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＜算数 本科教室 6年生 ステージⅤ 第5回＞

　第5回のテーマは「比Ⅴ」です。今回は「食塩水の濃度の意味と計算」「全体の量の中の一定の量に注目する」「面積図を利用する」「売買の用語の意味と計算」「売買の相当算」について確認をしていきます。

　食塩水の濃度ではビーカー図、面積図など図に整理する方法を確認します。売買の計算では、用語の意味の確認と、原価、定価、売価と利益の関係を線分図などに整理しながら考えていく方法を確認します。

　どの問題でも書いて整理していくことが共通の内容となります。問題にある情報を整理するときには、情報を正確に把握し、順序を守り、図を正確に書く必要があります。

　例えば、「どのような順番で書くのか」「どちらの方が大きいのか、または同じ大きさなのか」などです。細かい点に注意して、秩序を立てて考えると、問題解決の糸口が見えてきます。まずは書いて調べるところから始めましょう。

　栄冠への道のチェックポイント〔ステージⅤ　第5回　比Ⅴ〕を使って重要事項の確認をしていきましょう。

　15ページの「1.食塩水の濃度の意味と計算」ではビーカー図を使って、濃度、食塩の重さ、食塩水の重さの関係について確認していきましょう。初めにビーカー図の書き方について確認します。
（※ビーカー図については　『本科教室』6年ステージⅣ　第27回「割合と比　濃度」の218ページを参照してください）

　例えば、10%の食塩水200gをビーカー図で表してみましょう。ビーカー図は上から濃度、食塩の重さ、食塩水の重さの順で書きます。この場合は初めに1番上の濃度を10%と書き、次に1番下の食塩水の重さを200gと書きます。食塩の重さ＝食塩水の重さ×濃度のため、食塩の重さは200×0.1＝20gとなります。この食塩の重さ20gを真ん中に書き込んでビーカー図は完成です。

　ここで、ビーカー図で食塩の重さと食塩水の濃度に注目して、ビーカー図の表現のまま分数で見ると食塩の重さ/食塩水の重さ＝20/200＝10/100＝(0.1)となります。このことは食塩水の重さに対する食塩の重さの割合を表し、ビーカー図の1番上の濃度を表します。計算では0.1まで示しましたが、10/100と表現することで、10%ということが明確になります。

　15ページの（例1）をビーカー図で表してみましょう。水270gに食塩30gを加えると□%の食塩水になることをビーカー図で表してみましょう。この場合、ビーカー図の上から□%、30g、270＋30＝300gと書きます。このとき、30/300＝1/10＝0.1となることから、食塩水の濃度は10%となります。

　次に（例2）をビーカー図で表してみましょう。6%の食塩水150gに□gの食塩がふくまれていることをビーカー図で表してみましょう。この場合、ビーカー図の上から6%、□g、150gと書きます。このとき、□/150＝0.06となります。ここで、0.06＝6/100＝9/150であることから、食塩の重さは9gとなります。

　次に（例3）をビーカー図で表してみましょう。8%の食塩水□gに10gの食塩がふくまれていることをビーカー図で表してみましょう。この場合、ビーカー図の上から8%、10g、□gと書きます。このとき、10/□＝0.08となります。ここで、0.08＝8/100＝10/125であることから、食塩水の重さは125gとなります。

　このように、ビーカー図では濃度、食塩の重さ、食塩水の重さのうち2つの量がわかると残りの1つの量を求めることができます。

　15ページの「2. 全体の量の中の一定の量に注目する」では一定の量に注目して、食塩水の濃度を考えていきます。

　15ページの（例1）をビーカー図で表してみましょう。6%の食塩水200gに水を□g入れると、4%の食塩水ができることをビーカー図で表してみます。そのためには初めに問題文をより正確に解釈しましょう。「6%の食塩水200gに水を□g入れる」とは「6%の食塩水200gに水を□g加える」ことと同じです。

　ここで、水には食塩はとけていません。したがって、「水を□g」の部分を「0%の食塩水を□g」と言い換えます。つまり、「6%の食塩水200gに水を□g入れる」ことは「6%の食塩水200gに0%の食塩水を□g加える」ことと同じです。

　このことから、ビーカー図を書いてみましょう。ビーカー図のイメージは(6%の食塩水200g)＋(0%の食塩水□g)＝(混ぜた後の食塩水)です。初めに6%の食塩水200gを書きます。ビーカー図の上から6%、真ん中に(200×0.06＝)12g、1番下に200gと書きます。次に0%の食塩水□gを書きます。

　ビーカー図の上から0%、真ん中に0g、1番下に□gと書きます。最後に混ぜた後の食塩水を書きます。混ぜた後の食塩の重さは6%の食塩水200g中の食塩の重さの12gと0%の食塩水□g中の食塩の重さの0gの和になります。

　混ぜた後の食塩水の重さは6%の食塩水200gと0%の食塩水□gの和になります。混ぜた後の食塩水のビーカー図を書くと、ビーカー図の上から4%、真ん中に12＋0＝12g、1番下に（200＋□）gと書きます。

　このとき、12/(200＋□)＝0.04となります。ここで、0.04＝4/100＝12/300であることから、200＋□＝300となります。このことから、□＝300－200＝100gとなります。

　次に（例2）を見てみましょう。（例1）と同じように考えると「6%の食塩水100gから水を40g蒸発させると、濃度□%の食塩水になる」とあるため、「6%の食塩水100gから0%の食塩水を40g取りのぞくと□%の食塩水が100-40=60gできる」と考えます。

　このことから、ビーカー図を書いてみましょう。ビーカー図のイメージは(6%の食塩水100g)－(0%の食塩水40g)＝(□%の食塩水60g)です。初めに6%の食塩水100gを書きます。ビーカー図の上から6%、真ん中に(100×0.06＝)6g、1番下に100gと書きます。

　次に0%の食塩水40gを書きます。ビーカー図の上から0%、真ん中に0g、1番下に40gと書きます。最後に□%の食塩水60gを書きます。ビーカー図の上から□%、真ん中に△g、1番下に60gと書きます。ビーカー図の食塩の重さを見てみると、6%の食塩水100g中の食塩の重さが6g、0%の食塩水40g中の食塩の重さは0gのため、□%の食塩水60g中の食塩の重さは6-0＝6gとなります(6gを□%の食塩水60gのビーカー図の真ん中の△のところに書き込みましょう)。

　すると、□%の食塩水60g中の食塩の重さが6gのため、この食塩水の濃度は6/60＝1/10＝0.1となり、10%であることがわかります。このことから□＝10となります。（例3）もビーカー図を書いて同じように考えてみましょう。

　16ページの「3. 面積図を利用する」では面積図を利用した食塩水の濃度の問題の解法を確認していきます。初めに面積図の表し方の確認です。

　16ページにある、縦の長さが「濃度」、横の長さが「食塩水の重さ」である長方形を見てみましょう。長方形の面積は縦の長さ×横の長さで求めることができるため、食塩水の重さ×濃度が表す面積の部分は「食塩の重さ」となります。食塩水の濃度の問題を考えるときには、この面積図を使って考えていきます。

　それでは、面積図を使って、具体的に問題を解いてみましょう。16ページの（例1）を見てみましょう。6%の食塩水100gに10%の食塩水□gを加えると、9%の食塩水になりましたという問題です。

　□にあてはまる数を求めてみましょう。初めに6%の食塩水100gを面積図で表します。縦の長さを6%、横の長さを100gとして、長方形を書きます。

　次に10%の食塩水□gを面積図で表します。縦の長さを10%、横の長さを□gとして、長方形を書きます。これら2つの面積図を、6%の面積図を左に、10%の面積図を右に並べると16ページの（例1）にある面積図になります。

　ここで、2つの食塩水を混ぜたときの様子を表します。2つの食塩水を混ぜることは、2つの食塩水の濃度を平均すると考えることができます。しだかって、混ぜた後の濃度が9%のため、左の面積図の6%と右の面積図の10%の間に9%の横線を引きます。すると、左の面積図の6%の線と9%の線の間に縦の長さが9－6＝3、横の長さが100の長方形アが現れます。

　また、右の面積図の10%の線と9%の線の間に縦の長さが10－9＝1、横の長さが□の長方形イが現れます。長方形アとイの面積は同じです。長方形アの面積は3×100＝300、長方形イの面積は1×□で表すことができます。このことから、1×□＝300となり、□＝300となります。つまり、10%の食塩水を300g加えたことになります。

　17ページの「4. 売買の用語の意味と計算」では、売買の用語の意味の確認と計算方法について確認していきます。

　18ページの真ん中の（例）を見てみましょう。原価400円の品物に、原価の4割の利益を見こんで定価をつけたことから、定価は原価の1＋0.4＝1.4倍で400×1.4＝560円となります。

　また、売価は定価の2割引きのため、定価の1－0.2＝0.8倍で560×0.8＝448円となります。したがって、利益は、売価から原価を取り除いて448－400＝48円となります。

　17ページの「5. 売買の相当算」では原価、定価、売価の割合の関係を線分図に整理して、問題を解いていきます。

　18ページの下の（例）を見てみましょう。原価500円の品物を定価の2割引きで売っても、原価の1割2分の利益があることを線分図で表していきます。（考え方）にある線分図に割合を書きこんでいきましょう。

　線分図は原価と定価の関係を表したものです。定価の2割引きを線分図に書き加えてみましょう。定価を1とすると、値引き額は2割のため、0.2となります。線分図の値引き額のところに0.2を□で囲んで書きこみましょう。すると、売価は1－0.2＝0.8となります。線分図の売価のところに0.8を□で囲んで書きこみましょう。

　このとき、線分図の売価と原価の差の部分が利益となります。次に原価を1とします（もとにする量が定価から原価にかわるため1を○で囲んで区別しましょう）。利益は原価の1割2分のため、利益のところに0.12を○で囲んで書きこみましょう。

　線分図を見ると原価の1にあたる数が500円であることがわかります。利益は0.12にあたるため、500×0.12＝60円となります。次に売価（割合の0.8）を見てみましょう。0.8にあたる数は、500＋60＝560円となります。このことから、1にあたる数は560÷0.8＝700となり、定価は700円となります。

　このように、割合の関係がわかっている場合はもとにする量と比べる量の組み合わせを区別しながら、慎重に線分図に整理し、割合と具体量を結びつけて考えるとよいでしょう。

　18ページの「6.複数の品物の売買」では1個あたりの値段に個数をかけて、全体の値段として考えていきます。

　19ページの（例1）を見てみましょう。ある品物の値上げ前の1個の値段を1とします。この品物が4割値上げされると、値上げ後の値段は、値上げ前の値段の、1＋0.4＝1.4倍になります。このことから、値上げ後の1個の値段を1.4とします。

　ここで、値上げ前の値段で買う個数を○個、値上げ後の値段で買う個数を□個とします。値上げ前の値段で○個買うときの全体の値段は（1×○）円と表すことができます。

　また、値上げ後の値段で□個買うときの全体の値段は（1.4×□）円と表すことができます。値上げ前と値上げ後で同じ金額を使うため、次のような式が成り立ちます。
　1×○=1.4×□
この式を比の内項の積と外項の積が等しいことを利用して変形すると、次のようになります。
　○：□＝1.4：1

　このことから、○:□＝1.4：1＝14：10＝7：5となり、値上げ前と値上げ後で、同じ金額で買える品物の個数の比は7:5となることがわかります。

　式を立てて、同じ部分に目を向けていくことは、他の文章題でも使うことのできる考え方です。

　次に20ページの（例2）を見てみましょう。（例1）と同じように、割合を区別しながら考えていきます。初めに問題を整理しましょう。ある品物に原価の4割の利益をみこんで定価をつけたとあることから、原価を1とすると、定価は1＋0.4＝1.4となります。

　また、全体の個数の3/4は定価で売り、残りは原価で売りましたとあることから、全体の個数を4、定価で売った個数を3、原価で売った個数を4－3＝1とします。

　ここで、次の3つの金額を求めてみましょう。

①原価の合計金額
　原価の合計金額は、品物1個の原価に全体の個数をかけることで求めることができます。したがって、原価の合計金額は1×4＝4となります。

②定価で売ったときの売上
　定価で売ったときの全体の売上は、定価に定価で売った個数をかけることで求めることができます。したがって、定価で売ったときの全体の売上は、1.4×3＝4.2となります。

③原価で売ったときの売上
　原価で売ったときの全体の売上は、原価に原価で売った個数をかけることで求めることができます。したがって、原価で売ったときの全体の売上は、1×1＝1となります。

　①～③より、全体の利益は定価で売った場合の売上と原価で売った場合の売上の合計から、原価の合計金額を取り除くことで求めることができます。したがって全体の利益は、4.2＋1－4＝1.2となります。

　このことから、原価の合計金額に対する全体の利益の割合は1.2÷4＝0.3となり、全体の利益は原価の合計金額の3割であることがわかります。

　ここからは、『合格力完成教室 ステージⅤ』と『合格力完成教室 ステージⅤ難問』それぞれから、合格へ向けて優先順位の高い問題をピックアップして行きます。

【合格への10題（合格力完成教室 ステージⅤより）】

　58ページから61ページの演習1～演習4は必修です。その他に絶対やって欲しい合格への10題は以下の通りです。

①62ページの問1
②62ページの問3
③63ページの問8
④65ページの問25
⑤65ページの問26
⑥65ページの問28
⑦66ページの問31
⑧67ページの問35
⑨70ページの問47
⑩70ページの問50

　62ページの問1、問3、63ページの問8は食塩水の基本的な問題です。ビーカー図や面積図を使って解いていきましょう。65ページの問25は全部運べた場合を想定して問題を考えるとよいでしょう。65ページの問26は食塩水をやりとりする問題です。図に整理して考えましょう。65ページの問28は問題文の最後から最初へとさかのぼって考えていくとよいでしょう。66ページの問31、67ページの問35は売買の基本的な問題です。もとにする量と比べる量に注意しながら取り組みましょう。70ページの問47と問50では線分図を利用して問題を整理するとよいでしょう。

【合格への10題（合格力完成教室 ステージⅤ難問より）】

　84ページから87ページの知識技術重点問題は必修です。その他に絶対やって欲しい合格への10題は以下の通りです。

①88ページの問1
②88ページの問4
③88ページの問5
④89ページの問7
⑤89ページの問8
⑥90ページの問11
⑦92ページの問19
⑧93ページの問21
⑨93ページの問22
⑩94ページの問25

　88ページの問1、問4、問5、89ページの問7、問8、90ページの問11は食塩水の濃度に関する問題です。どのような解法が有効か自分で判断しながら進めてみましょう。92ページの問19、93ページの問21、問22、94ページの問25は売買に関する問題です。つるかめ算の考え方や表などを使って問題を整理しながら取り組むとよいでしょう。

＜算数 本科教室 5年生 ステージⅣ 第4回＞

　第4回のテーマは「比例・反比例」です。今回の単元では比例・反比例の関係を調べる→式に表す→グラフ化するというプロセスをたどっていきます。

　比例・反比例の関係は算数に限らず、理科でもよく使う考え方です。また、中学生になるとさらに他単元との関連の中で総合的に学びが進められ、その後も一次関数などに発展していく重要な単元です。今回の演習で比例・反比例の基本的な考え方を身につけましょう。

【対策ポイント】

　「学び1」は、「ともなって変わる」とは何かを考えます。ともなって変わるとは一方(ここではxとしています)が変わると他方(ここではyとしています)も変わる関係のことです。72ページの「やってみよう！」ではともなって変わる量を表などで表してみるとよいでしょう。

　例えば例1では勉強時間(x)を1時間としたら成績(y)は50点のようにし、さらに勉強時間を2時間にした場合について考えていくという具合です。勉強時間の場合は「時間」と「成績」に数字の上では関係性がないことがわかります。他の例も同じように考えて表にまとめてみましょう。

　「学び2」では比例について学習します。比例とは「xが2、3倍…になるとyも2倍、3倍…になる」関係のことをいいます。73ページの底辺4cmの平行四辺形の高さと面積の関係では、表を見ると高さ(x)の4倍が面積(y)になっていることがわかります。このことを式に表すと「y＝4x」となります。

　さらに74ページに進んでグラフにしていきます。グラフを書くときには表にある7個の点をはっきりと書きその点を線で結んでいきます。比例の場合、0(ゼロ)を通る直線になります。グラフを書くときには、きちんと点をとり、その点の一つひとつを結ぶ作業を怠らないようにしましょう。

　グラフは書いてみないと規則性があるのかないのか、直線なのか曲線なのかどちらでもないのかなど、わからないことがたくさんあります。まずは点をとって特徴を見つけることが基本姿勢です。

　「学び3」では反比例について学習します。「学び2」の比例同様のプロセスで考えていきます。反比例とは「xが2倍、3倍…になるとyが2分の1倍、3分の1倍…になる」関係のことをいいます。75ページの面積が12平方㎝となる長方形のたて(x)と横(y)の関係を見ると、たて(x)と横(y)をかけると12になることがわかります。

　このことを式に表すと「x×y＝12」となります。中学校で学ぶ反比例とは式の形が違いますが小学生はこの方がわかりやすいでしょう。

　「学び4」では「学び3」で使った反比例の表をグラフにしていきます。グラフにするプロセスは「学び2」で説明した通りです。78ページでは、さらに細かく調べてグラフを書きます。反比例の場合、曲線になることがわかります。グラフを書くときにあまり細部にこだわってしまうと書くのに時間がかかるため、だいたいきれいな曲線になっていれば大丈夫でしょう。また(x、y)で表される点が(1、12)(12、1)のように対称なことも覚えておきましょう。

　演習としては80ページから85ページまでは必修です。今回学んだ「関係性を調べる」、「式に表す」、「グラフを書く」ということができるかどうかじっくりと取り組んでみてください。また82ページにある「何かに似ている！」「ゼロは特別だ！」は面白いのでぜひやってみましょう！また、83ページから86ページの問1～問5は今回学んだことが使えるかを試すにはよい問題です。

　87ページの問6は理科でも入試問題に出題されるおもりの重さとばねの長さの問題です。表の見方に注意しながら取り組みましょう。問7は比例・反比例の関係以外に考える要素がもう1つふえる実践的な問題です。88ページの問9はろうそくの長さの問題です。燃えることによって減った長さに注目できるかがポイントです。最後の問13は規則性を見つける問題です。入試でもよく扱われるテーマなので挑戦してみてください。

＜算数 本科教室 4年生 ステージⅢ 第4回＞

　第4回のテーマは「数と計算　小数の計算4　～四則混合計算・逆算～」です。四則混合計算では、整数の計算のときと同じ約束で計算を行っていきます。逆算では線分図や面積を使い、逆算の考え方を確認していきます。

　また、今後いろいろな場面で活用される分配法則についても学びます。四則混合計算や逆算は入試問題の計算問題で出題されます。また、分配法則は入試問題を効率よく解くテクニックとなります。じっくり学び定着させておきましょう。

【対策ポイント】

　「学び1」は四則混合計算の導入です。計算の順番は「カッコの中を先に計算する」「たし算・ひき算よりもかけ算・わり算を先に計算する」など整数の計算のときと同じです。ここでは計算をするのではなく「やってみよう！」の図を見て問題を作ります。

　問題を作る(文章にする)のが難しい場合は、図を見て式を作ることができればよいでしょう。例えば、0.4×3＋0.6や1.8-(0.4×2＋0.6)などです。今回は四則混合がテーマですから、なるべく目的にあった式が作成できるとよいでしょう。

　「学び2」では四則混合逆算を学びます。56ページの「やってみよう！」では線分図や面積を使って逆算のプロセスを確認します。整数のときと同様の考え方ですが、後ろが□のひき算、わり算の逆算(3.2－□＝2、0.6÷□＝1.2など)はあらためて注意しておきましょう。また57ページの「やってみよう！」は□に入る数を求める実践編です。計算の順序を考えながら取り組んでみましょう。

　「学び3」では分配法則を学びます。58ページの「やってみよう！」では(ア＋イ)×ウ＝ア×ウ＋イ×ウに数字を入れて分配法則が成立することを確認していきます。例えばア＝0.3、イ＝0.7、ウ＝1.2とした場合(0.3＋0.7)×1.2＝0.3×1.2＋0.7×1.2となります。左辺を計算しても右辺を計算しても答えが1.2になることがわかると思います。

　同じようにア、イ、ウに好きな小数を入れて計算してみましょう。この作業を行うとカッコでまとめてからかけた方が計算が早いことに気づくと思います。59ページの「やってみよう！」を使ってカッコでまとめた方が効率よく計算できることを実感してみてください。この方法は円やおうぎ形の周りの長さや面積を出すときに効果的です。必ず身につけましょう。

　演習としては60ページか63ージは必修です。61ページの問3、問4は逆算の問題です。繰り返しになりますが後ろが□のひき算、わり算は要注意です。再度解法を確認しましょう。問5は分配法則を利用した計算です。「書きかえる」とありますが、計算を最後までやりましょう。また文章題が苦手だという場合は問7をじっくり考えると文章から式を作る力がつくでしょう。

　65ページから66ページにかけての問1～3は少し複雑な四則混合計算と逆算です。66ページの問4の文章題は答えが出せるかではなく、式にまとめる力が求められます。普段、式を長々と横に連ねて書いてしまうような方はぜひ取り組んでみてください。

　67ページ問6は入試でもよく見られる形式です。ある数を□として式を立ててみたり、ひっ算のプロセスを書いてみたりして考えるようにしましょう。さらに69ページの問8は、見た目は違いますが逆算を利用する問題です。②は少し難しいかもしれませんがチャレンジしてみてください。

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