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＜算数　5年下　第11回＞

　第11回は『仕事算』です。仕事算は、大きく2通りあります。1つ目は、ある仕事の全体量を1として各人の仕事量を比で表して考える問題（例題2,3）。2つ目は、各人の仕事量を1として全体の仕事量を表して考える問題（例題4）です。

　また、全体量が増加しつつ、減少していく問題（ニュートン算）も学習します。なお、メルマガでは、分数は、分子/分母の形で表します。

＜今回のポイント＞

　仕事算は、ある程度パターン的な問題ですので、例題をしっかり理解して、解けるよう学習しましょう。

　ニュートン算は、例題の順にレベルが上がっています。順に確実な理解を心がけて進めましょう。

[例題1]

　実際の仕事量がわかっている問題です。ここで、仕事算の仕組みを学習します。

　Aは、30÷3＝10 より、1時間に10個の荷物を運びます。Bは、32÷4＝8 より、1時間に8個の荷物を運びます。2人で運びますから、1時間に10＋8＝18個の荷物を運ぶことができますので、90÷18＝5 より、5時間かかります。

【対策ポイント1】

　仕事算の基本的な解法の流れは、次のようになります。

1. まず、仕事の全体量を1として、比を利用して各人の1日や1時間あたりの仕事量を求めます。

2. 次に、この比を利用して、仕事の全体量を新たに作る、というものです。

　そして、この2つの数値を利用して、質問に答えていくという手順です。

[例題2]

　基本的な仕事算です。まず、仕事の全体量を1とします。A 1人で20日かけてこの仕事をしますので、Aは1日で、1÷20＝1/20の仕事をします(1日の仕事量)。同様に、B 1人で30日かけてこの仕事をしますので、Bの1日の仕事量は，1÷30＝1/30です。

　このことから、1日あたりの仕事量の比は、A：B＝1/20：1/30＝3：2となります。この比の数値を利用して、仕事の全体量を作り直します。A 1人で20日かかるので、仕事の全体量は新たに、3×20日＝60とします (当然にBでも2×30日＝60) 。ここまでが準備です。

(1) AとBの2人がいっしょに仕事をすると、1日に3＋2＝5の仕事ができます。よって、60÷5＝12より、2人ですると、仕事を終えるまでに12日かかります。

(2) はじめに、Aが8日しますので、3×8＝24の仕事量が終わりました。残りの仕事量は60－24＝36で、これをBは、36÷2＝18より、18日間かかります。

[例題3]

　前問と同様の問題です。準備として、1日の仕事量の比　A：(A＋B)＝1/24：1/15＝5：8より、1日の仕事量をAが5とすると、Bは8－5＝3、そして、全体の仕事量は、Aの1日の仕事量から計算して、5×24＝120となります。

(1) 120÷3＝40より、Bが1人でこの仕事をすると40日かかります。

(2) Aがa日間仕事をすると、5×aの仕事量、Bがb日間仕事をすると、3×bの仕事量、2人合わせて、a＋b＝28日間で、5×a＋3×b＝120の仕事をすることになります。日数(かける数量)の合計が与えられ、仕事量(積＝かけ算の答え)の合計が与えられていますから、つるかめ算を使って解くことができます。Bが28日間仕事をしたことにすると、3×28＝84の仕事ができます。

　差である、120－84＝36は、Bより1日に、5－3＝2ずつ多く仕事ができるAがしたことで終了しました。よって、36÷2＝18より、Aは18日仕事をしたことになります。

(3) 仕事を休む人がいる問題です。Aが8日休まなかったことにすると、全体で120＋5×8＝160の仕事をすることになります。この仕事量を、2人ですることに考えます。160÷8＝20 より、20日です。

　この仕事を休む人が含まれるパターンの出題はテストで頻出ですので、解き方をしっかり理解しておきましょう。

【対策ポイント2】

　仕事の最小単位（基本的には、1人が1日にする仕事量）を1として、これをもとに、全体の仕事量（のべ量といいます）を表して考える問題を学習します。のべ算(帰一算ともいいます)を学習します。

[例題4]

　のべ算の問題です。1人が1日にする仕事量を1とすると、12人が5日間でする仕事量は、1×12×5＝60です。

(1) この仕事を15人でしますから、60÷(1×15)＝4より、4日かかります。なお、はじめの設定である、1人1日の仕事量の1は、省略してもかまいません。つまり、人数×日数を全仕事量としてもよいです。

(2) 残りの仕事をする人数を□人とすると、4×3＋□×8＝60 となりますので、逆算して、□＝(60－4×3)÷8＝48÷8＝6 より、残りの仕事は6人ですればよいことになります。

【対策ポイント3】

　ニュートン算を学習します。増加する量と減少する量が同時におこる問題をニュートン算といいます。

[例題5]

　増加(わき出す水)する量があるとともに、減少(ポンプでくみ出す)する量がある問題で、ニュートン算です。予習シリーズ126ページの解き方にある説明図を参照してください。

　ニュートン算は、「(減少量－増加量)×時間＝はじめの量」の形に整頓すると、考えやすくなります。なお、ここの減少量・増加量は時間単位1あたりの量を表します。

　問題の300Ｌがはじめの量、毎分5Ｌのわき出す水が増加量、ポンプ1台で1分ごとにくみ出す量が減少量となります。

(1) ポンプ1台で1分ごとにくみ出す量を□Lとして整頓すると、(□－5)×30分＝300Lとなります。逆算をして、300÷30＋5＝15より、ポンプ1台がくみ出す量は、毎分15Lです。

(2) ポンプ2台でくみ出す時間を□分として整頓すると、(15×2－5)×□分＝300Lとなります。逆算をして、300÷25＝12より、泉は12分で空(から)になります。

[例題6]

　泉にたまっている量(はじめの量)と、わき出す水の量(増加量)が不明のニュートン算です。　増加量を毎分□Lとして、整頓すると、はじめの量＝(8－□)×70＝560－□×70、はじめの量＝(12－□)×42＝504－□×42、となります。

(1) はじめの量は同じですので、560－□×70＝504－□×42 です。560と504の差は、(□×70)と(□×42)の差です。560－504＝□×70－□×42＝□×(70－42) となり、□＝56÷28＝2 より、わき出す水は、毎分2Lです。

(2) はじめの量を表す式の□に2を入れて計算すると、(8－2)×70＝420 より、はじめ、泉にたまっていた水は420Lです。

[例題7]

　入場開始時の行列の人数(はじめの量)と、入場口1か所で通過する人数(減少量)が不明のニュートン算です。(1か所の)減少量を○の数で表す（マルイチ計算）を利用して解いてみましょう。

入場口2か所のとき、はじめの量＝(②－10)×14＝㉘－140
入場口3か所のとき、はじめの量＝(③－10)×8＝㉔－80

(1) ㉘－140＝㉔－80 となります。①＝(140－80)÷(28－24)＝60÷4＝15 より、入場口1か所から入場する人数は、毎分15人の割合です。

(2) (1)の結果より、(15×2－10)×14＝20×14＝280 となりますので、入場開始時には、280人の行列ができていました。

　ここでは、線分図を使わずに説明しましたが、ニュートン算では、線分図で内容を整頓するかどうかで、理解のしやすさが圧倒的に変わってきます。予習シリーズの図を参照して、自分でも図をかくようにしましょう。

＜算数　4年下　第11回＞

　第11回は『角柱と円柱』です。底面の形が円や三角形、四角形、などで、太さの変わらない柱のような立体である円柱、三角柱、四角柱などの立体について、学習します。用語、公式をきちんと覚えて、解けるようにしましょう。

＜今回のポイント＞

　公式の使用が中心ですので、きちんと覚えて、あとはトレーニングです。加えて、3.14の計算も工夫が必要です。また、展開図から組み立てた立体を考えることにもなれていきましょう。

【対策ポイント1】

　角柱・円柱の性質を学習します。予習シリーズ100ページの説明をよく読みましょう。

[例題1]

　角柱の面、辺、頂点の数を考えます。底面の図形をN角形としたN角柱を考えて、まとめておきます。

・面の数　上底面と下底面および、側面がN面ありますので、面の数は、(N+2)面です。
・辺の数　底面のN角形の辺の数はN本で、これが上底面、下底面2つにあり、また、この上下2つのN角形の頂点を結ぶ直線(高さにあたります)がN本ありますので、合計して、辺の数は、(N×3)本です。
・頂点の数　上底面、下底面のN角形にN個ずつありますので、合計して、頂点の数は、(N×2)個です。

(1) 上にまとめたように、五角柱では、面の数は、5＋2＝7つ、辺の数は、5×3＝15本、頂点の数は、5×2＝10個です。

(2) 辺の数が24ですから、24÷3＝8 より、八角柱です。

【対策ポイント2】

　角柱・円柱の体積と表面積について、学習します。予習シリーズ101ページから103ページまでの内容をきちんと読み、用語もふくめて、公式を覚えましょう。

[例題2]

　角柱の体積と表面積を求める問題です。

(1) 底面が台形(四角形)である、四角柱の体積を求めます。公式 [体積＝底面積×高さ]、底面である台形の面積は、(4＋7)×4÷2＝22平方cm、よって、高さの6cmをかけて、22×6＝132 より、体積は、132立方cmです。

(2) 同じ四角柱の表面積を求めます。公式 [表面積＝底面積×2＋側面積] 、[側面積＝底面のまわりの長さ×高さ]
底面積×2＝22×2＝44平方cm
側面積＝(4＋4＋5＋7)×6＝120平方cm
よって、44＋120＝164 より、表面積は、164平方cmです。

[例題3]

　円柱の体積と表面積を求める問題です。公式は、角柱の場合とまったく同じです。

(1) 体積を求めます。底面は半径4cmの円ですから、面積は、4×4×3.14＝16×3.14平方cm、よって、高さの5cmをかけて、16×3.14×5＝80×3.14＝251.2 より、体積は、251.2立方cmです。

(2) 表面積を求めます。
底面積×2＝16×3.14×2＝32×3.14平方cm
側面積＝円周×5＝4×2×3.14×5＝40×3.14平方cm
よって、(32＋40)×3.14＝72×3.14＝226.08 より、表面積は、226.08平方cmです。

　この問題での計算に注意してください。円に関係する数量、つまり円周率3.14のかけ算が入る計算では、3.14の計算はまとめて最後に計算するよう、心がけましょう。計算ミスをふせぐことができます。

　われわれ中学受験鉄人会のプロ家庭教師は、常に100％合格を胸に日々研鑽しております。ぜひ、大切なお子さんの合格の為にプロ家庭教師をご指名ください。