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＜算数　6年生　第24回＞

　第24回のテーマは「文章題と図法　〜和差算•分配算•消去算•つるかめ算•過不足算」です。今回は文章題の解法を再確認していきます。文章題を解くときに重要なことは、文章で表された情報をいかに整理するかです。その方法として、式や表、線分図や面積図などがあります。

　今回は計算に至るまでの過程を再確認し、あらためて自分の使えるツールを確認し、定着させていきましょう。1つの問題に対していくつかの解法が使えることは強みでもあります。様々な問題にいろいろな解法で取り組み、どのようなタイプの問題でも攻略できるような力をつけていきましょう。

※今回の「学び」では「図法」が大きなテーマです。下記の対策ポイントは文章による説明が中心となりますが、「ステージⅣ・本科教室　答え　6年」の「答え・解き方」にある図も参考にしながら取り組みましょう。

【対策ポイント】

　「学び1」では和と差、和と倍に着目する文章題について確認していきます。線分図を使って考えていきます。問い1を見てみましょう。兄、弟の線分図を縦に並べて書きます。線分図は左にそろえて書き、兄の線の長さが弟よりも500円多くなるように書きます。線分図の右に中かっこをつけて所持金の和の2500円を書き込みましょう。

　兄の所持金を求めるときは、兄の線の長さにそろえるために、弟の所持金に500円を足します。そして2人の所持金の和にも500円を足します。すると2人の所持金の和は2500＋500＝3000円となります。2人の線の長さは兄の線の長さにそろっているため、兄の所持金は3000÷2＝1500円となります。次に別の方法で弟の所持金を求めてみましょう。

　弟の所持金を求めるときは、弟の線の長さにそろえるために、兄の所持金から500円を引きます。そして2人の所持金の和からも500円を引きます。すると2人の所持金の和は2500－500＝2000円となります。2人の線の長さは弟の線の長さにそろっているため、弟の所持金は2000÷2＝1000円となります。

　線分図を書くときには、線を左にそろえて書くことが重要です。その上で差に注目して、差を足りないところに足して線の長さをそろえて個数で割るのか、差を余分なところから引いて線の長さをそろえて個数で割るのかを考えます。線の長さを求めることができたら、必ず線分図で何を求めたのかを確認しましょう。

　次に143ページの問い5を見てみましょう。66個のりんごをＡさん、Ｂさん、Ｃさんで分けます。Ｂさんがもらうりんごの個数を①とすると、AさんはBさんの2倍のため②とします。CさんはＢさんの3倍のため③とします。Ａさん、Ｂさん、Ｃさんの和は①＋②＋③＝⑥となります。このことから⑥＝66となり、①＝11となります。したがってAさんがもらうりんごの個数は②のため、11×2=22個となります。この問題でも線分図を書くことでさらに理解を深めることができます。

　「学び2」ではつるかめ算について確認していきます。144ページの問い1を見てみましょう。12個入りの袋の数を◯袋、20個入りの袋の数を△袋とします。文章から式を作ると、◯＋△＝13、12×◯＋20×△＝220となります。

　このようにつるかめ算は、和の式で表された袋の数の合計がわかっていて、和と積の式で表されたみかんの個数の合計がわかっていることが特徴です。この2つの式を満たす◯と△を求めていきます。

　◯＋△＝13であることから、◯や△に合わせて13になるように数を当てはめていきます。はじめに◯＝13、△＝0としてみましょう。すると12×13＋20×0＝156となり、220にはなりません。

　続いて◯＝12、△＝1としてみます。すると、12×12＋20×1＝164となりだんだんと220に近づいていることがわかります。このとき、合計は164－156＝8増えたことがわかります。これは12にかける数を13から12として1つ減らしたのと、20にかける数が0から1に増やしたために、12と20の差の8だけ合計が増えたことになります。

　同様に考えると◯＝11、△＝2のとき、12×11＋20×2＝172となり、172－164＝8増えたことがわかります。12に当てはめる数を1減らし、20に当てはめる数を1増やすと合計が8増えるため、合計が220になるのは(220－156)÷8＝8となることから、△に当てはまる数は8となります。したがって、12個入りの袋の数（◯に当てはまる数）は13－8＝5袋となります。

　このように、つるかめ算では和と積の式が成り立つかどうかを調べていきます。◯や△に数を当てはめるときにはどちらか一方が0（ゼロ）の場合から考え、当てはめる数を1つずつ変えていきます。そして、当てはめる数を1つずつ変えたときの合計の変化量を求めます。

　そして和と積の式の合計とどちらか一方が0（ゼロ）の場合の合計の差を求め、1つずつ変えたときの合計の変化量で割ると、◯や△で、はじめに0を当てはめた方の値を求めることができます。

　次に問い3を見てみましょう。問い1と同じように式を作っていきます。正解が◯問、不正解が△問とします。文章から式を作ると、◯＋△＝100、5×◯－2×△＝430となります。この2つの式を満たす◯と△を求めていきます。

　◯＋△＝100であることから、◯や△に合わせて100になるように数を当てはめていきます。はじめに◯＝100、△＝0としてみましょう。すると5×100－2×0＝500となり、430にはなりません。

　続いて◯＝99、△＝1としてみます。すると、5×99－2×1＝493となります。このとき、合計は500－493＝7減ったことがわかります。これは5にかける数を100から99として1つ減らしたのと、2にかける数を0から1に増やしたために、5と2の和の7だけ合計が減ったことになります。

　したがって、合計が430になるのは(500－430)÷7＝10となることから、△に当てはまる数は10となり、不正解の数が10題とわかります。このとき、正解の数（◯に当てはまる数）は100－10＝90題となります。

　このように点数がもらえる問題で、まちがえると点数をひかれる問題や、アルバイト代がもらえる問題で失敗するとお金を払わなければならない問題は弁償算とも言われます。紹介した問い3の例ではまちがえた場合、得点が引かれることに注意すればつるかめ算と同じように解くことができます。基本をしっかりと身につけることが重要です。

　次に過不足算・差集め算について確認していきます。問い4を見てみましょう。えんぴつを1人に10本ずつ配ると16本不足し、1人に8本ずつ配ると14本余る問題です。過不足算は配る人数を同じにすることがとても重要です。

　この場合、配る人数は同じです。ひとりに10本ずつ配る場合と1人に8本ずつ配る場合を比べると、10－8＝2本の差になります。えんぴつを1人に10本ずつ配ると16本不足し、1人に8本ずつ配ると14本余るため、全体の差は16＋14＝30となります。

　1人あたりは2本の差になることから、求める人数は30÷2＝15人となります。したがってえんぴつの本数は10×15－16＝134本となります。このように、過不足算は全体の差を1人あたりの差で割ることで人数を求めることができます。このとき、配る人数は等しくなければならないことに注意しましょう。

　次に147ページの問い6を見てみましょう。姉が1本80円のえんぴつを、妹が1本50円のえんぴつを買う問題です。えんぴつ1本あたりの差は80－50＝30円です。買ったえんぴつの本数は妹の方が姉より5本多いとあるため、この5本を買わなかったことにします（姉と妹が買ったえんぴつの本数をそろえ、差集め算が使えるようにするためです）。

　こうすると、妹は50×5＝250円使わなかったことになります。すると、使ったお金は、姉の方が妹よりも20＋250＝270円多くなります。この270円が全体の差になります。したがって姉が買ったえんぴつの本数は270÷30＝9本となります。妹は、はじめの設定では姉よりも5本多く買ったため、9＋5＝14本となります。

　次に問い8を見てみましょう。80円のえんぴつと60円のえんぴつを合わせて17本買う予定でしたが、80円のえんぴつと60円のえんぴつの本数を逆に買ってしまったため、代金が予定より60円多くなったという問題です。代金が60円多くなったということは、はじめは60円のえんぴつを80円のえんぴつよりも多く買う予定でしたが、実際は80円のえんぴつの方が60円のえんぴつよりも多く買ったということになります。

　予定通り買う場合と予定とは逆に買う場合で、60円と80円のえんぴつの本数を比べたときに、多く買った分に注目して本数を求めていきます。多く買った分の全体の差は60円です。えんぴつ1本あたりの差は80－60＝20円です。このことから、多く買った分の本数は60÷20＝3本となります。

　つまり、60円のえんぴつを80円のえんぴつよりも3本多く買い、合わせて17本買う予定だったことがわかります。このことから、和差算の考え方を使って、予定していた80円のえんぴつの本数は、(17－3)÷2＝7本となります。

　「学び3」では消去算について確認していきます。148ページの問い1を見てみましょう。りんごを[り]、みかんを[み]として式を作っていきます。

　1つ目の式は[り]×1＋{み]×1＝165となります。2つ目の式は[り]×3＋{み]×8＝870となります。消去算ではりんごの個数かみかんの個数をそろえて式を比べていきます。ここでは1つ目の式を3倍して、りんごの個数をそろえてみましょう。

　1つ目の式を3倍すると[り]×3＋{み]×3＝495となります。この式と2つ目の式を比べてみましょう。すると、[み]×5＝870－495＝375となります。このことから、みかん1個の値段は375÷5＝75円となります。りんご1個の値段はりんご1個とみかん1個を合わせた値段が165円となることから、165－75＝90円となります。

　次に問い3を見てみましょう。問い1と同じように式を作っていきます。かきを[か]、なしを[な]として式を作っていきます。1つ目の式は[か]×6＋[な]×5＝675となります。2つ目の式は[か]×3＝[な]×2となります。

　ここでは2つ目の式を2倍して、かきの個数をそろえてみましょう。2つ目の式を2倍すると[か]×6＝[な]×4となります。かき6個の代金となし4個の代金が同じため、1つ目の式の[か]×6を[な]×4に置き換えます。このようは方法を代入法といいます。

　すると、[な]×4＋[な]×5＝675となり、[な]×9＝675となります。このことからなし1個の値段は675÷9＝75円となります。また、かき3個の代金となし2個の代金が同じことから、かき3個の代金は75×2＝150となります。したがって、かき1個の値段は150÷3＝50円となります。

　演習としては152ページから155ページは必修です。157ページの問1、問2は線分図に整理しながら隠れた条件を見つけ出しましょう。158ページの問4、問5、問7では消去算、つるかめ算、過不足算、差集め算のどの考え方を使うのか判断して解きましょう。159ページの問10は「1人もかけていないベンチが29個余りました」の意味をよく考えて可能性を探っていきましょう。160ページの問14は線分図に表すと新たな情報を取り出すことができます。

　今回取り上げていない問題も含めてどの問題も入試レベルの良問です。問題数を絞って解法の定着を図りたいときには今回提示した問題を、余裕のある場合は提示していない問題も取り組むとよいでしょう。

＜算数　5年生　第24回＞

　第24回のテーマは「数と計算　分数の計算２　～かけ算と1あたりの量～」です。今回の内容は「量と倍」「単位分数×単位分数の計算方法」「真分数・仮分数・帯分数のかけ算」です。次回の分数のわり算にもつながる単元のためしっかりと定着させていきましょう。

　今回も計算の手続きが中心になります。分数のかけ算において、分母どうし、分子どうしをかける理由や約分の方法についてじっくりと学ぶことができるのは今しかありません。計算の操作を覚えることも大切ですが、その根拠を学ぶことは後に大きな財産として残ります。1つひとつの「学び」にじっくりと取り組んでみましょう。

　また、計算が中心となるため、過程がわかるように、書き込みながら進めていくように心がけましょう。
なお、分数は、「分子/分母」の形で、帯分数は、「整数・分子/分母」の形で表します。

【対策ポイント】

　「学び1」では「量」と「倍」について考えていきます。110ページの「やってみよう！」を見てみましょう。「①プールから1/2Ｌの水をくみ出す」を考えてみます。この場合の1/2Ｌは1Ｌをもとにする量としたときの1/2の量を表します。もとにする量が1Ｌと決まっているため、1/2Ｌは大きさの決まった「量」となります。

　「②プールの水を1/2くみ出す」ではどうでしょう。この場合の1/2は「プールの水」をもとにする量とします。つまり「プールの水」×1/2が求める水の量となります。よってこの場合の1/2は「何倍」を表しています。

　したがって想像するプールが大きければその1/2の量も多くなり、想像するプールが小さければその1/2の量は少なくなります。したがって①の場合、どのようなプールであっても1/2Ｌの量は変わりませんが、②の場合、プールの大きさによって水の量は変わるため、1/2の量も変わります。

　1/4㎏や1/5cmなど単位がついている分数は大きさの決まっている「量」で、「○○の1/3」のような場合の1/3は「何倍」を表しています。したがって、○○にあたる部分が「プールの水」や「ケーキ」のようにその人がどのような大きさのものを思いうかべるかによって変わるものは、その人が想像するものによって大きさが変わります。

　「学び2」では、(単位分数)×(単位分数)の計算について考えていきます。111ページの「やってみよう！」を見てみましょう。ここでは、「1/3×1/4」の計算について考えていきます。

　111ページ中段にある①の図を見てみましょう。図は長さ1/3mのロープが3本（1m）書かれています。1/3mの1/4を考えます。つまり、1/3mを4等分します。図の1/3mのロープを4等分してみましょう（3つある1/3mのロープをすべて4等分します）。すると1本分は1/12mとなります。このことから1/3×1/4は1/12となることがわかります。

　「学び3」では真分数・仮分数・帯分数のかけ算について考えていきます。112ページの「やってみよう！」を使って2/3×4/5の計算方法について考えていきます。112ページの中段の1辺が1mの正方形の図を見てみましょう。はじめにたて1/3m、横1/5mの長方形の大きさを斜線でぬってみましょう。

　たては1mを3等分に、横は1mを5等分にしていることから、1マス分がたて1/3m、横1/5mの長方形（1/15㎡の大きさの長方形）となります。左下の1マスを斜線でぬりましょう。

　次に、たて2/3m、横4/5mの長方形をえんぴつでなぞって囲んでみましょう。左下から上に2マス、右に4マスの部分がたて2/3m、横4/5mの長方形になります。えんぴつで周りを囲んで長方形を作ってみましょう。すると、たて2/3m、横4/5mの長方形の大きさはたて1/3m、横1/5mの長方形(1/15㎡の大きさの長方形)の8つ分であることがわかります。

　つまり、8/15㎡となります。このことから2/3×4/5＝8/15となります。したがって分数のかけ算では分母どうし、分子どうしをかけた値がそのまま計算結果になることがわかります。

　次に分数のかけ算と約分について考えます。113ページの「やってみよう！」を見てみましょう。5/24×8/15の計算過程が「方法1」と「方法2」の2通り書かれています。分母どうし、分子どうしをかけて結果を約分したものが「方法1」、分母どうし、分子どうしをかける前に約分したものが「方法2」です。

　分母どうし、分子どうしをかける前に約分した方が効率がよいといえます。分数のかけ算では分母どうし、分子どうしをかける前に約分しましょう。

　次に114ページの「やってみよう！」を見てみましょう。ここでは帯分数のかけ算について説明します。「2・3/4×1・2/5」のかけ算の様子を見てみましょう。帯分数は仮分数に直してから計算します（計算式の2行目）。

　分母どうし、分子どうしをかける前に約分でできるかどうかも確認しましょう（計算式の式の3行目）。計算が終わったら帯分数に直します（計算式の5行目）。

　次に115ページを見てみましょう7/15×5/21×12/35の計算過程が書かれています。「方法1」と「方法2」では約分のし方はそれぞれ違いますが、計算結果は同じです。

　このように分数のかけ算では、約分するときにこうしなければならないという決まりはありません。したがって自由に約分しましょう。何度も約分したり、約分した結果を書き込まなかったりすると誤答を招きます。なるべく少ない回数で約分して、きちんと約分した結果を書き込むようにしましょう。

　演習としては116ページから117ページは必修です。118ページの「どっちにしても食べすぎ」と「ばっさり」についても考えてみましょう。119ページの問1では約分の考え方やわり算を分数で表す考え方を使っていきましょう。120ページの問3ではもとにする量を意識して取り組みましょう。

　121ページの問4、問5は書き出して調べながら考えましょう。調べる順番が重要です。122ページの問6はベン図に表すとよいでしょう。123ページの問8は線分図に数値を書き込みながら考えていきましょう。

　われわれ中学受験鉄人会のプロ家庭教師は、常に100％合格を胸に日々研鑽しております。ぜひ、大切なお子さんの合格の為にプロ家庭教師をご指名ください。