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＜算数 本科教室 6年生 ステージⅤ 第7回＞

　第7回のテーマは「数の性質Ⅵ」です。今回は「等差数列」「周期数列」「周期を見つける問題」について確認をしていきます。等差数列や周期数列の基本的な考え方は「栄冠への道　チェックポイント」で必ず確認しておきましょう。

　今回の単元ではどの問題も全ての数を書き出せば解決します。しかし、それでは入試を考えたときに時間が足りません。したがって、ある程度まで書いて調べることで規則性がわかったら、問題を解くときには書き出しと計算を両立させて解き進めることが重要になります。ある程度とははじめの数から書き始めて、途中は•••で省略をして問題で問われている最後の部分は再び書き出します。つまり、考えるのに必要な部分を書き出すことです。

　数列に表されるものは「数字」でその「数字」を「何番目」と数字で表すため混乱することがあります。数列に何番目と順番をふるときには丸で数字を囲む(①などのようにする)などして工夫するとよいでしょう。

　周期を考える問題では周期の組数と余りの個数が重要となります。計算の結果が何を表しているのか常に考えて単位をつけるようにしましょう。また、一見数列や周期とは関係なさそうな数を操作する問題や図形の問題でも、問われている内容を数字に置きかえてみると規則性がわかります。どの問題も必要な部分は書き出し、調べていきましょう。

【対策ポイント】

　栄冠への道のチェックポイント〔ステージⅤ　第7回　数の性質Ⅵ〕を使って重要事項の確認をしていきましょう。

　29ページの「2．等差数列」では等差数列の項の求め方と等差数列の和の公式について確認しておきましょう。29ページの(例)を見てみましょう。3,8,13,18,23,…と数が並んでいます。

　はじめの数は3でこれを「初項」といいます。2番目の数は8ではじめの数との差は8－3＝5です。3番目の数は13で2番目の数との差は13－8＝5です。このようにとなり合う2つの数の差が等しい数列を「等差数列」といいます。等差数列のとなり合う数の差を「公差」といい、この場合の公差は5です。

　等差数列のN番目の数は「初項＋公差×(N－1)」の式で求めることができます。このことを使うと5番目の数は3＋5×(5－1)＝23となります。また、等差数列の1番目からN番目までの数の和は「(はじめの数＋N番目の数)×N÷2」の式で求めることができます。このことを使うと1番目から5番目までの数の和は、(3＋23)×5÷2＝65となります。これらの公式は大変重要です。必ず覚えましょう。

　30ページの「3．奇数列の和とその利用」について説明します。30ページの(例1)を見てみましょう。ここでは奇数が並ぶ数列の和について考えていきます。

　30ページの中段にある黒いご石が正方形に並んだ図を見てみましょう。これは1，3，5，7，9，…という数列を図で表したものです。「1→」の右側には●が1個あります。これは数列のはじめの数の「1」を表しています。「3→」の右側には●が3個線でつながっています。これは数列の2番目の数の「3」を表しています。

　ここではじめの数(1)から2番目の数(3)までの和について考えてみます。もちろん1＋3＝4という考えでも構いませんが、ここでは図を使って考えてみましょう。図でご石が1個とご石が3個並んだようすを見ると、縦と横にご石が2個ずつ並んだ形になっていることがわかります。したがって、はじめの数から2番目の数までの和は2×2＝4となります(「2」番目の「2」を2回かけています)。

　続けて考えてみましょう。「5→」の右側には●が5個線でつながっています。これは数列の3番目の数の「5」を表しています。ここではじめの数(1)から3番目の数(5)までの和について考えてみます。図でご石が1個、3個、5個と並んだようすを見ると、縦と横にご石が3個ずつ並んだ形になっていることがわかります。したがって、はじめの数から3番目の数までの和は3×3＝9となります(「3」番目の「3」を2回かけています)。

　これらのことから、1番目からN番目までの奇数の和は「N×N」の式で求めることができるといえます。この公式を知らなくても奇数列は等差数列のため、等差数列の和の公式によってＮ番目の数までの和を求めることはできます。しかし、この公式は「N番目」という1つの情報だけで1番目からN番目までの奇数の和を求めることができます。必ず覚えておきましょう。

　次に30ページの(例2)を見てみましょう。ここでは偶数が並ぶ数列の和について考えていきます。30ページの下段にある黒いご石が長方形に並んだ図を見てみましょう。これは2,4,6,8,10，…という数列を図で表したものです。「2→」の右側には◯が1個と●が1個あり、合わせて2個あります。これは数列のはじめの数の「2」を表しています。「4→」の右側には◯が1個と●が3個線でつながっていて、合わせて4個あります。これは数列の2番目の数の「4」を表しています。

　ここではじめの数(2)から2番目の数(4)までの和について考えてみます。ここでも図を使って考えてみましょう。図でご石が2個とご石が4個並んだようすを見ると、縦に2個、横に3個ご石が並んだ形になっていることがわかります。したがって、はじめの数から2番目の数までの和は2×3＝6となります(「2」番目の「2」に3をかけています)。

　続けて考えてみましょう。「6→」の右側には◯が1個と●が5個線でつながっていて、合わせて6個あります。これは数列の3番目の数の「6」を表しています。ここではじめの数(1)から3番目の数(6)までの和について考えてみます。図でご石が2個、4個、6個と並んだようすを見ると、縦に3個、横に4個ご石が並んだ形になっていることがわかります。

　したがって、はじめの数から3番目の数までの和は3×4＝12となります(「3」番目の「3」に4をかけています)。これらのことから、1番目からN番目までの偶数の和は「N×(N＋1)」の式で求めることができるといえます。

　31ページの「5．周期の規則性」では周期を利用した問題の考え方について確認しておきましょう。31ページの(例1)を見てみましょう。2,8,4,6,2,8,4,6,2,8,4,6…と「2,8,4,6」の4個の数字の組(周期)がくり返されている数列について考えます。

　ここでは30番目の数を求めていきます。はじめから30番目までに「2,8,4,6」の4個の数字の組何組あるのかを考えます。はじめから30番目までに「2,8,4,6」の4個の数字のくり返しは30÷4＝7(組)余り2(個)となることから、30番目の数は「2,8,4,6」の4個の数字の組の2個目で8となります。

　ここで重要なのは30を4で割ったときに商と余りが何を表しているのかということです。このことを意識するためにも商や余りには単位をつけるようにしましょう。この後、栄冠への道では1番目から100番目までの数の和を求める問題となっていますが、ここでは1番目から30番目までの数の和を求めてみましょう。

　周期のある数列の和を求める場合、1つの周期の和を求めて、その周期が何組あるのかを考えていきます。1番目から30番目までに「2,8,4,6」の4個の数字のくり返しは30÷4＝7(組)余り2(個)となります。1つの周期の和は2＋8＋4＋6＝20となります。また、余りの2個は周期の2と8となります。

　これらのことから1番目から30番目までの数の和を求めると、20×7＋2＋8＝150となります。この問題では周期の組数と余りの個数を求めたあとで余りの2個を余りの和と取り違えて、20×7＋2＝142とすることが多くあります。計算をして答えを求めるときには、計算の結果がどのようなことを表す数なのか単位をつけて考えるようにしましょう。(例2)、(例3)も周期を利用した問題です。(例1)にあげたことに注意しながら取り組みましょう。

　32ページの「6．日暦(こよみ)」では1週間(7日)を周期と考え問題を考えていきます。32ページの(例)を見てみましょう。(考え方)にある解説をもとに説明します。10月1日が日曜日のとき、10月31日は何曜日か考えてみましょう。1日後の10月2日は月曜日です。10月1日が日曜日の場合、1日後が月曜日ということが基準となります。したがって2日後は火曜日、3日後は水曜日、4日後は木曜日、5日後は金曜日、6日後は土曜日、7日後は日曜日となります。そして8日後は再び月曜日となります。

　日暦の問題では7日間の周期の組をもとにして考えていきます。10月31日は10月1日から31－1＝30日後のため、30日の間に7日間の周期の組は30÷7＝4(週)余り2(日)となることがわかります。したがって10月31日は、周期の2番目の曜日の火曜日となることがわかります。

　日暦を考える問題では周期の始まりが月曜日から始まることもあれば火曜日から始まることもあります。問題によって周期の始まりの曜日が異なるため、1日後の曜日が何曜日なのか正確に基準を決めていきましょう。

　次に10月1日が日曜日のとき、同じ年の8月20日は何曜日か考えてみましょう。10月1日が日曜日のとき、1日前の9月30日は土曜日です。1日前が土曜日ということが基準となります。したがって2日前は金曜日、3日前は木曜日、4日前は水曜日、5日前は火曜日、6日前は月曜日、7日前は日曜日となります。

　そして8日前は再び土曜日となります。日暦の8月20日は10月1日から30＋12＝42日前(9月1日から30日までは30日間、8月20日から31日までは12日間)のため、42日の間に7日間の周期の組は42÷7＝6(週)となることがわかります。

　したがって8月20日は、周期の7番目の曜日の日曜日となることがわかります。日暦をさかのぼって考える場合には曜日の進向きが土→金→木→水→火→月→日→土、のように反対になることに注意しましょう。

　33ページ②暦に関する知識、③うるう年についても確認しておきましょう。

　ここからは、『合格力完成教室 ステージⅤ』と『合格力完成教室 ステージⅤ難問』それぞれから、合格へ向けて優先順位の高い問題をピックアップして行きます。

【合格への10題(合格力完成教室 ステージⅤより)】

　84ページから87ページの演習1～演習4は必修 です。その他に絶対やって欲しい合格への10題は以下の通りです。

①88ページの問3
②88ページの問5
③89ページの問8
④90ページの問10
⑤90ページの問14
⑥90ページの問15
⑦91ページの問18
⑧91ページの問19
⑨92ページの問22
⑩92ページの問23

　丁寧に書き出して、きまりを見つけていきましょう。図形の問題では問題で問われている内容を数字で書き出していくとよいでしょう。図形にとらわれず、数字で考えていくことが重要です。

【合格への10題(合格力完成教室 ステージⅤ難問より)】

　114ページから118ページの知識•技術重点問題は必修です。その他に絶対やって欲しい合格への10題は以下の通りです。

①119ページの問1
②119ページの問3
③120ページの問6
④120ページの問7
⑤121ページの問11
⑥123ページの問14
⑦123ページの問16
⑧124ページの問17
⑨125ページの問20
⑩126ページの問22

　初見の問題でも問題文の意味を正確に把握し、規則性を調べていきましょう。数列のはじめの部分で規則性が見つかればスムーズに解くことができます。問題文を読み解くことは上位校では必須の力です。ちょっとした読み違いが大きなミスにつながります。肝心なところはじっくりと読んで解き進めましょう。

＜算数 本科教室 5年生 ステージⅣ 第7回＞

　第7回のテーマは「割合と比　比が使われている文章題～平均・分配算・倍数算～」です。今回は比を使った文章題です。線分図や面積図を書き、比の性質を利用して解いていきます。線分図や面積図は複雑な情報を整理するために書きます。そのため比と単位付きの数字を区別して書くことなど、なるべく見たときにわかりやすく書くよう心がけましょう。図が書けてしまえばその先は計算だけです。図を書くことに注意を払いましょう

【対策ポイント】

※「ステージⅣ・本科教室答え5年」に掲載された線分図を参照しながらお読みください。

　「学び1」では文章題の内容を線分図に整理していきます。145ページの大中小3種類の水そうの容積の関係を見てみましょう。

　はじめに「ア」の線分図を書いてみましょう。ここでは小の水そうを基準とすることがポイントです。大の水そうは小より40L多くなり、中の水そうは小より10L多くなることがわかります。全部で200Lとあるので、小の水そう3つ分の水の量は200－(40＋10)＝150Lとなります。このことから小の水そうに入る水の量は150÷3＝50Lとなります。

　線分図の問題では基準の長さを決めて、余った部分や不足する部分を引いたり足したりして調整をして長さをそろえていきます。

　「イ」については長さをそろえる必要はありませんが、比を線分図で表す練習です。大中小を上から⑤、③、②の順で書いていきましょう。線の長さはおよそで構いません。全部で300Lとありますから、⑤＋③＋②＝⑩にあたる量が300Lとなります。したがって①＝300÷10＝30Lとなります。

　「ウ」は「ア」と「イ」を合わせたような文章題です。小の水そうを基準にして線分図を書いてみましょう。小を①とすると小の水そうに入る水の量の3倍は③と表せます。このように考えて線分図を書いていきます。全部で340Lとありますので、大中小のそれぞれの水そうの水の量を③、②、①にそろえていくと、全部で340＋30－10＝360Lとなります。したがって、③＋②＋①＝⑥にあたる量が360Lとなり、①＝360÷6＝60Lとなります。このように比が使われている文章題では線分図に書いて情報を整理していくことで問題が扱いやすくなります。

　「学び2」では「変わらないもの」と題して量の和や差が変わらないことに注目して問題を解いていきます。147ページの「やってみよう！」ではいろいろな変わらないものを扱っています。

　「ア」は「量の和」が変わらない例です。左側に兄、右側に弟の金額を横につなげて線分図で書いてみましょう。はじめに持っている金額の比が7：5、兄が弟に600円渡した後の金額の比が1：2です。600円のやりとりをしただけですので2人の持っている金額の和は変わりません。比の7＋5＝12、1＋2＝3の12と3にあたる量は同じなので最小公倍数の12でそろえます。つまり、1：2＝4：8にします。すると比の(8－5＝)3にあたる量が600円であることがわかります。このことから比の1にあたる量は600÷3＝200円となります。

　「イ」は「量の差」が変わらない例です。差が変わらない場合は線分図を縦に並べて書くとよいでしょう。このとき、同じ1000円の本を買った値段を左端にそろえて書きます。するとはじめに姉と妹が持っている金額の比が3：2、本を買った後の金額の比が5：3であることから、はじめに持っていた金額の差が比の(3－2＝)1にあたり、後に持っている金額の差が比の(5－3＝)2にあたることがわかります。

　同じ1000円の本を買ったため持っている金額の差は変わらないため、比の1と2を最小公倍数の2でそろえます。つまり、3：2＝6：4とします。すると比の(6－5＝)1にあたる量が1000円であることがわかります。

　「ウ」の年齢の例では「差が変わらない」ことに注目して線分図を書いていきます。

　線分図は横につなげて書くこともあれば縦に並べて書くこともあります。いろいろと試してみましょう。ポイントは変わらない量(和や差)に注目して比をそろえていくことです。

　「学び3」では平均と逆比について学びます。148ページの「やってみよう！」にある面積図を見てみましょう。8回のテストの平均点が70点(面積図の左側)で、2回のテストの平均点が90点(面積図の右側)となっています。ここでは全部で10回のテストの平均点を求めます。全部で10回のテストの平均点は70点から90点の間になるはずです。平均の線を横に引いて長方形を作ってみましょう。

　すると平均点から70点の間に横長の長方形が、平均点から90点の間に縦長の長方形ができます。この2つの長方形の面積が等しいことを利用して10回のテストの平均点を求めていきます。(左側の横の長さ)：(右側の横の長さ)＝8：2＝4：1です。面積が等しいことから逆比の考え方を使って、(左側の縦の長さ)：(右側の縦の長さ)＝1：4となることがわかります。すると比の5にあたる量が90－70＝20点となります。このことから比の1にあたる量は20÷5＝4点となります。したがって10回のテストの平均点は70＋4＝74点となります。

　このように平均の面積図では面積の等しい長方形を利用して、横の長さの比の逆比が縦の長さの比になることを利用して問題を解いていきます。149ページの「やってみよう！」を使って練習してみましょう！

　演習としては150ページから151ページは必修です。すべての問題が入試で問われる典型的な問題です。「学び1」～「学び3」で学んだことが使えるか試してみましょう。問1、問2は「学び1」、問3、問4は「学び2」、問5、問6は「学び3」の内容となっています。

　また、155ページ、156ページの問1～問6は線分図の書き方や比のそろえ方を再確認するために取り組んでください。このような問題は何回も練習することが重要です。156ページの問7以降は答えを出す段階や線分図を書く段階で文章の内容を考え、工夫しなければなりません。157ページの問10、158ページの問12は入試でもよく見られる問題です。ぜひ挑戦してみてください。

　今回は線分図や面積図が中心となりましたが、159ページにあるようにベン図で比を使うこともあります。問題文をよく読んで取り組んでみましょう。

＜算数 本科教室 4年生 ステージⅢ 第7回＞

　第7回のテーマは「規則性　比例と反比例」です。比例・反比例とは何かを覚えることより、2つの量の関係を考えることが今回のテーマです。この姿勢が身につくと、2つの量の関係が比例・反比例でなくても対応できる力がつきます。

　比例・反比例については、2つの量の関係から比例と反比例の区別がつくことと、それらを式に表すことができることが目標です。入試はもちろん、中学校で学ぶ数学にもつながっていく重要な単元のため、基礎をしっかりと固めておきましょう。

【対策ポイント】

　「学び1」ではともなって変わる2つの量の関係について学びます。112ページの1番下の図を見てみましょう。Ａに1を入れて、ハートのボタンを押すとＢは3となります(以下、Ａ1→Ｂ3と表します)。

　さらに、Ａ2→Ｂ4、Ａ3→Ｂ5となることから、ハートのボタンはＡに入れた数に2を足す命令を出していることがわかります。また、クローバーのボタンを押すとＡ1→Ｂ1、Ａ2→Ｂ4、Ａ3→Ｂ9となることからクローバーのボタンはＡに入れた数を2回かける命令を出していることがわかります。

　このようにＡが1つ決まるとＢも1つに決まる関係を関数といいます。ともなって変わる2つの数の関係を見つけるときには、差や和に注目をしたり、特殊な関係(今回の例ではクローバーのボタンを使った時のＡ1→Ａ1)に目を向けるとよいでしょう。113ページ下段の「やってみよう！」にチャレンジしてみましょう。☆や♪などの新しいボタンを作って、お家の人に決まりを当ててもらいましょう！

　「学び2」では比例について学びます。比例とは「片方の数が2倍、3倍…になるともう一方の数も2倍、3倍…になる」関係のことをいいます。ここでは表を見て2つの量の関係が比例であることがわかり、その関係を式で表すことができればよいでしょう。

　114ページの「やってみよう！」にある表を使ってパックの数とぎょうざの個数の関係を調べてみましょう。表を横に見ていくと、パックの数が1つずつふえるとぎょうざの数が3つずつふえることがわかります。また、パックの数が1、ぎょうざの数が3の列を基準に考えると、パックの数が2、ぎょうざの数が6の列ではパックの数が2倍、ぎょうざの数も2倍になっていることがわかります。同じように考えていくとパックの数が2倍、3倍…になるとぎょうざの数も2倍、3倍になることがわかります。

　「学び2」ではこのうような関係を見つけ、それが比例であることがわかることが重要です。また、表を縦に見ていくとパックの数を3倍にするとぎょうざの数になることがわかります。続いて115ページの「やってみよう！」もやってみましょう。表から数の関係がわかっていればパック数をＡ、ぎょうざの数をＢとした場合、Ｂ＝3×Ａとなることがわかります。

　「学び3」では反比例について学びます。「学び2」の比例同様のプロセスで考えていきます。反比例とは「片方が2倍、3倍…になるともう一方が2分の1倍、3分の1倍…になる」関係のことをいいます。

　116ページの「やってみよう！」にある表を使ってアイスクリームを食べる人の人数と1人がもらえるアイスクリームの量の関係を調べてみましょう。表を横に見ていくと、比例のときのように差が一定の決まりがないことがわかります。そこで、人数が1、アイスクリームの量が3600(1人で食べるにはとてもありえない量です！)の列を基準に考えると、人数が2、アイスクリームの量が1800の列では人数が2倍、アイスクリームの量が2分の1になっていることがわかります。同じように考えていくと人数が2倍、3倍…になるとアイスクリームの量は2分の1、3分の1になることがわかります。

　「学び3」ではこのような関係を見つけ、それが反比例であることがわかることが重要です。また、表を縦に見ていくと人数とアイスクリームの量の積が3600で一定であることがわかります。続いて117ページの「やってみよう！」もやってみましょう。表から数の関係がわかっていればアイスクリームを食べる人の人数をＡ、1人がもらえるアイスクリームの量をＢとした場合、Ａ×Ｂ＝3600となることがわかります。

　演習としては118ページから120ページは必修です。119ページの問3で登場する歯車は仕組みが理解できないと解けないかもしれません。そのような場合は先に124ページの問5を解いてみましょう。歯車の数と回転数が反比例の関係になることがわかればスムーズに解くことができます。123ページの問3は決まりを見破っても②の問題が解けるとは限りません。ぜひチャレンジしてみましょう。

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