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＜算数 本科教室 6年生 ステージⅤ 第7回＞

　第7回のテーマは「数の性質Ⅵ」です。今回は「等差数列」「周期数列」「周期を見つける問題」について確認をしていきます。等差数列や周期数列の基本的な考え方は「栄冠への道　チェックポイント」で必ず確認しておきましょう。

　今回の単元ではどの問題も全ての数を書き出せば解決します。しかし、それでは入試を考えたときに時間が足りません。したがって、ある程度まで書いて調べることで規則性がわかったら、問題を解くときには書き出しと計算を両立させて解き進めることが重要になります。ある程度とははじめの数から書き始めて、途中は•••で省略をして問題で問われている最後の部分は再び書き出します。つまり、考えるのに必要な部分を書き出すことです。

　数列に表されるものは「数字」でその「数字」を「何番目」と数字で表すため混乱することがあります。数列に何番目と順番をふるときには丸で数字を囲む(①などのようにする)などして工夫するとよいでしょう。

　周期を考える問題では周期の組数と余りの個数が重要となります。計算の結果が何を表しているのか常に考えて単位をつけるようにしましょう。また、一見数列や周期とは関係なさそうな数を操作する問題や図形の問題でも、問われている内容を数字に置きかえてみると規則性がわかります。どの問題も必要な部分は書き出し、調べていきましょう。

【対策ポイント】

　栄冠への道のチェックポイント〔ステージⅤ　第7回　数の性質Ⅵ〕を使って重要事項の確認をしていきましょう。

　29ページの「2．等差数列」では等差数列の項の求め方と等差数列の和の公式について確認しておきましょう。29ページの(例)を見てみましょう。3,8,13,18,23,…と数が並んでいます。

　はじめの数は3でこれを「初項」といいます。2番目の数は8ではじめの数との差は8－3＝5です。3番目の数は13で2番目の数との差は13－8＝5です。このようにとなり合う2つの数の差が等しい数列を「等差数列」といいます。等差数列のとなり合う数の差を「公差」といい、この場合の公差は5です。

　等差数列のN番目の数は「初項＋公差×(N－1)」の式で求めることができます。このことを使うと5番目の数は3＋5×(5－1)＝23となります。また、等差数列の1番目からN番目までの数の和は「(はじめの数＋N番目の数)×N÷2」の式で求めることができます。このことを使うと1番目から5番目までの数の和は、(3＋23)×5÷2＝65となります。これらの公式は大変重要です。必ず覚えましょう。

　30ページの「3．奇数列の和とその利用」について説明します。30ページの(例1)を見てみましょう。ここでは奇数が並ぶ数列の和について考えていきます。

　30ページの中段にある黒いご石が正方形に並んだ図を見てみましょう。これは1，3，5，7，9，…という数列を図で表したものです。「1→」の右側には●が1個あります。これは数列のはじめの数の「1」を表しています。「3→」の右側には●が3個線でつながっています。これは数列の2番目の数の「3」を表しています。

　ここではじめの数(1)から2番目の数(3)までの和について考えてみます。もちろん1＋3＝4という考えでも構いませんが、ここでは図を使って考えてみましょう。図でご石が1個とご石が3個並んだようすを見ると、縦と横にご石が2個ずつ並んだ形になっていることがわかります。したがって、はじめの数から2番目の数までの和は2×2＝4となります(「2」番目の「2」を2回かけています)。

　続けて考えてみましょう。「5→」の右側には●が5個線でつながっています。これは数列の3番目の数の「5」を表しています。ここではじめの数(1)から3番目の数(5)までの和について考えてみます。図でご石が1個、3個、5個と並んだようすを見ると、縦と横にご石が3個ずつ並んだ形になっていることがわかります。したがって、はじめの数から3番目の数までの和は3×3＝9となります(「3」番目の「3」を2回かけています)。

　これらのことから、1番目からN番目までの奇数の和は「N×N」の式で求めることができるといえます。この公式を知らなくても奇数列は等差数列のため、等差数列の和の公式によってＮ番目の数までの和を求めることはできます。しかし、この公式は「N番目」という1つの情報だけで1番目からN番目までの奇数の和を求めることができます。必ず覚えておきましょう。

　次に30ページの(例2)を見てみましょう。ここでは偶数が並ぶ数列の和について考えていきます。30ページの下段にある黒いご石が長方形に並んだ図を見てみましょう。これは2,4,6,8,10，…という数列を図で表したものです。「2→」の右側には◯が1個と●が1個あり、合わせて2個あります。これは数列のはじめの数の「2」を表しています。「4→」の右側には◯が1個と●が3個線でつながっていて、合わせて4個あります。これは数列の2番目の数の「4」を表しています。

　ここではじめの数(2)から2番目の数(4)までの和について考えてみます。ここでも図を使って考えてみましょう。図でご石が2個とご石が4個並んだようすを見ると、縦に2個、横に3個ご石が並んだ形になっていることがわかります。したがって、はじめの数から2番目の数までの和は2×3＝6となります(「2」番目の「2」に3をかけています)。

　続けて考えてみましょう。「6→」の右側には◯が1個と●が5個線でつながっていて、合わせて6個あります。これは数列の3番目の数の「6」を表しています。ここではじめの数(1)から3番目の数(6)までの和について考えてみます。図でご石が2個、4個、6個と並んだようすを見ると、縦に3個、横に4個ご石が並んだ形になっていることがわかります。

　したがって、はじめの数から3番目の数までの和は3×4＝12となります(「3」番目の「3」に4をかけています)。これらのことから、1番目からN番目までの偶数の和は「N×(N＋1)」の式で求めることができるといえます。

　31ページの「5．周期の規則性」では周期を利用した問題の考え方について確認しておきましょう。31ページの(例1)を見てみましょう。2,8,4,6,2,8,4,6,2,8,4,6…と「2,8,4,6」の4個の数字の組(周期)がくり返されている数列について考えます。

　ここでは30番目の数を求めていきます。はじめから30番目までに「2,8,4,6」の4個の数字の組何組あるのかを考えます。はじめから30番目までに「2,8,4,6」の4個の数字のくり返しは30÷4＝7(組)余り2(個)となることから、30番目の数は「2,8,4,6」の4個の数字の組の2個目で8となります。

　ここで重要なのは30を4で割ったときに商と余りが何を表しているのかということです。このことを意識するためにも商や余りには単位をつけるようにしましょう。この後、栄冠への道では1番目から100番目までの数の和を求める問題となっていますが、ここでは1番目から30番目までの数の和を求めてみましょう。

　周期のある数列の和を求める場合、1つの周期の和を求めて、その周期が何組あるのかを考えていきます。1番目から30番目までに「2,8,4,6」の4個の数字のくり返しは30÷4＝7(組)余り2(個)となります。1つの周期の和は2＋8＋4＋6＝20となります。また、余りの2個は周期の2と8となります。

　これらのことから1番目から30番目までの数の和を求めると、20×7＋2＋8＝150となります。この問題では周期の組数と余りの個数を求めたあとで余りの2個を余りの和と取り違えて、20×7＋2＝142とすることが多くあります。計算をして答えを求めるときには、計算の結果がどのようなことを表す数なのか単位をつけて考えるようにしましょう。(例2)、(例3)も周期を利用した問題です。(例1)にあげたことに注意しながら取り組みましょう。

　32ページの「6．日暦(こよみ)」では1週間(7日)を周期と考え問題を考えていきます。32ページの(例)を見てみましょう。(考え方)にある解説をもとに説明します。10月1日が日曜日のとき、10月31日は何曜日か考えてみましょう。1日後の10月2日は月曜日です。10月1日が日曜日の場合、1日後が月曜日ということが基準となります。したがって2日後は火曜日、3日後は水曜日、4日後は木曜日、5日後は金曜日、6日後は土曜日、7日後は日曜日となります。そして8日後は再び月曜日となります。

　日暦の問題では7日間の周期の組をもとにして考えていきます。10月31日は10月1日から31－1＝30日後のため、30日の間に7日間の周期の組は30÷7＝4(週)余り2(日)となることがわかります。したがって10月31日は、周期の2番目の曜日の火曜日となることがわかります。

　日暦を考える問題では周期の始まりが月曜日から始まることもあれば火曜日から始まることもあります。問題によって周期の始まりの曜日が異なるため、1日後の曜日が何曜日なのか正確に基準を決めていきましょう。

　次に10月1日が日曜日のとき、同じ年の8月20日は何曜日か考えてみましょう。10月1日が日曜日のとき、1日前の9月30日は土曜日です。1日前が土曜日ということが基準となります。したがって2日前は金曜日、3日前は木曜日、4日前は水曜日、5日前は火曜日、6日前は月曜日、7日前は日曜日となります。

　そして8日前は再び土曜日となります。日暦の8月20日は10月1日から30＋12＝42日前(9月1日から30日までは30日間、8月20日から31日までは12日間)のため、42日の間に7日間の周期の組は42÷7＝6(週)となることがわかります。

　したがって8月20日は、周期の7番目の曜日の日曜日となることがわかります。日暦をさかのぼって考える場合には曜日の進向きが土→金→木→水→火→月→日→土、のように反対になることに注意しましょう。

　33ページ②暦に関する知識、③うるう年についても確認しておきましょう。

　ここからは、『合格力完成教室 ステージⅤ』と『合格力完成教室 ステージⅤ難問』それぞれから、合格へ向けて優先順位の高い問題をピックアップして行きます。

【合格への10題(合格力完成教室 ステージⅤより)】

　84ページから87ページの演習1～演習4は必修 です。その他に絶対やって欲しい合格への10題は以下の通りです。

①88ページの問3
②88ページの問5
③89ページの問8
④90ページの問10
⑤90ページの問14
⑥90ページの問15
⑦91ページの問18
⑧91ページの問19
⑨92ページの問22
⑩92ページの問23

　丁寧に書き出して、きまりを見つけていきましょう。図形の問題では問題で問われている内容を数字で書き出していくとよいでしょう。図形にとらわれず、数字で考えていくことが重要です。

【合格への10題(合格力完成教室 ステージⅤ難問より)】

　114ページから118ページの知識•技術重点問題は必修です。その他に絶対やって欲しい合格への10題は以下の通りです。

①119ページの問1
②119ページの問3
③120ページの問6
④120ページの問7
⑤121ページの問11
⑥123ページの問14
⑦123ページの問16
⑧124ページの問17
⑨125ページの問20
⑩126ページの問22

　初見の問題でも問題文の意味を正確に把握し、規則性を調べていきましょう。数列のはじめの部分で規則性が見つかればスムーズに解くことができます。問題文を読み解くことは上位校では必須の力です。ちょっとした読み違いが大きなミスにつながります。肝心なところはじっくりと読んで解き進めましょう。

＜算数 本科教室 5年生 ステージⅣ 第6回＞

　第6回のテーマは「割合と比　比の意味と操作2～比の決定・比例配分・逆比・比の合成～」です。前回は比の基礎を学びました。今回は実践編です。文章題で使う比例配分の考え方、速さや仕事算でも登場する逆比など比の使い方を学びます。そのため演習問題では色々なパターンの問題が数多く掲載されています。学習時間の計画をたてて、取捨選択をして取り組みましょう。

【対策ポイント】

　「学び1」では比例配分について学びます。120ページの兄弟でクッキーを分ける漫画を見てみましょう。兄：弟＝5：3で分ける場合、121ページにあるように3通りの考え方があります。

　方法②の線分図を見てみましょう。兄：弟＝5：3で分けますから、兄のところに⑤、弟のところに③と書かれていて、合計が⑧であることがわかります。このことから⑧＝16枚、①＝16÷8＝2枚とわかります。したがって兄の枚数は⑤＝2×5=10枚となります。

　方法②では比を表す数字が◯で表されていて、クッキーの枚数が単位付きの数字で表されているため、比の数字と単位付きの数字を混同することがないためお勧めの書き方です。また、上記のように①にあたる量を出してから、求める値を出していくプロセスはとても重要です。後に指定する演習問題も同じようにやってみましょう。

　「学び2」では逆比について学びます。逆比とは逆数の比のことです。例えば2：3の逆比は(2分の1):(3分の1)＝(6分の3)：(6分の2)＝3：2となります。項が2つの比の場合、初めの比の順番がひっくり返っていることがわかります。

　123ページの「やってみよう！」の下にある項が3つの比の逆比もやってみましょう。項が3つの場合、初めの比の順番がひっくり返る形にならないことがわかります。ひっくり返るのは項が2つの比の場合だけですので、気をつけましょう。

　124ページ、125ページでは逆比の具体例について学びます。例えば栄冠への道を30ページやる場合、1日1ページずつやると30日で終わります。1日2ページずつにすると15日で終わります。この場合、1日あたりにやるページ数が1（ページ）：2（ページ）に対して、終わるまでの日数は30（日）:15（日）＝2：1となり、逆比の関係になることがわかります。自分だったら1日何ページやって何日で終わるかを考えてみましょう。

　「学び3」では比を普通の数と同じように扱えることを学びます。126ページの「やってみよう！」は10円玉と50円玉の合計金額の比を求める問題です。「説明その1」から「説明その4」まで比べてみましょう。どれも似たような計算をしていますが、結果は同じです。「説明その1」から「説明その4」になるにつれて抽象度（比を使う割合）が増えていきます。比はこのように普通の数として扱っても割合の関係が成り立ちます。ただし、あくまでも割合であることに注意しましょう。

　128ページの「やってみよう！」の国語と算数のプリントを終える日数の例では「説明その1」から「説明その3」の解法が示されています。理解がなかなか進まない場合は「説明その3」にあるように具体的な枚数を設定して計算するとよいでしょう。比はルールを守りながら使えば、幅広い解き方で使えることがわかります。

　演習としては129ページから130ページは必修です。すべての問題が「学び1」～「学び3」までの内容となっています。比の使い方の基本が身についているかどうかしっかり確認しておきましょう。今回は132ページ以降たくさんの問題が並びます。132ページから135ページにかけての問１～問10は標準的な難易度の問題です。問７や問８は問題文の条件から比を導き出す練習です。入試問題でも使う技術ため練習しましょう。

　問11以降はやや難度が高い問題です。問11は条件整理の要素を含む問題です。また正方形の重なり部分をテーマにした問14も入試問題でよく見る形式のものです。まだまだ物足りない場合は問17、問18にチャレンジしてみてください。

＜算数 本科教室 4年生 ステージⅢ 第6回＞

　第6回のテーマは「場合の数　図形を使った場合の数」です。扱う題材は図形ですが、前回同様、丁寧に順序よく調べていくことには変わりありません。図形の問題ならではのかくれた条件に注意しながら調べていきましょう。

【対策ポイント】

　「学び1」では図形をぬり分ける場合の数を考えます。95ページの「やってみよう！」では旗を3色でぬり分ける場合の数を調べていきます。樹形図を使った方法を思い出しましょう。ばらばらに調べるのではなく、自分の決めた基準にしたがって調べていきます。

　例えば1番左の「N」の文字を赤とします。すると「O」は青、「1」は緑となります。また「O」は緑、「1」は青とすることもできます。同様にして「N」を青とした場合や緑とした場合も考えてみましょう。きちんと基準を決めて調べていけば抜けもれなく調べることができます。色を並べるときも、数字を並べるときも、人の名前を並べるときも考え方は同じことが分かります。

　「学び2」では図形の個数を数えていきます。96ページ、97ページでは正方形の個数を数えています。この場合も基準をきめて、順番に数えていきます。

　1辺が1ます分の正方形は25個あります。次に1辺が2ます分の正方形を数えます。左上から作っていくとよいでしょう。そして正方形を右に1ますずつずらしていきます。すると正方形は4つできることがわかります。次にもとの位置まで正方形をもどして、下に1ますずらし、その後右に1ますずつずらしていきます。

　このように左上から順に調べていくと1辺が2ます分の正方形は16個できることがわかります。続いて1辺が3ます分の正方形、1辺が4ます分の正方形、1辺が5ます分の正方形というように数えていきます。続きは自分で数えてみましょう。

　「学び3」では決まった形の中に図形をしきつめていきます。98ページで、長方形に板をしきつめていくときに、板を縦に並べる（「タ」と表します）方法と横には並べる（「ヨ」と表します）方法があります。ここでは「タ」「ヨ」を使って順番に考えていきます。

　板を左上から右下に向かってしきつめていきます。はじめに1枚の板を左に「タ」に並べます。残り2枚の板の並べ方は「タ」「タ」、「タ」「ヨ」、「ヨ」「タ」、「ヨ」「ヨ」のいずれかになります（樹形図を思い出してください）。図形の場合、並べ方や選び方によって問題の意図に合わない場合があることに注意しましょう。この場合、「タ」「タ」「ヨ」や「タ」「ヨ」「タ」に並べてしまうと長方形の中におさまりません。したがってこの場合は「タ」「タ」「タ」、「タ」「ヨ」「ヨ」の2通りになります。

　次に1枚の板を左に「ヨ」に並べます。残り2枚の板の並べ方は「タ」「タ」、「タ」「ヨ」、「ヨ」「タ」、「ヨ」「ヨ」のいずれかになります。長方形におさまる組み合わせは「ヨ」「ヨ」「タ」の1通りとなり、はじめの分と合わせて3通りとなります。すべての場合の数を調べたので、これで抜けもれや重複なく数えることができました。99ページの問題もやってみましょう。

　演習としては100ページから102ページは必修です。自分の決めた基準で順序よく調べるのですが、調べながら問題の条件にあっているかどうか確認しながら進めましょう。100ページの問2では「線を境にしてとなり合う場所は異なる色となるようにします」とありますが、入試問題ではこのことを「ぬり分ける」と表現します。あわせて覚えておきましょう。

　101ページの問4、102ページの問5は大きい長方形の置き方を決めてから、残りの図形の置き方を考えるとよいでしょう。104ページ問3は斜めに正方形を作ることができることに注意して取り組んでください。104ページ問4は入試でもよく見られる形式の問題です。ぬり分けることに注意しながら取り組みましょう。105ページの問6は問題文の条件から自分で図形を描いて考えていく問題です。ぜひチャレンジしてみてください。

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