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グノーブル GnoRev実力確認テスト
算数予想問題
第3回は『平面図形(1)』です。角度問題では、与えられた図形の中に、特殊な三角形(特に二等辺三角形)を見つけたり、作ったりして考えるタイプの問題を扱います。また、外角の定理がよく利用されます。面積を求める問題では、実際の入試問題で頻出する注意すべき内容がありますので、確実に理解してください。
「必修例題1(3)」の問題では、角Aの角の大きさをマル1としてはじめます。AB＝BCより、角BCAもマル1です。そこで、外角の定理より、三角形ABCの外角である角CBDはマル2となります。BC＝CDですので、角CDBもマル2となり、外角の定理により、三角形ADCの外角である角DCEはマル3です。CD＝DEより、角ウは角DCEと等しいマル3となります。ここで、三角形CDBの内角の和180度に注目して、180−84＝96度がマル2の2つ分であることから、96÷4＝24より、マル1は24度です。よって、24×3＝72より、角ウは72度です。
「必修例題2(2)」の問題では、おうぎ形の面積から三角形の面積を引いて求めます。予習シリーズ33ページの解説にある図を参照して下さい。かげをつけた部分(弓形といいます)の右はしの点と円の中心を結んでおうぎ形をつくります。中心角AOBが(180−15×2＝)150度のおうぎ形の面積は、6×6×3.14×(150/360)＝47.1平方cmです。ここから、かげのついていない二等辺三角形の面積を求めて、引きます。二等辺三角形OABで、底辺をAOとしたときの高さBCの長さを考えます。ここで、三角形OBCのかたちから、BCの長さを求めます。この三角形OBCは30度、60度、90度の直角三角形で、正三角形の半分になっています。このことから、BCの長さはOB(＝OA＝6cm)の長さの半分で、3cmですから、6×3÷2＝9より、三角形OABの面積は9平方cmです。よって、47.1−9＝38.1より、かげをつけた部分の面積は、38.1平方cmとなります。この30度、60度、90度の直角三角形は、今後もよく出てきますので、覚えておいてください。
ここでは、必修例題3(1)で使われる、図形の性質(予習シリーズ34ページ中段の左枠)を説明します。三角形ABCの面積と、その一部である三角形ADEの面積との関係です。(ア)まず、DとCを結び、三角形ABCの面積と三角形ADCの面積の関係を考えます。どちらも辺AB上に底辺を考えると、高さの等しい三角形になりますので、面積比は、三角形ABC：三角形ADC＝AB：AD＝b：aです。よって、三角形ADC＝三角形ABC×a/bとなります。(イ)次に、三角形ADCと三角形ADEの面積の関係を考えます。どちらも辺AC上に底辺を考えると、高さの等しい三角形になりますので、面積比は、三角形ADC：三角形ADE＝AC：AE＝d：cです。よって、三角形ADE＝三角形ADC×c/dとなります。(ア)と(イ)より、三角形ADE＝(三角形ADC×c/d＝)三角形ABC×a/b×c/dとなります。この面積計算もよく使われますので、確実に身につけて下さい。
第3回は『多角形の性質』です。面積公式の確認と、多角形の内角や外角および対角線の本数について学習します。ほとんどが公式です。公式の成り立ちを理解することで、確実に身につけてください。今回は、注意すべき問題を中心に説明します。
「必修例題4」は正多角形の問題です。正多角形とは、辺の長さ、内角1つの大きさが、すべて等しい図形をいいます。正八角形の1つの内角を求める問題です。内角の和を求めて、八等分する解き方もよいですが、ここでは、隣り合う内角と外角の和は180度になることに着目して考えます。多角形の外角の和は、どのような多角形でも360度です。360÷8＝45より、正八角形の外角1つの大きさは45度です。よって、180−45＝135より、正八角形の内角1つの大きさは135度とわかります。
「必修例題6」は、注意すべき内容の問題です。今後も思わぬところで使われますので、きちんと理解しておきましょう。三角形ABCにおいて、底辺をBCとしたときの高さの長さを考えます。頂点Aから底辺BCに垂直にひいた直線がBCと交わる点をHとします。三角形ABHは、角Bが30度、角BAHが60度の直角三角形です。この直角三角形は、正三角形を半分にした形ですので、辺AHの長さ(三角形ABCの高さにあたります)は、辺ABの長さの半分になります。AB＝BC＝6cmですから、6÷2＝3より、AH＝3cmです。よって、6×3÷2＝9より、三角形ABCの面積は、9平方cmとなります。この解法は上述の6年生の問題でも使われています。
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