メールマガジン宝箱 Mail magazine

＜算数　6年生　第32回＞

　第32回のテーマは「平面図形　図形と比①」です。今回の内容は「高さが等しい三角形の底辺の長さの比と面積比」「斜辺を高さとみなす」「図形と加比の理」です。どの考え方も特徴的な図形を探し、そこから今回学んだ知識を使っていきます。そのため特徴的な図形を探したり、作ったりする必要があります。

　はじめはなかなか図形が見つからず、時間がかかるかもしれませんが、自分の目で見つけることが重要です。図形を線でなぞってみたり、向きを変えたりしながら考えてみましょう。たとえはじめは時間がかかったとしても、その経験はきっと次の問題を解くときに生きてきます。

　今回学ぶような図形の面積比に関する問題は入試では必須単元です。問題演習を通して、図形を見抜く力をつけていきましょう。

【対策ポイント】

　「学び1」では高さが等しい三角形の辺の長さと面積比について学びます。348ページを見てみましょう。平行な2直線の間にある高さが等しい三角形があります。三角形の底辺の長さの比はa:b:cです。このとき面積の比を求めてみましょう。底辺aの三角形の面積はa×高さ÷2で、底辺bの三角形の面積はb×高さ÷2で、底辺cの三角形の面積はc×高さ÷2でそれぞれ求めることができます。

　したがって、底辺の長さの比がa:b:cの三角形の面積の比は、(a×高さ÷2):(b×高さ÷2):(c×高さ÷2)となります。底辺の長さの比がa:b:cの三角形の面積を表す式のすべてに「高さ÷2」があるため、これらをすべて「高さ÷2」でわると、三角形の面積の比はa:b:cとなることがわかります。このように、高さが等しい三角形の場合、「底辺の長さの比=面積比」という関係が成り立ちます。

　次に図形の中から高さが等しい三角形を見つける練習をしてみましょう。348ページの「やってみよう！」を見てみましょう。左側の三角形で説明します。説明のため図にアルファベットをつけていきます。1番大きい三角形に注目しましょう。1番大きい三角形の1番高いところにある頂点をＡ、底辺の左端をＢ、底辺の右端をＣとします。また、ＡＢの間にある直線との交点をＰ、ＡＣの間にある直線との交点をＱとします。

　高さが等しい三角形を見つけてみましょう。はじめに三角形ＢＣＡに注目しましょう。三角形ＢＣＡはＢＱによって2つの三角形に分けられています。テキストの向きを変えて三角形ＢＣＡのＣＡが底辺、Ｂが1番高いところにある頂点になるようにしましょう。三角形ＢＱＡと三角形ＢＣＱを調べてみます。三角形ＢＱＡの1番高い頂点Ｂから底辺ＱＡに向かって垂直な線を引き高さを表す部分を書いてみましょう。

　また、三角形ＢＣＱの1番高い頂点Ｂから底辺ＣＱに向かって垂直な線を引き高さを表す部分を書いてみましょう。この作図から三角形ＢＱＡと三角形ＢＣＱの高さは等しいことがわかります。したがって、三角形ＢＱＡと三角形ＢＣＱは高さが等しい三角形です。このように底辺（ＱＡとＣＱ）が同一直線上にあり、1番高いところにある頂点（Ｂ）を共有する三角形どうしは高さが等しい三角形となります（この形を覚えてしまいましょう）。

　次に三角形ＱＡＢに注目しましょう。三角形ＱＡＢはＱＰによって2つの三角形に分けられています。テキストの向きを変えて三角形ＱＡＢのＡＢが底辺、Ｑが1番高いところにある頂点になるようにしましょう。三角形ＱＡＰと三角形ＱＰＢを調べてみます。三角形ＱＡＰと三角形ＱＰＢは底辺（ＡＰとＰＢ）が同一直線上にあり、1番高いところにある頂点（Ｑ）を共有する三角形どうしのため高さが等しい三角形です。

　次に同じ三角形ＡＢＣに比を書き込んで、辺の比と面積比について考えてみましょう。ＡＰ:ＰＢ＝5:3、ＡＱ:ＱＣ＝2:3とします。

　はじめに三角形ＱＡＢに注目しましょう。三角形ＱＡＢはＱＰによって2つの三角形に分けられています。三角形ＱＡＰと三角形ＱＰＢは高さが等しい三角形です。三角形ＱＡＰと三角形ＱＰＢの底辺の比はＡＰ:ＰＢ＝5:3です。したがって三角形ＱＡＰと三角形ＱＰＢの面積の比は5:3となります（三角形ＱＡＰのところに5、三角形ＱＰＢのところに3と書き込みましょう）。

　次に三角形ＢＣＡに注目しましょう。三角形ＢＣＡはＢＱによって2つの三角形に分けられています。三角形ＢＱＡと三角形ＢＣＱは高さが等しい三角形です。三角形ＢＱＡと三角形ＢＣＱの底辺の比はＡＱ:ＱＣ＝2:3です。したがって三角形ＢＱＡと三角形ＢＣＱの面積の比は2:3となります。

　ここで、三角形ＱＡＰと三角形ＱＰＢの面積の比を5:3としたため、三角形ＢＱＡの面積は5＋3＝8となります。三角形ＢＱＡの面積の8が比の2にあたるため、比の1にあたる量は8÷2＝4となります。三角形ＢＣＱの面積は比の3にあたるため、4×3＝12となります。したがって、三角形ＱＡＰと三角形ＱＰＢと三角形ＢＣＱの面積の比は5:3:12となります。

　次に高さが等しい台形の面積比について考えます。356ページの問1③を見てみましょう。台形を2つの部分ア、イに分けました。アとイは高さが等しい台形です。アとイの面積の比を求めます。アの面積は(2＋8)×高さ÷2と表すことができます。イの面積は(5＋3)×高さ÷2です。アとイの面積の比は｛（2＋8）×高さ÷2｝:｛（5＋3）×高さ÷2｝となります。

　ア、イの面積を表す式に「高さ÷2」があるため、これらを「高さ÷2」でわると、アとイの面積の比は(2＋8)：(5＋3）となります。

　このように、高さが等しい台形の場合、「上底と下底の長さの和の比=面積比」という関係が成り立ちます。アとイの面積の比を最後まで計算すると(2＋8):(5＋3)＝10:8＝5：4となります。

　「学び2」では三角形の底辺の比、高さの比、面積比の関係を考えていきます。三角形では、底辺の比、高さの比、面積比のうち、2つの比が決まれば、残り1つの比を求めることができます。このとき、比も普通の数と同じように考えることができます。

　350ページの「やってみよう！」を見てみましょう。図で三角形ＰＡＤと三角形ＰＢＣの面積は同じです。つまり、三角形ＰＡＤと三角形ＰＢＣの面積は1：1です。三角形ＰＡＤと三角形ＰＢＣについて具体的に考えるためＡＤ:ＢＣ＝4:9とします。ＡＤは三角形ＰＡＤの底辺で、ＢＣは三角形ＰＢＣの底辺です。

　三角形ＰＡＤと三角形ＰＢＣの高さの比について考えてみましょう。はじめに三角形ＰＡＤです。三角形ＰＡＤは底辺が4、高さが◯の三角形で面積は1です。このことを式で表すと4×◯÷2＝1となります。したがって◯＝1×2÷4＝2/4となります。

　次に三角形ＰＢＣです。三角形ＰＢＣは底辺が9、高さが□の三角形で面積は1です。このことを式で表すと9×□÷2＝1となります。したがって、□＝1×2÷9＝2/9となるため、三角形ＰＡＤと三角形ＰＢＣの高さの比は2/4：2/9＝1/4：1/9＝9:4となります。つまり、底辺の長さが4:9の三角形ＰＡＤと三角形ＰＢＣの高さの比は底辺の長さの逆比になります。

　「学び3」では斜辺を高さとみなして三角形の面積の比を求めていきます。352ページの「やってみよう！」を説明します。図でＡＰ：ＰＢ＝3：1、ＡＲ：ＲＣ＝1：1、ＢＱ：ＱＣ＝1：1です。長さの比を図に書き込みましょう。

●三角形ＰＢＱと三角形ＡＢＣの高さの比は斜辺の比、つまりＢＰ:ＢＡと等しい。

　三角形ＰＢＱと三角形ＡＢＣを見てみましょう。三角形ＰＢＱの底辺をＢＱとします。1番高いところにある頂点Ｐから下に向かって垂線を書いて、ＢＱとの交点をＳとします。このとき、ＰＳとＢＱは垂直に交わります。

　また、三角形ＡＢＣの底辺をＢＣとします。1番高いところにある頂点Ａから下に向かって垂線を書いて、ＢＣとの交点をＴとします。このとき、ＡＴとＢＣは垂直に交わります。

　すると、ＰＳとＡＴが平行な三角形ＢＴＡが現れます。三角形ＢＳＰと三角形ＢＴＡについて調べます。三角形ＢＳＰの角ＢＳＰと三角形ＢＴＡの角ＢＴＡは直角です。また、三角形ＢＳＰの角ＰＢＳと三角形ＢＴＡの角ＡＢＴは同じです。

　したがって2つの角度が等しいため三角形ＢＳＰと三角形ＢＴＡは相似（拡大、縮小の関係）です。ここで、ＡＰ：ＰＢ＝3：1のため、ＡＢは3＋1＝4となるため、ＢＰ：ＢＡ＝1：4となります。

　このことから三角形ＢＳＰと三角形ＢＴＡの相似比は1：4となります。ここでＰＳ:ＡＴについて考えます。三角形ＢＳＰと三角形ＢＴＡは相似で対応する辺の長さの比は等しくなることを使うとＰＳ:ＡＴ＝ＢＰ：ＢＡ＝1：4となります。したがって、三角形ＰＢＱと三角形ＡＢＣの高さの比（ＰＳ：ＡＴ）は斜辺の比、つまりＢＰ：ＢＡと等しいということがわかります。

● 三角形ＰＢＱと三角形ＡＢＣの面積の比は、(ＢＱ×ＢＰ):(ＢＣ×ＢＡ)と等しい。

　再び、三角形ＰＢＱと三角形ＡＢＣにもどりましょう。三角形ＰＢＱと三角形ＡＢＣの面積の比を求めていきます。

　三角形ＰＢＱと三角形ＡＢＣの底辺をそれぞれＢＱとＢＣとすると、高さはＰＳとＡＴとなります。したがって三角形ＰＢＱと三角形ＡＢＣの面積の比は、(ＢＱ×ＰＳ÷2)：(ＢＣ×ＡＴ÷2)と表すことができます。

　ここで、三角形ＰＢＱと三角形ＡＢＣの高さの比（ＰＳ：ＡＴ）は、斜辺の比(ＢＰ：ＢＡ)と等しいことを使うと、三角形ＰＢＱと三角形ＡＢＣの面積の比は、(ＢＱ×ＰＳ÷2)：(ＢＣ×ＡＴ÷2)＝(ＢＱ×ＢＰ÷2)：(ＢＣ×ＢＡ÷2)＝(ＢＱ×ＢＰ)：(ＢＣ×ＢＡ)となります。

　つまり、「同じ角（角ＰＢＱと角ＡＢＣ）を共有する三角形どうしの面積比は、底辺の比と斜辺の比をかけることで求められる」ことがわかります。

　このことを使って具体的に三角形ＰＢＱと三角形ＡＢＣの面積の比を求めてみましょう。はじめに三角形ＰＢＱの底辺ＢＱと三角形ＡＢＣの底辺ＢＣの長さの比を求めます。

　ＢＱ：ＱＣ＝1：1のため、ＢＣの長さは1＋1＝2となります。このことから、ＢＱ：ＢＣ＝1：2となります。また、斜辺の比はＢＰ：ＢＡ＝1：4のため、三角形ＰＢＱと三角形ＡＢＣの面積の比は、(ＢＱ×ＢＰ)：(ＢＣ×ＢＡ)＝(1×1)：(2×4)＝1：8となります。

　このことを使って353ページの「学んだことを使う」に取り組んでみましょう。

　「学び4」では加比の理について学びます。「加比の理」とは同じ比どうしをたしたり引いたりしても、同じ比になるという性質です。具体的な例で確かめてみましょう。

（例）ＡさんとＢさんがおこづかいをもらう場面を想定します。
①Ａさんが1000円、Ｂさんが2000円持っていました。
②Ａさんが300円、Ｂさんが600円おこづかいをもらいました。
③このため、Ａさんの所持金は1000＋300＝1300円、Ｂさんの所持金は2000＋200＝2600円となります。

　この例を比で考えていきます。
①ＡさんとＢさんが はじめに持っているお金の比は1000：2000＝1：2です。
②ＡさんとＢさんがもらったおこづかいの比は300：600＝1：2です。
③ＡさんとＢさんがおこづかいをもらったあとに持っているお金の比は、(1000＋300)：(200＋600)＝1300：2600＝1：2となります。

　このように「はじめにもっているお金の比（1：2）」と「おこづかいの比（1：2）」が同じとき、おこづかいをもらったあとの比も1：2となります。

　次に355ページの「やってみよう！」を見てみましょう。加比の理を図形で確かめてみましょう。図でＢＤ：ＤＣ＝3：5、ＡＰ：ＰＤ＝1：2とします。三角形ＢＰＡと三角形ＢＤＰについて調べます。

　三角形ＢＰＡと三角形ＢＤＰは底辺（ＤＰとＰＡ）が同一直線上にあり、1番高いところにある頂点（Ｂ）を共有する三角形どうしのため高さが等しい三角形です。したがって三角形ＢＰＡと三角形ＢＤＰの面積の比は底辺の比と同じです。底辺の比はＡＰ:ＰＤ＝1：2のため、三角形ＢＰＡと三角形ＢＤＰの面積の比は1：2となります。

　ここで三角形ＢＰＡの面積を③とします。すると、三角形ＢＤＰの面積は③×2＝⑥となります。図に③、⑥を書き込みましょう。

　次に三角形ＡＢＤと三角形ＡＤＣについて調べます。三角形ＡＢＤと三角形ＡＤＣは高さが等しい三角形のため面積の比は底辺の比（ＢＤ：ＤＣ＝3：5）と同じで3：5となります。

　ここで三角形ＡＤＣの面積について考えます。三角形ＡＢＤの面積は③＋⑥＝⑨で、これは比の3にあたります。したがって比の1にあたる量は⑨÷3＝③となります。したがって、三角形ＡＤＣの面積（比の5）は③×5＝⑮となります。

　次に三角形ＰＢＤと三角形ＰＤＣについて調べます。三角形ＰＢＤと三角形ＰＤＣは高さが等しい三角形のため面積の比は底辺の比（ＢＤ：ＤＣ＝3:5）と同じで3:5となります。ここで三角形ＰＤＣの面積について考えます。三角形ＰＢＤの面積は⑥で、これは比の3にあたります。したがって比の1にあたる量は⑥÷3＝②となります。したがって、三角形ＰＤＣの面積（比の5）は②×5＝⑩となります。図に⑩を書き込みましょう。

　最後に三角形ＣＡＰについて調べます。三角形ＣＡＰの面積は三角形ＡＤＣの面積（⑮）から三角形ＰＤＣの面積（⑩）を取り除くことで求めることができます。したがって三角形ＣＡＰの面積は⑮－⑩＝⑤となります。図に⑤を書き込みましょう。

　ここで加比の理が成り立っているか確かめてみましょう。三角形ＢＰＡと三角形ＣＡＰの面積の比は3：5です。三角形ＢＤＰと三角形ＣＰＤの面積の比は6：10＝3：5です。

　ここで三角形ＢＰＡと三角形ＢＤＰを合わせると三角形ＢＤＡになります。また、三角形ＣＡＰと三角形ＣＰＤを合わせると三角形ＣＡＤになります。したがって加比の理が成り立つのならば三角形ＢＤＡと三角形ＣＡＤの面積の比も3：5となるはずです。

　ここで三角形ＢＤＡと三角形ＣＡＤの面積の比を調べてみます。三角形ＢＤＡと三角形ＣＡＤの面積の比は（③＋⑥）:(⑤＋⑩)＝9：15＝3：5となります。したがって、図形でも加比の理が成り立つことがわかります。

　演習としては356ページから358ページは必修です。冒頭でもふれましたが、なかなか特徴的な図形を見つけられないときは、何度も練習しましょう。後半では360ページの問1、361ページの問2～4、362ページの問5、6までは取り組みましょう。さらに難しい問題に取り組みたい場合は362ページの問7、363ページの問10、364ページの問12にもチャレンジしてみましょう。

＜算数　5年生　第32回＞

　第32回のテーマは「文章題　面積図のしくみ〜平均•つるかめ算～」です。今回の内容は「面積図の導入」「平均を面積図で考える」「つるかめ算を面積図で考える」です。面積図の導入では、売買や平均、速さなどを題材にいろいろな面積図にふれ、面積図の仕組みを理解していきます。

　面積図はかくことができれば、図形の面積や辺の長さを求める問題と同じように解けるためとても便利な道具です。このため面積図を丁寧にかくことが重要です。平均やつるかめ算で面積図を利用するときには面積図のたて、横、面積の関係を確認しながら書くとよいでしょう。

　また、面積図では差に注目することがよくあります。このとき、差がわかりやすいように図をかくようにしましょう。例えば、線と線の間をある程度の幅を持たせてかくなど工夫が必要です。かき方を工夫することで図や数字が分かりやすくなり、正確に解くことができます。

【対策ポイント】

　「学び1」は面積図の導入です。面積図は「長方形の面積=たて×横」という関係を利用して、かけ算の関係で表せるものを、長方形の面積、たて、横に書き込んで表していきます。276ページを見てみましょう。それぞれの面積図が使われる問題例を示していきます。左上の面積図から順に説明します。

①左上の面積図
●問題例
ネコ（足が4本）が10匹います。足の本数の合計は40本です。
●式
4本×10匹=40本
●面積図の説明
　面積図では普通、たてに1あたりの量を書きます（この場合はネコ1匹あたり足の本数が4本）。横は1あたりの量がいくつ分かを書きます（この場合はネコの数の10匹）。すると、面積は1あたりの量がいくつ分か集まった量（この場合はすべてのネコの足の本数の合計の40本）を表します。

②右上の面積図
●問題例
分速60mのＡさんが12分歩くと720m進みます。
●式
分速60m×12分＝720m
●面積図の説明
　たてに速さ（分速60m）、横に分速60mで進んだ時間（12分）を書きます。すると、面積は分速60mで12分進んだときの道のり（720m）を表します。

③左下の面積図
●問題例
1冊90円のノートを18冊買うと代金は1620円です。
●式
90円×18冊＝1620円
●面積図の説明
　たてにノート1冊あたりの代金（90円）、横に買ったノートの冊数（18冊）を書きます。すると、面積は1冊90円のノートを18冊買ったときの代金（1620円）を表します。

④右下の面積図
●問題例
Ａさんは社会の小テストで79点を7回連続でとり続けた結果、合計点は553点になりました。
●式
79点×7回＝553点
●面積図の説明
　たてに小テスト1回あたりの点数（79点）、横に小テストの回数（7回）を書きます。すると、面積は小テストで79点を7回とったのきの合計の点数（553点）を表します。

＊この状況は実際はありえませんが、「学び2」の「平均と面積図」でこの考え方を使います。

　「学び2」では平均と面積図について学びます。277ページを見てみましょう。平均は「平均＝合計÷個数」という式で求めることができます。平均の式は逆算の考え方を使うと「平均×個数＝合計」のように書きかえることができます。

　この式をもとに面積図を書いてみましょう。はじめに長方形を書きます。長方形のたては1あたりの量のため平均を書きます。横はいくつ分にあたる個数を書きます。面積は平均×個数のため合計を表しています。

　面積図を見ると次の3つの式を導くことができます。
合計＝平均×個数
平均＝合計÷個数
個数＝合計÷平均

＊次の説明は本科教室5年ステージⅢ解答の182ページにある面積図を見ながら読んでください。

　次に278ページの「やってみよう！」を考えてみましょう。Ａさんは今までの算数の得点の平均が78点で、もし明日のテストで100点取ると平均が80点になるそうです。ここでは今までにテストが何回あったのか面積図を利用して求めてみましょう。はじめに左側に今までのテストの面積図をかきます。長方形のたては78点、横は今までのテストの回数です。次に右側に明日のテストの面積図を並べてかきます。長方形のたては100点、横は明日のテストは1回のため1回です。

　明日のテストが100点のとき、今までのテストの回数と明日のテストの1回を合わせた回数分の平均が80点となることをもとに、すべての回の面積図をかいていきます。

　長方形のたては80点です。横は今までの回数と明日のテストの回数（1回）の和です。この面積図を左右に並んだ長方形（今までのテストの面積図と明日のテストの面積図）の面積図に重ねるイメージです。解答の182ページの図ではこの面積図が点線で示されています。

　今までの点数の合計と明日のテストの点数の和はすべての点数の和と同じため、図の左上にある長方形と右上にある長方形の面積は同じです。右上の長方形の面積は、たてが100－80＝20のため、20×1＝20となります。左上の長方形のたては80－78＝2となります。左上の長方形の面積は20のため、横は20÷2＝10となり、今までのテストの回数が10回であることがわかります。

　面積図を使っての解法は非常に便利です。しかし、面積で考えていくために数字にばかり気を取られ、答えを求めたときに検証するのを忘れがちです。解答がでたら、その答えが妥当かどうか考えてみる必要があります。

　「学び3」ではつるかめ算を面積図で解いていきます。279ページの【問題】を見てみましょう。ここでは面積図を使って解いていきます。【問題】の下にある「面積図を利用する方法」を見てみましょう。面積図を確認していきましょう。

　左側の長方形はみかんの面積図です。たてがみかん1個あたりの代金120円で横がみかんの個数（面積図ではみかんと書かれています）を表しています。面積はみかんの代金の合計を表しています。右側の長方形はりんごの面積図です。たてがりんご1個あたりの代金150円で横がりんごの個数（面積図ではりんごと書かれています）を表しています。

　面積はりんごの代金の合計を表しています。みかんの個数とりんごの個数の合計は20個のためみかんの個数とりんごの個数の和の部分に20個と書きます。みかんとりんごの代金の合計は2610円のため、左側の長方形と右側の長方形の面積を合わせると2160円になります。このため、左側の長方形と右側の長方形の真ん中に2610円と書き込みます。

　ここからは面積図を見ながらみかんの個数を求めていきます。はじめにたてが150、横が20の大きい長方形の面積を求めます。大きい長方形の面積は150×20＝3000です。みかんの面積図とりんごの面積図の面積の和は2610のため、図の左上の長方形（点線で示されている長方形）の面積は3000－2610＝390となります。ここで左上の長方形のたては150－120＝30のため、横は390÷30＝13となります。横の13は図を見るとみかんの個数に等しいことがわかります。したがってみかんの個数は13個となります。

　みかんの個数とりんごの個数の合計は20個のためりんごの個数は20－13＝7個となります。このように面積図を利用するとつるかめ算でも面積の問題と同じように解くことができます。

　演習としては280ページから281ページは必修です。特に281ページの問4～問6では面積図が使えるよう十分に練習しましょう。今回のテーマは面積図がメインですが、必ずしも面積図を使うわけではありません。はじめは調べたり、表にまとめたりという普通のアプローチをしてみましょう。必要なときに面積図が使えるとよいでしょう。後半は283ページの問1、284ページの問3～問5、285ページの問7に取り組んでみましょう。さらに余裕がある場合は286ページ以降の問題にも挑戦してみましょう。

　われわれ中学受験鉄人会のプロ家庭教師は、常に100％合格を胸に日々研鑽しております。ぜひ、大切なお子さんの合格の為にプロ家庭教師をご指名ください。