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グノーブル GnoRev実力確認テスト
算数予想問題
今回は、新6年生3月度の組分けテスト対策をお伝えします。
もともと範囲が限定されない実力テストですが、特に今回は5年生までのカリキュラムがすべて終了しているので、出題範囲が大変広くなり、問題数も多くなることが予想されます。まだ新年度が始まって間もなく、新たなカリキュラムに対応するだけでも大変な時期だけに、組分けテストにどのように対応していくかはより難しくなるでしょう。
このメルマガでは、どこにポイントを置いて見直しをすればよいのかといった点を中心にご説明をしていきます。
このメルマガでも再三お伝えしてきましたが、得点力をアップさせるポイントは難問を得点する力よりも、まずは、あと一歩で解ける問題を確実に得点する力を養成することにあります。特に今回のテストは範囲が広くなる分、だいぶ前に演習した内容は解き方を忘れてしまっている恐れがあります。問題自体は基本的なものでも、解き方を忘れてしまっていては得点できない可能性が高くなり、結果としてテストの点数が低くなってしまうことにもつながります。
例えば、平面図形の角度の問題。長方形を折り曲げることによってできた角度を求める際に、折り曲げた部分と、もとにあった部分の角度が同じになることや、平行線を使った錯角や同位角の考え方を使って解く問題にあたった際に、どの角度が同じになるのかという関係をより速く確実に思い出せるかどうかが、得点できるかどうかの分かれ道になります。
また、場合の数の問題で、3人がジャンケンを1回する際に、あいこになる場合は全部で何通りになるか、といった問題。ここでは（グー、グー、グー）、（チョキ、チョキ、チョキ）、（パー、パー、パー）の3通りと、（グー、チョキ、パー）の順番を入れ替えた場合が挙がりますが、まずそのピックアップがすぐにできるかどうか。そして（グー、チョキ、パー）の順番を入れ替えた場合が3×2×1＝6（通り）となることが、暗算に近い感覚で正確にできるかどうかがポイントになります。
上記のような問題以外にも、年令算や過不足算、流水算などの基本問題や、「7で割ると1余り、5で割っても1余る整数で、100にいちばん近いものは何か」といった問題で、答えが100の手前の71ではなく、100を超えた106になることに正確に行き着けるか、などの様々なポイントがあります。
どれもかなり基本的な問題で、5年の後期のマンスリーテストや組分けテストで多くの難問にあたってきた感覚からすると、拍子抜けしてしまうこともあるかもしれません。
ただ、そうした問題を確実に、かつスピードをもって解くということが、今回の組分けテストの大きなポイントになります。
基本的な問題で失点してしまうことは避けなけないことはもちろんのこと、後半にある応用問題に少しでも時間を費やせるように、いかに基本問題にかかる時間を短くできるかが、点数をわけるポイントになるのです。
それでは基本問題を復習するには、何に気をつければよいでしょうか。なかなか多くの時間を捻出できない状況にある中で、明らかにお子さんが苦手としている単元であればすぐにピックアップできますが、忘れているかもしれない単元を見つけるのは、意外に難しいものです。
そこで、まずは『基礎力トレーニング』の昨年2月から今年1月までの範囲について、基本的な解き方を忘れていないかどうか、総チェックをしてみましょう。特に、夏休み以前に解いた単元は、解き方から忘れてしまっている可能性があります。解法を再度思い起こすためには有効な手段と言えます。
総チェックといっても全て問題を見直す時間はありません。新出を表す「！」のついた問題のみ、また数値換えの問題は省いて、見直しを進めていきましょう。目安としてサピックスの平均偏差値で45に満たない生徒さんは、特にこの『基礎力トレーニング』の復習で、基本をしっかり固め直してください。
ただし、『基礎力トレーニング』の復習だけではテストでの高得点にまで及ぶことができない可能性があります。できれば『基礎力トレーニング』の見直しは、短い時間で毎日でも積み上げていくというルーティンにして、さらにレベルアップした復習にも取り組みたいところです。
『基礎力トレーニング』を復習する中で見つかった、重点的な対策が必要な単元については、デイリーサポートのA、Bレベル、できればCレベルの問題まで、解法を思い出すことに重点を置いて見直しをしてみてください。
前回の1月組分けテスト対策でも触れましたが、過去の組分けテスト、マンスリーテストの見直しも有効になるでしょう。平均偏差値45以下の生徒さんであれば全体正答率60%以上の問題、平均偏差値45〜50の生徒さんであれば全体正答率50%以上の問題、平均偏差値50以上の生徒さんであれば全体正答率40%以上の問題をひとつの目安とするとよいでしょう。
ただし、範囲が非常に広くなりますので、あまりひとつひとつの単元に時間を割くことができないかと思われます。上述のように、完全に解き直すのではなく「なぜこのように解くのか」に集中して、できればお子さんに口で説明をさせてみるのもよいでしょう。難問にチャレンジするよりも「あと一歩で正解できた問題」や「テスト後に見直すと解けた問題」を中心に復習することに気をつけてください。
ここからは、具体的な単元について触れていきます。
多角形の内角の和、外角の和に関するきまりを覚えておくことはもちろんですが、例えば次のような問題があったとしたら、どのように解き進めればよいでしょう。
「周りの長さが等しい正三角形と正六角形があります。この正三角形と正六角形の面積の比を、最も簡単な整数の比で表しなさい」 かたちがことなる図形なので相似も使えないタイプの問題です。ここでは周りの長さが等しいことから、正三角形の辺の長さが正六角形の辺の長さの2倍になる（辺の数が半分なので）ことに注目します。そこで正三角形の各辺の中点を結んでできる小さな正三角形と、正六角形を6分割してできる小さな正三角形が同じ大きさになるのです。正三角形には小さな正三角形が4つ、正六角形には小さな正三角形が6つありますので、面積比は4：6＝2：3と導き出せます。
小さな正三角形を活用することに気づくのは、なかなか難しいですが、まずはラフなかき方で構いませんので、正三角形と正六角形を自分でかいてみましょう。正六角形が合同な6つの正三角形に分割できることは、ぜひ思いつけるようにしたいところです。
※「○の中に数字」の表記が文字化けしてしまう可能性がありますので、マル1、マル2と表記させて頂きます。
例えば次のような問題があるとします。 「何個かのあめをA君、B君、C君、D君の4人で分けました。最初にA君は全体の1/3より4個多く取りました。次にB君は残りの1/3より4個多く取りました。さらにC君が残りの1/3より4個多く取りました。最後にD君は残りを全部取りましたが、あめの数はC君と同じでした。このとき、C君が取ったあめは何個ですか。また、A君が取ったあめは何個ですか」
このタイプの問題は昨年の秋に演習しましたが、まず図をかいて内容を整理することが重要になります。同じような内容を演習していた時期であれば、すぐに図をかくことができるのですが、しばらく時間があいてしまいましたので、図のかき方が曖昧になっているかもしれません。また、テストの中でこの問題が基本問題の直後に出てきたりすると、つい先を急いで図をかかずに解こうとしてしまうことがあります。このタイプの問題では焦らず、話の流れをしっかり理解するようにしましょう。流れが理解できれば決して難しい問題ではありません。ただし、量の変化が3回にもなりますので、図にはスペースが必要になることは注意しておきましょう。
まず全体のあめの数を表す線分の長さをマル1とします。A君がマル1/3と4個を取った残りの長さをサンカク1として、真下にスライドさせて線分をかきます。そこからB君がサンカク1/3と4個を取った残りの長さをシカク1として、同じように真下にスライドさせて線分をかきます。C君がシカク1/3と4個を取ると、D君が取った残りの量もシカク1/3と4個となります。これを線分図にかきこむと、4＋4＝8（個）がシカク1/3にあたることがわかります。そこでシカク1は8÷1/3で24個となり、C君が取ったあめは24×1/3＋4（または24÷2）＝12（個）となります。
そこからさかのぼって、サンカク1が(24＋4)÷(1−1/3)＝42（個）、マル1が(42＋4)÷(1−1/3)＝69（個）となり、A君が取ったあめの数は、69×1/3＋4（または69−42）＝27（個）と求められます。
図をかかずにこの流れを頭の中だけで進めるのは、時間もかかり、また間違いも多くなってしまいます。しっかり図をかいて、内容を整理することを確認しましょう。
規則性は、組分けテストで何回か出題はされましたが、カリキュラムとしては夏休みの終わりに演習したままになっているので注意が必要です。特に数列に関しては、和の出し方などを必ず確認しておくようにしましょう。
例えば、「50から100までの整数のうち、3の倍数をすべて足すといくつになりますか」といったタイプの問題があります。ここで該当する整数が、51から99までの3を差とする等差数列になること、数が全部で17個並んでいることを間違わないかどうか、そこから数列の和を正確に算出できるかどうか、といったところをすべてクリアーにする必要があります。一見取り組みやすそうで、対応しなければならないポイントが複数含まれているケースの一例です。 また、次のような問題もあります。
「1から200までの整数を、下のように順に5個ずつの組に分け、
それぞれの和を考えます。
1＋2＋3＋4＋5
6＋7＋8＋9＋10
11＋12＋13＋14＋15
……
196＋197＋198＋199＋200
まず(1)ですが、数が順番に奇数個ならんでいる場合、真ん中にくる数が全体の平均値になることを思い出してください。例えば、1＋2＋3＋4＋5＝15で、15÷5＝3となります。真ん中の数を中心に、その両隣はそれぞれ1の増減、さらに2つ離れた数同士はそれぞれ2の増減となることから、真ん中の数が平均値になるのです。
そこで690÷5＝138が真ん中の数なので、最小の数は138−2＝136と求められます。ここまでは確実に得点をしておきたいところです。ただし(2)については、どのように解くかを考えたうえで、時間がかかりそうであれば無理に解き続けず、先へ進むといった判断も必要になるでしょう。後にも触れますが、今回のテストは範囲も広く、問題数も多めになることが予想されるので、限られた時間の中で、すべてをまんべんなく解こうとすると、かえって失点を重ねてしまうことになりかねません。問題の選択をしっかりして、いわば捨て問題をつくることも大事な戦略となります。
この(2)では、和が3の倍数となるためには、平均値である真ん中の数も3の倍数になることに気づけるかがひとつのポイントです。そこから、真ん中の数が3の倍数になるケースをいくつか書き出していきます。すると3、18、33…と、差が15の等差数列になります。この等差数列になることに気づけるかがもうひとつのポイントになります。該当する最後の数が198となるので、(198−3)÷15＋1＝14（組）となります。なぜ最後の式になるのかが曖昧な場合は、必ず規則性の範囲をしっかり見直しておきましょう。
ここでもひとつの例題を挙げます。メルマガ上では図を再現できませんので、実際にかいてみてください。単純な直方体で、高さがa、底面の2辺がb、cとなる図です。
問題は以下の通りです。
「直方体の体積が3600立方cmです。この直方体のa、b、cのうち、aの長さを4cm長くした直方体は、もとの直方体よりも体積が720立方cm増え、表面積が216平方cm増えます。このとき次の問いに答えなさい。
(1)aの長さは何cmですか。
(2)もとの直方体の表面積は何平方cmですか。」
問題自体は決して難しいものではありません、ただ、こうした問題の解説で、「展開図」を使った解き方を説明しているケースを見受けることがあります。もちろんわかりやすい解法ではありますが、テストの時間内に展開図をかくことができるのか、という問題があります。特に直方体の展開図はいくつものパターンがあります。その中でこの問題を解くのに使えるパターンは限られています。一度かいてみて、この展開図では解けないから、また別の展開図をかく、といった時間はありません。つまり、図を活用することは重要ではありますが、自分で新しい図をかく際には、本当にその作業が有効かを慎重に判断する必要があるということです。例えばこの問題では、新たに図をかかなくても、与えられた図にかきこみをすることで十分に対応できるのです。
直方体の高さにあたるaを長くするのですから、その通りに、与えられた図の高さを4cm分（だいたいで構いません）上に伸ばし、直方体の体積を増やします。マンションに新たに最上階をつくるようなイメージです。これで図は完成です。
あとは(1)については、増えた720立方cmを高さにあたる4cmで割ることで、直方体の底面積が、720÷4＝180（平方cm）と算出できます。そこからもとの直方体の体積が3600立方cmとわかっているので、3600÷180＝20（cm）とaの長さが導き出せます。(2)についても、かき足した部分の直方体に注目します。この図形が加わることで表面積が216平方cm増えたとありますが、実際に増えたのはどの部分なのかがポイントです。増えた部分の上部の面積は、もとの直方体の上部の面積と同じですので、216平方cmは、増えた部分の側面積の合計であることがわかります。
この側面積の合計がどのような図形かを知るために展開図を用いるケースが見受けられるのですが、展開図を用いずとも、側面積の合計がひとつの長方形になることは理解できるようにしておきましょう。その長方形は縦の長さが4cm、横の長さが直方体の底面積の一周分にあたりますので、(b＋c)×2となります。216÷4＝54（cm）が(b＋c)×2となりますので、もとの直方体の表面積は、底面積の180平方cmが2つと、(b＋c)×2に高さの20cmをかけた側面積の合計になります。結果として、180×2＋54×20＝1440（平方cm）として求められます。
図をかきたす際は、精緻にかく必要はありません。どのように図形が変化したかがわかればよいので、あまり時間をかけないようにしましょう。
ここでも例題を挙げます。少し長くなりますが、よく問題を読んでみてください。
「花子さんの家から駅までは一本の道で結ばれています。花子さんと妹が同時に家を出発して、それぞれ一定の速さで駅に向かったところ、12分後に花子さんは妹より360m前方を歩いていました。そのとき、花子さんはちょうど本屋の前に着いたので寄ることにしました。それから10分後に本屋を出ると、妹は花子さんより180m前方を歩いていました。花子さんはすぐに最初と同じ速さで歩いたところ、妹と同時に駅に到着しました。花子さんの家から駅まで何mありますか」
ここで、花子さんと妹の動きをダイヤグラムで表す方法があります。縦軸を家からの距離、横軸を時間として、妹は止まることなく一定の速さで駅まで向かったので、妹の動きは一本の斜めの直線でかけます。花子さんは途中の本屋で10分間歩かなかったので、段差のある線になります。このダイヤグラムがすぐにかけるようでしたら、そこから視覚的に長さと時間の関係が把握でき、あまり時間をかけずに解答に行きつけるのですが、ダイヤグラムをかくのはなかなか時間がかかってしまうことが多いです。よほど慣れていない場合には、無理にダイヤグラムをかくのではなく、別の図を使って状況を理解してみましょう。以下にその方法の一例を記します。
上下に平行に2本の直線をかくことになります。まず上に花子さんの動き、下に妹の動きを表す線とします。2人は同時に家を出発しましたので、起点は上下でそろいます。そこから横に線を伸ばして、12分後の時点で一旦線を止めます。この時点で花子さんが360m前方を歩いているので、線の長さも花子さんが妹より360m分長くなるようにします。
図には12分、360mといった値を必ずかき入れるようにしましょう。後で計算する際にやりやすくなります。花子さんはそこで10分止まるので、線の上に10分とかき記します。その間に妹の直線は横に、花子さんが止まっている箇所より180m先までのびます。この時点で2人の速さが導き出せます。最初の12分で2人の距離に360mの差が生まれたので、2人の速さの差が、360÷12＝30（m／分）となります。次に妹は10分間で360＋180＝540（m）歩いたので、妹の速さが540÷10＝54（m／分）と導き出せます。そこで花子さんの速さも54＋30＝84（m／分）と求められるのです。
引き続き、2人が駅に着くまでを図で表します。いまは妹の直線が花子さんの直線より180m長くなっている状態ですが、この後、花子さんも歩き出して、2人は同時に駅に着きますので、2本の直線の終点が上下でそろうことになります。ここがポイントですが、180mの差がなくなったことから、花子さんが本屋から駅まで歩いてかかる時間は180mという距離の差を、2人の速さの差で割れば出てきますので、180÷30＝6（分）となります。最後に花子さんが家から駅まで歩くのにかかった時間が12＋6＝18（分）となることから、84×18＝1512（m）として、答えを導き出すことができるのです。
こうした状況図は、一度じっくりかいてみると、非常に効果的であることがわかります。特に今回の問題のように、往復の動きなどがなく、一方向に進み、また起点と終点がそろう場合には、より有効になります。速さを解くための材料として、ぜひこうした図のかき方も試してみてください。
前回もお伝えしましたが、テストの直前までにぜひチェックしておいて頂きたい項目をあらためて挙げます。
| 単位換算（面積）： | 平方cm、平方m、a（アール）、ha（ヘクタール）、平方kmの換算 |
|---|---|
| （容積）： | 立方cm、立方m、l（リットル）、 kl（キロリットル）の換算 |
| （速さ）： | 秒速m、分速m、時速kmの換算 |
細かいようですが、大事な武器になりますので、確認しておきましょう。
最後に、テスト本番で気をつけることについて触れます。
今回の組分けテストでは、特に時間の配分に気をつけてください。これまで述べてきたように、範囲が広いだけでなく、問題の難しさも幅広くなる可能性があります。つまり、テスト前半には得点必須の基本問題が並び、後半になるとぐっと難度が増して、解くのに時間がかかる問題が出てくる、といったパターンになる可能性が高いということです。
過去の3月度組分けテストの出題パターンを踏襲すれば、第1問に計算問題、第2問に文章題の小問集合、第3問に図形の小問集合、第4問以降が標準以上の問題、といった構成になる可能性が高いです。まずは第3問までをどれだけ確実に、かつスピードをもって解くかがポイントになります。焦って解くことを避けたいのはもちろんですが、かといって時間をかけ過ぎてはいけません。この第3問までは、速く解けるのであれば少しでも速く解くようにしましょう。そうするために必要なのが、【攻略ポイント1】で触れた、基本の復習なのです。どんな解き方をすればいいのか、と思い出している時間はない、と思って復習を徹底してください。
第4問以降に進む際には、少しギアをチェンジしてください。これは【攻略ポイント3〜7】でお伝えしたことですが、問題によっては図を活用することが有効になります。少しでも急がなくてはいけない、という第3問までの意気込みそのままに進んでしまうと、図なんかかいている時間はない、と思ってしまう危険性があります。必ず図をかかなくてはいけないのではありませんが、図を用いることで正確さが増し、時間も短縮できる可能性もあります。内容を整理するために必要な図や表は、どんどん活用していきましょう。
そして最終問題にあたっては、さらに方針を換えて臨む必要があります。場合によっては解かなくてもよい、という判断もしなければいけません。ただ難しいだけでなく、書き出しなどの多くの時間を要する問題が出される可能性があります。そこで時間をかけ過ぎてしまうことで、見直しの時間がなくなり、防げる失点をしてしまうことも起こりうるのです。これは最終問題に限ったことではありませんが、ひとつの問題に時間をかけすぎることは断じて避けてください。この問題はもういい、といった割り切りと勇気も必要です。
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