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算数予想問題
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第6回のテーマは「数の性質Ⅴ」です。今回は「約数に関する問題」「倍数に関する問題」「約数・倍数の利用」について確認をしていきます。約数や倍数の知識・技術は「栄冠への道 チェックポイント」で必ず確認しておきましょう。
約数や倍数のような数の性質に関する問題は苦手にする子が多い単元です。その原因の1つは、約数や倍数の考え方を使うまでのプロセスの段階で、「頭の中で考えるだけで解き進めてしまうこと」にあります。
考えるときには数字を書き出して調べたり、線分図などの図に書いて調べたりしましょう。書いて調べることで約数の問題なのか倍数の問題なのかを把握し、さらに問題中の条件の言い換えをしたり、図に書いて情報を整理したりすることで、新たな手がかりを見つけていきましょう。1つひとつ丁寧に調べていけば必ず正解にたどり着きます。
栄冠への道のチェックポイント〔ステージⅤ 第6回 数の性質Ⅴ〕を使って重要事項の確認をしていきましょう。
22ページの「4．公約数と最大公約数」ではすだれ算（連除法）による最大公約数の求め方を確認しておきましょう。また公約数は最大公約数の約数であることも覚えておきましょう。
23ページの「6．公倍数と最小公倍数」ではすだれ算（連除法）による最小公倍数数の求め方を確認しておきましょう。また公倍数は最小公倍数の倍数であることも覚えておきましょう。
さらに3つの整数の最小公倍数をすだれ算（連除法）で求めるときには注意が必要です。24ページにある（考え方1）のすだれ算による最小公倍数の求め方を見てみましょう。3つの整数をすだれ算によって割っていくときに、3つの整数に共通した約数で割っていきます。最小公倍数を求める場合、3つの整数に共通した約数がなくても、2つの整数に共通した約数がある場合は、共通した約数がない数はそのままおろし、共通した約数がある数は割ります（24ページ 例2・考え方1の③参照）。
24ページの「7．倍数の個数」についても確認しておきましょう。1からNまでのAの倍数の個数はNをAで割ることで求めることができ、このときの商が倍数の個数となります。
ここでは（例2）のようなAの倍数の範囲が1から始まらない場合について確認しておきましょう。300から500までの整数の中に7の倍数は何個あるか考える場合、1から500までの7の倍数の個数と1から299までの7の倍数の個数を調べ、それらの個数の差から300から500までの整数の中の7の倍数の個数を決定していきます。
25ページの（例2）の下の「※注」にあるように分配法則を利用した考え方では間違えることがあるため気をつけましょう。
25ページの「8.倍数の見つけ方」は受験生であれば必須の知識です。②3の倍数の見つけ方、⑤6の倍数の見つけ方、⑦9の倍数の見つけ方は入試でもよく出題される倍数です。それぞれの性質を必ず覚えましょう。また、⑧⑨の11の倍数の見つけ方は余裕のある場合、確認しておきましょう。
26ページの「10．余りと約数」についても確認しておきましょう。27ページの（例1）や（例2）は約数に関する典型的な問題です。はじめに（例1）です。90を割ると3余る整数を考える場合、90－3＝87を割ると割り切れると考えて87の約数を調べていきます。
このとき、90を割ると3余る整数は余りの3よりも大きい数であることに注意しましょう。87の約数は1×87、3×29のため、1、3、29、87となります。このように約数を探すときにはかけ算の形で調べると抜けもれなく調べることができます。
次に（例2）です。（例1）と同様に考えていきます。ここでは130を割ると4余り、175を割ると7余る整数を求めるため、130－4＝126と175－7＝168の公約数を考えていきます。最大公約数を求めてその整数の約数を調べていきます。ここでも問題文の条件の「4余る」「7余る」という条件を忘れないようにしましょう。求める整数は4より大きい数かつ7より大きい数となります。つまり求める整数は7より大きい数となります。
27ページの「11.倍数の分布」では次のことに注目しておきましょう。「8で割ると5余る数」は8の倍数よりも5大きい数です。また、「8で割ると5余る数」は27ページの中段にある図を見ると8の倍数よりも（8-5=）3小さい数ということもできます。このようにAで割るとB余る数は「Aの倍数よりB大きい数」という他に「Aの倍数より（A－B）小さい数」と言い換えることができることを覚えておきましょう。
27ページの（例2）を見てみましょう。6で割ると3余り、8で割ると5余る数で200に最も近い整数yを考えます。6で割ると3余る数は、6－3＝3のため6の倍数よりも3小さいということができます。8で割ると5余る数は、8－5＝3のための8倍数よりも3小さいということができます。
このように考えると、6で割ると3余り、8で割ると5余る数 は6の倍数より3小さく、8の倍数よりも3小さいため、6と8の公倍数よりも3小さい数といえます。6と8の最小公倍数は24のため、24の倍数よりも3小さい数で200に最も近い整数yを求めていきます。
このように複数の条件に共通した整数を求める場合、余りの部分に注目すると解きやすくなることがあります。「8で割ると5余る数」の言い換えで説明したように「8の倍数よりも5大きい数」と「8の倍数よりも3小さい数」のように2つのとらえ方があることを覚えておきましょう。
ここからは、『合格力完成教室 ステージⅤ』と『合格力完成教室 ステージⅤ難問』それぞれから、合格へ向けて優先順位の高い問題をピックアップして行きます。
72ページから75ページの演習1～演習4は必修 です。その他に絶対やって欲しい合格への10題は以下の通りです。
①76ページの問3
②76ページの問5
③77ページの問8
④77ページの問12
⑤78ページの問15
⑥78ページの問17
⑦79ページの問21
⑧79ページの問22
⑨80ページの問25
⑩82ページの問35
一見、わからなそうな問題でもまずは書き出して調べてみたり、約数や倍数の考え方を使ってみたりするとよいでしょう。
98ページから102ページの知識•技術重点問題は必修です。その他に絶対やって欲しい合格への10題は以下の通りです。
①103ページの問2
②103ページの問5
③104ページの問7
④104ページの問9
⑤105ページの問13
⑥106ページの問15
⑦107ページの問19
⑧108ページの問23
⑨108ページの問24
⑩109ページの問25
いくつかの問題では問題文に決まりや条件が書かれています。このような問題は難関校の入試でも多く出題されるため、条件を読み取り、書き出して調べる練習を十分に行っておきましょう。
第5回のテーマは「割合と比 比の意味と操作1～等しい比・比例式・連比～」です。比は入試問題では問題文の中で条件として登場したり、問題を解くときには比を使うことで、よりシンプルに解くことができるようになったりします。算数の成績をアップさせるには比を理解し使えるようにすることが大変重要です。比の基本的内容を確実に理解して、比例式・連比の計算をスムーズにできるように繰り返し練習を行いましょう。
「学び1」では、比は身近に存在することを確認していきます。テキストの例にある通り、料理をするときの調味料の量、テレビの画面の大きさ、模型の大きさ比などには比が使われています。ここでは何と何を比べた数なのかを考えていきます。
だししょうゆの作り方ではだし4に対してしょうゆが3ですから、小さじで計量しても大さじで計量しても味が変わらないことなどを体験すると比の理解がいっそう進みます。100ページの「やってみよう！」もお家でなければできない内容となっていますのでご家族でチャレンジしてみてください。
「学び2」では比の表し方と性質について学びます。はじめに数字を書く順番に注意しましょう。入試問題でもたてと横の長さの比を求めなさいという場合、タテ：ヨコの順番で書きます。逆は不正解となりますので、日ごろから意識することが重要です。
101ページの「やってみよう！」ではたて4cm、よこ6cmの比の表し方について学びます。ここでは「さまざまな基準を設けて、たてと横の長さの比を表しましょう」とあります。わかりづらい場合は単位を変えて考えるとよいでしょう。
例えば単位をcmで考えると、4(cm)：6(cm)となります。単位をmmで考えると40(mm)：60(mm)となります。この例では単位をcmで表した比の前項、後項それぞれの値を10倍した数が、単位をmmで表した比となっていることがわかります。「学び2」ではこのことを比の性質として学んでいきます。表し方は違いますが分数の通分、約分の感覚で取り組むとよいでしょう。
「学び3」では比を簡単にします。「学び2」で学んだ「比のそれぞれの項に同じ数をかけても比は等しい」「比のそれぞれの項を同じ数でわっても比は等しい」という性質を使っていきます。ポイントは整数であれば同じ数でわる、小数ならそれぞれの項を10倍、100倍し、整数にしてから同じ数でわるという具合です。
分数の場合は通分してから分母の数をかけるとよいでしょう。あらためて104ページの「やってみよう！」を確認してみてください。分数の約分と同じように計算プロセスを残すとケアアレスミスを防ぐことができます。
「学び4」では連比を作ります。105ページの「やってみよう！」ではA：B＝1：3、B:C＝2：3の場合のA：B：Cを求めていきます。それぞれの数字をたてに並べて書き、共通する部分の数をそろえていきます。ここではBの値が共通していますので、Bを6（2と3の最小公倍数）でそろえていきます。
比の値が変わらないようにAは2倍、Cは3倍にすることも忘れないようにしましょう。比が小数や分数で表されている場合は、比を簡単（整数）にしてから、連比を求めるようにしましょう。演習が必要ですので、後にあげる演習にチャレンジしてみてください。
演習としては106ページから108ページまでは必修です。特に108ページの問5、問6は「学び3」「学び4」で学習した内容の演習となります。もう一度やり方を確認してから取り組んでみましょう。また、111ページの問3、112ページの問4は文章題です。比例式を作ることを意識して取り組んでみてください。
117ページの「シナジー」にある「外項と内項の積は等しい」という性質は今後比例式を扱う際にとても重要な考え方となります。ぜひみなさんに理解していただきたい内容です。107ページの問4や114ページの問8に再チャレンジしてこの性質が使えることを確かめてみてください。
第5回のテーマは「場合の数 樹形図と順列」です。今回はとにかく手を動かしてどんどん書いて調べていきましょう。最終的には受験では必須のアイテム「樹形図」を使っていきますが、丁寧に描くことはもちろん、順序よく描いていくことも重要です。
場合の数の問題では計算で簡単に出せる方法もありますが、最近の入試ではその考え方が通用しない問題も多く出題されます。今回の単元では「効率よく解く」よりも「正確に描く」ことを優先して考えてみましょう。
「学び1」では初めて習う場合の数について実際に調べていきます。76ページのななこさん、さくらさん、けんたさん、れんさんの4人が横1列に並ぶ例では24通りの並び方があることがわかります。ここでは重複なく数えるにはどのような工夫があるのかを考えてみましょう。
例えば1番左に並ぶ人をななこさんに固定するなどです。ばらばらに数えているように見えて、実はかなり緻密な考えのもとに並び方が書かれています。場合の数ではこのように自分の決めた基準にしたがって、順序よく数えていく姿勢が大切です。77ページのカードを並べる例についてもどのような調べ方をしているのかよく見てみましょう。
「学び2」では順列について考えていきます。順列とは順番を考える並べ方です。78ページには筆記用具を横1列に並べる場合の数を求める例があります。実際に並べてみると混乱しますので、ここでは、シャーペン、消しゴム、赤ペンとしてそれぞれの並べ方を書いて考えていきます。
「学び1」と同じように数え方の方針を自分で決めて書き出しましょう。シャーペンは「シ」、消しゴムは「け」、赤ペンは「あ」のように頭文字をとって省略して書いていくとよいでしょう。
「学び3」では樹形図の描き方を学びます。79ページの1,2,3,4の4枚のカードを並べて3桁の整数を作る例を見てみましょう。樹形図は小さい順に整理して書いていくのが一般的です。例えば数字なら1から、アルファベットならAからということです。樹形図では百の位が1番左に、十の位がその隣に、一の位が1番右に書かれています。
ここに順序よく数字を書いていきます。すると百の位が1のときは6通り、2のときは6通り、3のときは6通り、4のときも6通りであることがわかります。このことから全ての場合の数は6×4＝24通りとなります。同じように80ページ、81ページの問題に取り組んでみましょう。一つひとつ丁寧に順番を意識しながら書くようにすることで、数えもれがなくなります。慎重に書きましょう。
演習としては82ページから83ページは必修です。今回の目標は樹形図を描けるようになることです。すべての問題について樹形図を描いて考えてみましょう。
82ページの問1の④ではBのカードが2枚使えることに注意しましょう。問3では0（ゼロ）のカードがあることに注意しましょう。また、84ページの「出口から入った方が早い」は入試をはじめいろいろなテストで出題される問題です。②にある小さい方から数えて55番目は大きい方から数えて6番目であることに気づけば百の位を5として、大きい数から並べて考えていくとよいでしょう。
この問題にあるように大きい方から調べていく方が効率よく調べることができることもあります。小さい順に調べることにとらわれず、自分の決めた基準にしたがって、順序よく数えていく姿勢が問われる1題です。
86ページの問4では6は9として使えることと、9は6として使えることに注意しましょう。慎重に書いていけば大丈夫です。87ページの問8では「カードがない！」という声が聞こえてきそうですが、樹形図を書いて1から順番に調べてみましょう。樹形図の仕組みがわかってきたら、88ページ、89ページの問9～問12にチャレンジしてみましょう。
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