから「道のり÷速さ＝時間」ということがわかります。速さの計算をする場合は常に単位を意識し、速さ、道のり、時間の単位を合わせて計算するようにしましょう。また、計算の結果、出てきた数字の単位も考えましょう。あらためてまとめると速さ、道のり、時間の関係は以下のようになります。

速さ=道のり÷時間
道のり=速さ×時間
時間=道のり÷速さ

　「学び3」の最後に250ページの「やってみよう！」をやってみましょう。

　演習としては252ページから254ページは必修です。254ページの問4、問5では単位に気をつけましょう。255ページの「自分の速さは…」もやってみましょう。速さの問題に取り組むときに、速さの感覚を持っていることはとても重要です。

　256ページ以降は問1～問4、問5～問8、問9～問12の範囲でだんだんと難易度が上がっていきます。それぞれの問いで文章中の条件や単位に注意しながら取り組みましょう。また、時間を表すときには分数をうまく使っていきましょう。特に256ページの問1、257ページの問2、問3、問4は必ず取り組みましょう。さらに257ページの問5、258ページの問9、259ページの問12にもチャレンジしてみましょう。

＜算数 本科教室 4年生 ステージⅢ 第11回＞

　第11回のテーマは「文章題　線分図を使う　～和差算・分配算～」です。ここでは「線分図がかけること」「線分図を使えること」「線分図を操作すること」が目標になります。線分図は文章題にとどまらず、図形や速さの問題でも使います。受験生にとってなくてはならない道具です。

　線分図はかき方や表し方に工夫をすると使える形になります。それぞれの「学び」で習うポイントを意識しながら丁寧にかいていきましょう。線分図のかき方次第で問題がスムーズに解けるか否かが決まります。今回の学びを通して線分図の達人を目指しましょう！

【対策ポイント】

　「学び1」では2種類の線分図をかいてみます。線分図とは物の個数や金額、重さなどを線の長さで表したものです。個数であれば多いほど長くかき、少ないほど短くかきます。線分図にはその長さを表す数字をかき込みます。数字をかき込んだら、どこからどこまでがその数字が表す長さなのか示します。数字が何を表しているのか情報もかき込みましょう。かき込んだ線と線、線と情報などか重ならないようにかくように注意しましょう。フリーハンドでかけるのが理想ですが、初めは定規を使っても良いでしょう。

　線分図のかき方として、184ページを見てみましょう。例ではゆきやさんとさとるさんのおこづかいについての線分図が2種類かかれています。左側の線分図は2人のおこづかいを横に並べてかいたもので、全体の長さが2人のおこづかいの和になっています。線分図の左端から右端を結んで1400円とかき込みましょう。

　右側の線分図は2人のおこづかいを縦に並べてかいたもので、ゆきやさんの方がさとるさんよりも200円多いことがわかります。線分図を縦に並べてかく場合、必ず左側の端をそろえてかきましょう。さとるさんを基準にした場合、ゆきやさんの線分図の右側にはみ出している部分に200円とかき込みましょう。

　このように横に並べた線分図では2人のおこづかいの「和」がとらえやすくなり、縦に並べた線分図では2人のおこづかいの「差」がとらえやすくなります。

　「学び2」では実際に線分図を使って問題を解いてみます。186ページのちとせあめをひろしさんとたけしさんで分ける例を見てみましょう。50cmのちとせあめを2人で分けましたが、ひろしさんの方が6cm長かったようです。

　中段にある線分図を見てみましょう。線分図を見ると2人のちとせあめの長さの差が6cm、長さの和が50cmであることがわかります。線分図を縦に並べてかいた場合、和は中かっこをつけて横にかきます。はじめにたけしさんのちとせあめの長さを出してみましょう。ポイントは「線の長さを同じにする」ことです。

　はじめにたけしさんの線分図の線の長さにそろえる方法を説明します。ひろしさんの線分図の右側にはみ出している部分を取り除きます（指で6cmの部分を隠してみましょう）。するとたけしさんの線分図と同じ長さの線分図がひろしさんのところに現れます。これで線の長さが同じになりました。また、はみ出した6cmの部分は取り除いたため、2人の長さの和は50－6＝44cmとなります。

　ここまでできればもう少しです。2人の長さがたけしさんの長さにそろったため、2人の和の44cmを2で割ると22cmとなり、たけしさんのちとせあめの長さは22cmとなります。つまり、(2人の長さの和－2人の長さの差)÷2で短い方の長さ（たけしさんの長さ）が出ます。

　次に別の方法でひろしさんのちとせあめの長さを出してみましょう。再び線分図に戻りましょう。今度はたけしさんの線分図にある線の右側の足りない部分に6cmを付け足します（たけしさんの線分図の右側に6cmの線をかき込んでみましょう）。するとひろしさんの線分図と同じ長さの線分図がたけしさんのところに現れます。

　これで線の長さが同じになりました。また、6cmの部分は付け足したため、2人の長さの和は50＋6＝56cmとなります。2人の長さがひろしさんの長さにそろったため、2人の和の56cmを2で割ると28cmとなり、ひろしさんのちとせあめの長さは28cmとなります。つまり、(2人の長さの和＋2人の長さの差)÷2で長い方の長さ（ひろしさんの長さ）が出ます。

　どちらの方法でやっても構いませんが、両方ともできるようにしましょう。

　「学び3」では3種類以上の量の関係を線分図で表して問題を解いていきます。3種類以上の量を比較する場合、「どの量とどの量を比較しているのか」に注意を払いましょう。

　188ページの例で説明します。「やってみよう！」にある線分図を完成させます。はじめに「4年生は5年生より8人多い」とあるため、4年生の線を8人分長くかきます。また、「5年生は6年生より11人多い」とあるため、5年生の線を11人分長くかきます。そして4年生、5年生、6年生の人数の合計は210人のため、これを中かっこを使って右側にかきます。

　これで線分図は出来上がりです。6年生の人数を出してみましょう。4年生、5年生、6年生の線の長さを6年生にそろえます。4年生は6年生よりも11＋8＝19人多いため、この部分を取り除きます。5年生は6年生よりも11人多いため、この部分を取り除きます。そして4年生、5年生、6年生の人数の合計も210－(19＋11)＝180人となります。

　3つの線の長さが6年生にそろいましたから、6年生の人数は180÷3＝60人となります。このように3種類以上の量の関係も2種類の時と同じように長さをそろえれば簡単に解くことができます。4年生や5年生に長さをそろえた方法もやってみましょう。

※「学び4」は「ステージⅢ・本科教室答え4年」に掲載されている線分図を参照しながらお読みください

　「学び4」ではやりとりの様子を線分図で考えてみます189ページの例で説明します。「やってみよう！」にある線分図を完成させます。はじめにみきさんの払った3人分の交通費は780×3＝2340円となります。これを線分図にかき込みます。

　次によしこさんの払った3人分の昼食代の3300円を線分図にかき込みます。さらにらんさんの払った3人分の入場料は2500×3＝7500円となります。これを線分図にかき込みます。3人の使ったお金の合計金額は2340＋3300＋7500＝13140円となります。また、3人の使ったお金の平均金額は13140÷3＝4380円となります。

　再び線分図に戻りましょう。全員が同じ金額を払ったことになるように、3人のお金のやり取りを考えます。3人の線分図に平均の4380円を表す線をかき込みます。みきさん（2340円）よりも右側、よしこさん（3300円）よりも右側、らんさん（7500円）よりも左側に4380円の線をかき込みます（縦に上から下までまっすぐに線をかくイメージです）。こうすると、たくさん払っているのはらんさんで、みきさんとよしこさんはらんさんにお金を払わなければならないことがわかります。

　具体的にはみきさんが使ったお金は2340円ですから、平均の4380円には4380－2340＝2040円足りません。この金額をらんさんに払います。同じようによしこさんが使ったお金は3300円ですから、平均の4380円には4380－3300＝1080円足りません。この金額をらんさんに払います。したがって、らんさんはみきさん、よしこさんの2人から2040＋1080＝3120円もらうことになります。線分図で確認すると、らんさんの線分図は平均の4380円よりも7500－4380＝3120円はみ出していることがわかります。このやりとりの線分図は入試においてもとても重要です。必ずかけるようにしましょう。

　演習としては190ページから191ページは必修です。191ページの問4、問5はやりとりの問題です。やりとりの問題の場合には、渡したお金ともらったお金が等しいことに注目して線分図に表していきましょう。この後、192ページから193ページの問は問題文の条件から新しい情報を作り出したり、複数の可能性を調べたりと、どれも一段階難しくなっています。「学び1」「学び2」の内容が定着していない場合はもう一度、190ページから191ページの問に取り組みましょう。

　192ページの問2は「AがCに200円渡すと、AとCの所持金が等しくなります」の部分の考え方がポイントとなります。線分図に表して考えてみましょう。193ページの問3は線分図をかいていくつかの可能性を探っていきましょう。

　われわれ中学受験鉄人会のプロ家庭教師は、常に100％合格を胸に日々研鑽しております。ぜひ、大切なお子さんの合格の為にプロ家庭教師をご指名ください。