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＜算数 本科教室 6年生 ステージⅤ 第10回＞

　第10回のテーマは「速さと比Ⅵ」です。今回は「図形上の点の移動」「時計算」「水そうとグラフ」について確認をしていきます。

　図形上の点の移動や水そうグラフでは「変化する点」がポイントとなります。変化するとは例えば点の移動であれば、移動した点が向きを変えるときです。

　また、水そうグラフでは水そうに入れる水の量が変わったときや水が入る図形の形が変わったときです。変化する部分に注目して、丁寧に調べましょう。また、時計算では、長針と短針の動きに注目して、追いついたり追い越したりする角度について調べていきます。

　点の移動、時計算、水そうグラフのどの問題も動くようすや水がたまっていくようすを書いて調べていくと具体的な量が把握しやすくなります。今回の内容も入試頻出単元です。十分に演習を行い、入試に備えましょう。

【対策ポイント】

　栄冠への道のチェックポイント〔ステージⅤ　第10回　速さと比Ⅵ〕を使って重要事項の確認をしていきましょう。

　41ページの「1．図形上の点の移動」では図形上を動く点の移動と面積について考えていきます。41ページの（例）を見てみましょう。点Ｐが毎秒2㎝の速さで長方形の周上をＢ→Ｃ→Ｄ→Ａと動くとき、三角形ＡＰＢの面積の変化について考えていきます。ここでは点ＰがＢＣ上を動くとき、ＣＤ上を動くとき、ＤＡ上を動くときに分けて考えていきましょう。

①点ＰがＢＣ上を動くとき

　点Ｐははじめ点Ｂ上にあるため三角形ＡＰＢの面積は0（ゼロ）です。点Ｐが点Ｂを出発してから1秒後を考えてみましょう。1秒後には点Ｐは点Ｂから2㎝進んでいることからＢＰの長さは2㎝となります。このとき三角形ＡＰＢはＡＢ（10㎝）を底辺とすると高さはＢＰ（2㎝）の三角形となるため、面積は10×2÷2＝10㎠となります。

　次に点Ｐが点Ｂを出発してから2秒後を考えてみましょう。2秒後には点Ｐは点Ｂから2×2＝4㎝進んでいることからＢＰの長さは4㎝となります。このとき三角形ＡＰＢはＡＢ（10㎝）を底辺とすると高さはＢＰ（4㎝）の三角形となるため、面積は10×4÷2＝20㎠となります。このように点ＰがＢＣ上を動くときは点Ｐが点Ｂを出発してからの時間が2倍になると、三角形ＡＰＢの面積も2倍になります。つまり、点Ｐが点Ｂを出発してからの時間と三角形ＡＰＢの面積は比例します。

　点Ｐが点Ｃに着くのは点Ｂを出発してから16÷2＝8秒後となります。点Ｐが点Ｂを出発してから8秒後の三角形ＡＰＢの面積は、10×16÷2＝80㎠となります。

②点ＰがＣＤ上を動くとき

　点Ｐははじめ点Ｃ上にありこのときの三角形ＡＰＢの面積は80㎠となります。点Ｐが点Ｃを出発してから1秒後（点Ｐが点Ｂを出発してから8＋1＝9秒後）を考えてみましょう。このとき点Ｐは点Ｃから2㎝進んでいることからＣＰの長さは2㎝となります。このとき三角形ＡＰＢはＡＢ（10㎝）を底辺とすると高さはＣＢ（16㎝）の三角形となるため、面積は10×16÷2＝80㎠となります。

　次に点Ｐが点Ｃを出発してから2秒後を考えてみましょう。2秒後には点Ｐは点Ｃから2×2＝4㎝進んでいることからＣＰの長さは4㎝となります。このとき三角形ＡＰＢはＡＢ（10㎝）を底辺とすると高さはＢＣ（16㎝）の三角形となるため、面積は10×16÷2＝80㎠となります。

　このように点ＰがＣＤ上を動くときはＡＢを底辺と考えると高さは常にＢＣの長さと同じくなるため面積は一定で変わりません。点Ｐが点Ｄに着くのは点Ｂを出発してから(16＋10)÷2＝13秒後となります。このときも、三角形ＡＰＢの面積は80㎠となります。

③点ＰがＤＡ上を動くとき

　点Ｐははじめ点Ｄ上にあるため三角形ＡＰＢの面積は80㎠です。点Ｐが点Ｄを出発してから1秒後（点Ｐが点Ｂを出発してから13＋1＝14秒後）を考えてみましょう。このとき点Ｐは点Ｄから2㎝進んでいることからＤＰの長さは2㎝となります。このことからＡＰの長さは16－2＝14㎝となります。このとき三角形ＡＰＢはＡＢ（10㎝）を底辺とする高さ14㎝の三角形となるため、面積は10×14÷2＝70㎠となります。

　次に点Ｐが点Ｂを出発してから2秒後（点Ｐが点Ｂを出発してから13＋2＝15秒後）を考えてみましょう。このとき点Ｐは点Ｄから4㎝進んでいることからＤＰの長さは4㎝となります。このことからＡＰの長さは16－4＝12㎝となります。このとき三角形ＡＰＢはＡＢ（10㎝）を底辺とする高さ12㎝の三角形となるため、面積は10×12÷2＝60㎠となります。

　このように点ＰがＤＡ上を動くときには1秒ごとに高さが2㎝ずつ小さくなり、面積も10㎠ずつ減ります。点Ｐが点Ａに着くのは点Ｂを出発してから(16＋10＋16)÷2＝21秒後となります。このとき、三角形ＡＰＢの面積は0（ゼロ）となります。このように、図形の周上を点が移動する場合、移動する点が図形の頂点で向きを変えて次の頂点に進むとき注目して調べていくとよいでしょう。

　41ページの「2．時計算」では時刻を求める問題について確認しておきましょう。

　はじめに長針と短針の動く角度について確認します。長針は1時間（60分）で360度進みます。したがって1分あたり360÷60＝6度進みます。また、短針は1時間（60分）で30度進みます。したがって1分あたり30÷60＝0.5度進みます。時計の針は同じ向きに進むため、長針が短針よりも後ろにいて、追いかけるときには、1分あたり6－0.5＝5.5度ずつ長針と短針のへだたりが小さくなります（同じ向きに進む旅人算と同じように考えましょう）。

　また、長針が短針と重なった後は、1分あたり5.5度ずつ長針と短針のへだたりが大きくなります。

　42ページの④時刻を求める問題を見てみましょう。はじめに「重なる時刻」を考えてみます。はじめの四角で囲まれた（例）を見てみましょう。

　2時と3時の間で長針と短針が重なる時刻を求めてみましょう。時計算でははじめの時刻のときの長針と短針の間の角度が大切です。ここでは2時です。2時のときの長と短針の位置は長針が「12」を指していて、短針が「2」を指しています。「12」と「2」の間の角度は60度です。長針が短針に追いつくのは、60度のへだたりが0（ゼロ）度になるときです。

　長針が短針を追いかけるときには、1分あたり5.5度ずつ長針と短針のへだたりが小さくなることから、60度のへだたりが0度になるのにかかる時間は、60÷5.5＝60÷11/2＝60×2/11＝120/11＝10・10/11分となります。したがって、2時と3時の間で長針と短針が重なる時刻は2時10・10/11分となります。

　時計算の計算をするときには答えが割り切れないことが多いため、必ず分数で計算しましょう。

　次に「直角になる時刻」を考えてみます。42ページの真ん中の四角で囲まれた（例1）を見てみましょう。2時と3時の間で長針と短針の間の角度が初めて直角になる時刻について考えてみましょう。2時のときの長針と短針の角度は60度です。

　このことから、2時と3時の間で長針と短針の間の角度が初めて直角になるのは、長針が短針に重なった後ということがわかります。長針が短針に追いつくのは、60度のへだたりが0（ゼロ）度になるときで、さらに長針が短針を追い越して90度の差をつけたときに、初めて直角になります。

　つまり、長針が短針よりも60＋90＝150度多く進んだときになります。したがって2時と3時の間で長針と短針の間の角度が初めて直角になるのは、150÷11/2＝150×2/11＝300/11＝27•3/11分より、2時27•3/11分となります。

　42ページのいちばん下の四角で囲まれた（例2）を見てみましょう。6時と7時の間で長針と短針の間の角度が初めて直角になる時刻について考えてみましょう。6時のときの長針と短針の角度は180度です。このことから、2時と3時の間で長針と短針の間の角度が初めて直角になるのは、長針が短針に重なる前ということがわかります。

　したがって長針と短針の間の角度が初めて直角になるのは、はじめに180度あった長針と短針のへだたりが90度になるときです。したがって、長針は短針との差を180－90＝90度縮めればよいことがわかります。したがって、長針と短針の間の角度が初めて直角になるのは90÷11/2＝90×2/11＝180/11＝16•4/11分より、6時16•4/11 分となります。

　さらにこの問題では。6時と7時の間で長針と短針の間の角度が2回目に直角になる時刻も求めることができます。長針と短針の間の角度が2回目に直角になるのは、長針が短針に追いついてから、90度差をつけることから、このとき長針は短針よりも180＋90＝270度多く動けばよいことがわかります。

　したがって、長針と短針の間の角度が2回目に直角になるのは、270÷11/2＝270×2/11＝540/11＝49•1/11分より、6時49•1/11 分となります。

　43ページの「3．水そうグラフ」では図形とグラフの情報をどのように結び付けていくのか確認しておきましょう。

　ここでは栄冠への道第10回速さと比Ⅵ基本演習を使って考えていきます。91ページの問3を見てみましょう。

　水そうグラフではグラフが折れ曲がる部分が重要です。グラフが折れ曲がる部分は水が入る容器の形に変化が起こったときです。91ページのグラフを詳しく見てみましょう。容器に水を入れはじめてから18分後に水の深さは10cmとなっていることから、このとき、図の下の部分の直方体が水で満たされ、次に上の部分の直方体に水がたまっていくことがわかります。

　このことから、下の部分の直方体の高さは10cmで、18分でたまった水の量は400×18＝7200㎤となります。したがってABの長さを◯とすると、30×◯×10＝7200という式が成り立ちます。このことから、◯＝24cmとなり、ABの長さが24㎝となることがわかります。

　水を入れはじめてから18分後以降は図の上の部分の直方体に水がたまっていきます。□分から後は、グラフから時間が経っても水の深さは30cmから変わっていないため上の部分の直方体の高さは30－10＝20cmとわかります。したがって上の部分の直方体の体積は8×10×20＝1600㎤となります。

　毎分400㎤の割合で水を入れることから、1600㎤の水を入れるのに1600÷400＝4分かかることがわかります。したがって容器に水を入れるのにかかる時間は、容器に水を入れはじめてから18＋4＝22分後となります。

　また、水を入れはじめてから19分後の水の深さは、上の部分の直方体に水が入りはじめてから19－18＝1分後となります。1分間でたまる水の量は400㎤のためこのとき、上の部分の直方体の水の深さは400÷(8×10)＝5cmとなります。したがって水を入れはじめてから19分後の水の深さは10＋5＝15cmとなります。

　このように図形とグラフの情報を結び付けるときには、グラフが折れ曲がる部分と水が入る図形の形が変化する部分を結び付けて考えていくとよいでしょう。図形は水そうを真正面から見た平面図形で書いて、水位を書き込んでいくとより分かりやすくなります。

　ここからは、『合格力完成教室 ステージⅤ』と『合格力完成教室 ステージⅤ難問』それぞれから、合格へ向けて優先順位の高い問題をピックアップして行きます。

【合格への10題（合格力完成教室 ステージⅤより）】

　122ページから125ページの演習1～演習4は必修 です。その他に絶対やって欲しい合格への10題は以下の通りです。

①126ページの問1
②126ページの問4
③127ページの問6
④127ページの問7
⑤127ページの問9
⑥128ページの問12
⑦129ページの問13
⑧129ページの問14
⑨130ページの問19
⑩132ページの問23

　今回は122ページから125ページの例題1～例題4が非常に重要です。実際に演習を行ってみて考え方を確認してから練成問題を行うようにしましょう。

【合格への10題（合格力完成教室 ステージⅤ難問より）】

　164ページから169ページの知識•技術重点問題は必修です。その他に絶対やって欲しい合格への10題は以下の通りです。

①170ページの問2
②171ページの問3
③171ページの問4
④172ページの問6
⑤172ページの問7
⑥173ページの問9
⑦174ページの問12
⑧175ページの問14
⑨177ページの問20
⑩178ページの問22

　図形上の点の移動や水そうグラフでは移動する点や水面の高さを書き込みながら考えましょう。また、グラフを扱う問題ではグラフの折れ曲がる部分の数値に着目して、図形と結び付けて考えていきましょう。

＜算数 本科教室 5年生 ステージⅣ 第9回＞

　第9回のテーマは「平面図形　底辺比と面積比」です。高さが等しい三角形の底辺の長さの比が面積の比に等しいことを学びます。今回はこの「底辺比＝面積比」の関係をいかに使いこなすかがポイントになります。

　この関係を使えるようになるには、まず、高さが等しい三角形を見つけることがポイントです。ここでは自分で探して自分で見つけることが重要なため、できるだけ粘り強くお子さまに考えさせてください。

　さらに、高さが等しい三角形が見つからないときは、自分で作らなければなりません。ここでも自分で線を引いてみることが重要なため、じっくりと取り組むようにしましょう。

　今回は高さが等しい三角形を見抜く眼力を高めていきましょう。

【対策ポイント】

　「学び1」は高さが等しい図形についてイメージし、「高さが等しい」ということの正確な知識をつけていきます。195ページの上段の図を見てましょう。三角形と平行四辺形と台形が並んでいます。高さとは底辺を地面につけたときに、最も高いところにある頂点から地面に下ろした垂線の長さです(最も高いところにある頂点におもりのついたひもを下げるイメージです)。ここでは実際に高さの線を書いてみましょう。

　「学び2」では高さが等しい三角形の「底辺の長さの比と面積の比の関係」について学びます。196ページの上段にある三角形が3つ並んだ図を見てみましょう。3つの三角形の底辺の長さの比は左からA：B：cです。高さが同じため、これを◯とします。面積を表す式を作ると、左からA×◯÷2、B×◯÷2、c×◯÷2となります。「×◯÷2」の部分は同じため、面積の比もA：B：cとなります。したがって高さが等しい三角形の場合、「底辺の長さの比=面積の比」となります。

　197ページの「やってみよう！」の一番上の2つの三角形が並ぶ図形を見てみましょう。左側の三角形と右側の三角形の高さは同じです。このように今回扱う高さが等しい三角形は、「底辺が一直線上にあり最も高いところにある頂点が共通する」特徴があります。このイメージを忘れないようにしましょう。

　200ページの問3①を見てみましょう。三角形ACDと三角形DCBは底辺が一直線上(辺AB)にあり最も高い頂点(点C)が共通する三角形です(このように、底辺にあたる線が地面についていない場合もあります)。「底辺の長さの比=面積の比」ですから、三角形ACDの面積：三角形DCBの面積の比＝辺ADの長さ：辺DBの長さ＝8：6＝4：3となります。

　面積の公式に「高さ」が登場する図形は台形と平行四辺形があります。はじめに高さが等しい2つの台形A、Bを考えます。三角形と同じように図をイメージしてください。台形Aの上底の長さと下底の長さをA、B、台形Bの上底の長さと下底の長さをc、dとします。面積を表す式を作ると、台形Aでは、(A＋B)×◯÷2、台形Bでは(c＋d)×◯÷2となります。「×◯÷2」の部分は同じため、面積の比は、(A＋B):(c＋d)となり、「上底の長さと下底の長さの和の比＝面積の比」となります。

　また、平行四辺形も台形の仲間です。普段、面積を出すときは「底辺×高さ」としていると思いますが、「(上底＋下底)×高さ÷2」でも面積を出すことができます。高さが等しい2つの平行四辺形C、Dの場合、それぞれの底辺の長さをA、Bとすると面積の比は、(A＋A)：(B＋B)となり、台形と同じように、「上底の長さと下底の長さの和の比＝面積の比」となります。平行四辺形の場合、結局、面積比はA：Bになりますが、上底＋下底で考えることで台形との比較もできます。こうすることで、高さが等しい三角形と台形と平行四辺形の面積の比を求めることができます。

　具体的には200ページの問4を使って説明します。問4①は高さが等しい三角形と台形の例です。三角形ABEと台形AECDの面積の比は三角形ABEの底辺の長さと台形AECDの上底の長さと下底の長さの和の比になります。したがって面積比は6：(8＋10)＝1：3となります。

　問4②も同じように考えます。台形ABEDと三角形DECの面積の比が17:8とありますから、(台形ABEDの上底の長さと下底の長さの和)：(三角形DECの底辺の長さ)＝17：8となります。台形ABCDの上底の長さと下底の長さの和は20＋30＝50cmとなるため、比の25(17＋8)にあたる値が50cmとなります。このことから、比の1にあたる値は50÷25＝2cmとなることがわかります。したがってECの長さ(三角形DECの底辺の長さ)は比の8にあたる値ですから2×8＝16cmとなります。

　三角形の底辺の比と面積の関係だけでなく、台形や平行四辺形の上底と下底の長さの和と面積の関係も使えるようになるとさらに効率よく解くことができます。

　「学び3」では高さが等しい三角形を、補助線を引いて作ります。198ページの「やってみよう！」にある台形を見てみましょう。この台形の点Dと点Eを結びます。高さが等しい3つの三角形ができます。方眼を読んで長さの比を決めると、AD：BE：EC＝11：13：5であることがわかります(本来は自由に長さをきめてよい設定になっています)。

　このことから三角形AEDの面積：三角形ABEの面積：三角形DEC面積＝11：13：5となることがわかります。このように図形の面積比を出す場合、高さが等しい三角形を作って考えていく方法は様々な問題を解くときに有効な手段です。必ず身につけましょう。

　演習としては199ページから202ページは必修です。「学び2」で学んだことが使えるようになるまで何回も練習しましょう。ポイントは底辺の長さと面積比ですから、これらを明らかにするためにどんどん数字を書き込んでいきましょう。比を表す数の場合は◯などで囲んで、単位のついている数と区別していきましょう。205ページ以降は入試問題レベルの問題が並びます。206ページの問2、207ページの問4、208ページの問5、209ページの問7あたりは入試で見られる典型的な問題です。実力を確かめてみましょう。

＜算数 本科教室 4年生 ステージⅢ 第9回＞

　第9回のテーマは「速さ　速さの意味」です。今回は速さについての導入です。この単元はともすると公式に頼りがちになり、計算のことばかりが頭の中を占めるため、「公式を忘れた」「単位をそろえなかった」という事態になりがちです。

　速さの定義からしっかりと学ぶことで、単位にも注意を払うことができ、自然と公式も受け入れることができます。速さは入試でも必ず出題される単元です。焦らず、じっくりと取り組んでいきましょう。

【対策ポイント】

　「学び1」では速さの意味について考えていきます。はじめに「どちらが速いか」を考えます。148ページの例1、例2を読んでみましょう。例1ではAの方が、例2ではCの方が速いことがわかります。

　ここで重要なことは、「何を基準にしているか」です。例1では100mという同じ道のりを走っています。道のりが同じ時、時間が短い方が速いことになります。例2では5分という同じ時間を走っています。時間が同じ時、その時間で走った道のりが長い方が速いことになります。このように基準を決める(道のりを一定にする、時間を一定にする)と、どちらが速いのか分かりやすくなります。何を基準にするのか考えながら149ページの「やってみよう！」をやってみましょう。

　次に実際に速さを求めていきます。速さを考える場合、基準にするのは時間です。1時間あたり◯km進むことを表したものを速さといい「時速◯km」と表します。同様に1分あたり◯m進むことを表したものが「分速◯m」、1秒あたり◯cm進むことを表したものが「秒速◯cm」です。

　150ページの「やってみよう！」を例に説明します。ここでは1秒あたりに進む道のり(秒速)で比べてみましょう。100mを10秒で走るA選手の速さは100÷10＝秒速10m、5分(300秒)で2000mで走るB選手の速さは2000÷300＝秒速6.66…mとなります。このことからAさんの方が速いことがわかります。このように、速さを比べるときには秒速、分速、時速をそろえると比べやすくなります。分速でも比べてみましょう。

　また、151ページではいろいろなものの速さが載っています。実際の速さがどのくらいなのかを知ることはとても重要です。覚えなくてもよいので「だいたいこのぐらい」を実感しておきましょう。文章題を解くときの助けになります。

　「学び2」では速さと時間と道のりの関係を覚えましょう。速さの定義がわかっていれば式を作ることができます。152ページの「やってみよう！」を説明します。初めの文章は速さを求める問題です。600kmの道のりを3時間で進む新幹線の速さが時速200kmとあるため、式は600km÷3時間＝時速200kmとなります。式の中で時間の単位は時間、道のりの単位はkmとそろっています。このように速さの計算をするときは時間、道のり、速さの単位をそろえて使います。

　次の文章は時間を求める問題です。600kmの道のりを時速200kmで進むと3時間かかるとあるため、式は600km÷時速200km＝3時間となります。時速200kmの意味が「1時間に200km進む速さ」ととらえることができていれば、式も容易に立てることができます。

　最後の文章は道のりを求める問題です。新幹線が時速200kmで3時間進むと600km進みます、とあるため、式は時速200km×3時間＝600kmとなります。このことから、速さ、時間、道のりの関係について言葉を使った式で表すと次のようになります。

道のり÷時間=速さ
道のり÷速さ=時間
速さ×時間=道のり

　「学び2」のまとめとして、152ページの「学んだことを使う」をやってみましょう。

　演習としては153ページから154ページは必修です。154ページの問4は速さの単位を変える問題です。入試で問われるというよりは、問題を解くときに単位をそろえる場面で使います。したがって、確実にできるようにしましょう。

　156ページの問1は単純に面白いです！お子さまと一緒に考えてみて下さい。157ページの問2、158ページの問4は速さの文章題です。本格的な文章題は第10回で扱うことになりますが、文章の中から条件を選んで使う練習をしておきましょう。

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