メールマガジン宝箱 Mail magazine

　今回より、『日能研　算数対策ポイント！』は新6年生、新5年生、新4年生の生徒様方へ向けての内容となります。

＜算数 本科教室 6年生 ステージⅣ　第19回＞

　第19回のテーマは「規則性　約数・倍数の性質」です。今回の目標は「約数や倍数の考え方を使って問題を解けるようになること」です。そのため、「学び」の段階から「問い」があります。その「問い」を利用しながら約数や倍数の使い方を学んでいきます。実際に書きながら考えていくとよいでしょう。

　約数や倍数の考え方は「整数に関する問題」以外に「文章題」「図形」「速さ」など広い範囲で利用されます。その中で最も多いケースが、その問題が約数・倍数の問題だと気づかないパターンです。このことを避けるためにも、まずは書いて調べることを心がけていきましょう。

【対策ポイント】

　「学び1」では約数・倍数を具体でとらえます。はじめに6ページの「やってみよう！」に取り組んでみましょう。

　12と20の約数を調べてみます。12の約数は小さい方から1、2、3、4、6、12です。1×12、2×6、3×4のようにかけ算をしながら考えると抜けもれがなくなります。20の約数は1，2、4、5、10、20です。公約数は両方に共通する約数のため1，2、4となります。したがって最大公約数は4で、公約数の1，2，4はどれも最大公約数「4」の約数となっています。

　次に7ページの「問い1」をやってみましょう。縦の長さが72cm、横の長さが150cmの長方形の紙を余ることなくできるだけ大きい正方形に切り分けていきます。はじめにどのような切り分け方があるか調べてみましょう。1辺が1cmの正方形で切り分けることはできます。1辺が2cmの正方形で切り分けることはできます。1辺が3cmの正方形で切り分けることはできます。1辺が4cmの正方形では切り分けることはできません。1辺が4cmの場合、4は縦の長さの72cmの約数ですが、横の長さの150cmの約数ではないため余ることなく切り分けることができません。

　このように、この問題は72と150の公約数を探していけばよいことがわかります。そして問題文の中に「できるだけ大きな（正方形）」とあるため、72と150の最大公約数を探す問題と考えることができればよいでしょう。したがって、できるだけ大きな正方形の1辺の長さは6cmとなります。

　このように約数や倍数の問題では、まず具体的な量（今回の問題では辺の長さ）を調べてみて、そこから抽象的な数（今回の問題では約数）の考え方に置き換えることができると、スムースに解くことができます。はじめに「調べること」が大切です。

　次に8ページの「問い2」をやってみましょう。縦36cm、横45cmの長方形の紙を同じ向きにすき間なく並べて、できるだけ小さい正方形を作ります。縦に36cmを何枚か並べて、横に45cmを何枚か並べて同じ長さにします。したがって、36と45の公倍数を考えるとよいことがわかります。そして問題文の中に「できるだけ小さい（正方形）」とあるため、36と45の最小公倍数を探す問題と考えることができればよいでしょう。したがって、できるだけ小さい正方形の1辺の長さは180cmとなります。

　「学び2」では範囲の中にある倍数の個数を調べていきます。11ページの「学んだことを使う」で説明します。1～300までの整数のうち、6の倍数と9の倍数の関係をベン図に表していきます。ページ上段のベン図にも注目しながら解きましょう。

　はじめに1～300までの間に6の倍数は300÷6＝50個あります。同じように9の倍数は300÷9＝33…3となり、33個あります。6の倍数でもあり9の倍数でもある数は、6と9の最小公倍数の倍数のため、18の倍数となります。18の倍数は300÷18＝16…2となり、16個あります。ベン図のイにあてはまる数は1～300までの整数のうち6の倍数でもあり9の倍数でもある数のため、16個あります。

　次にベン図のアにあてはまる数は1～300までの整数のうち6の倍数であり9の倍数ではない数のため、50－16＝34個あります。ベン図のウにあてはまる数は1～300までの整数のうち9の倍数であり6の倍数ではない数のため、33－16＝17個あります。

　したがって、1～300までの整数のうち6の倍数でもあり、9の倍数でもある数の個数は16＋34＋17＝67個となります。したがってベン図のエ（6の倍数でも9の倍数でもない数）にあてはまる数の個数は300－67＝233個となります。順番が前後しますが、この考え方を使って、10ページの「やってみよう！」に取り組んでみましょう。

　「学び3」では素因数分解をするとわかることについて学びます。12について考えてみましょう。

　12を素因数分解すると2×2×3となります。以下のようなことに気づくとよいでしょう。

①12は素因数分解をすると素数2があるため2の倍数である（2で割り切れる）。
②12は素因数分解をすると素数3があるため3の倍数である（3で割り切れる）。
※このことから12は6の倍数でもあり、6でもわり切れます。
③12は素因数分解すると素数2が2つあるため、2で2回わることができる（2でわると3回目でわり切れなくなるともいえる）。
④12＝2×2×3のため、12に3をかけると12×3＝2×2×3×3＝2×3×2×3＝6×6となり、6の平方数（6を2回かけた数）となる。

　続いて素因数分解を使って、その整数の約数の個数を調べてみましょう。
　例えば12の約数は小さい方から1，2、3、4、6、12です。これは次のように考えることができます。12を素因数分解すると12＝2×2×3です。これは2が2つ3が1つからできています。12の約数を作るときは2と3を組み合わせて作っていきます。2は「1個使う」「2個使う」「0個使う（使わないということです）」の3通りあります。3は「1個使う」「0個使う」の2通りあります。

　具体的に組み合わせを考えてみましょう。2を「1個使う」場合を考えてみましょう。このとき3を「1個使う」と2×3＝6となります。6は12の約数です。3を「0個使う」と2×1＝2となります。2は12の約数です。このとき2×0とすると0になってしまい12の約数にはなりません。「0個使う」というのは3を使わないだけですから2×0としないよう気をつけましょう。

　2を「2個使う」場を考えてみましょう。このとき3を「1個使う」と2×2×3＝12となります。12は12の約数です。3を「0個使う」と2×2×1＝4となります。4は12の約数です。

　最後に2を「0個使う」場を考えてみましょう。このとき3を「1個使う」と1×3＝3となります。3は12の約数です。3を「0個使う」と1×1＝1となります。1は12の約数です。

　このように12のすべての約数を「2の個数」と「3の個数」の組み合わせで求めることができます。約数の個数だけ求めるときは、このことを利用します。12（＝2×2×3）の約数の個数を求める場合には、2は「1個使う」「2個使う」「0個使う（使わないということです）」の3通りあり、3は「1個使う」「0個使う」の2通りあるため、全部で3×2＝6通りの約数があることがわかります。

　このように約数の個数は、その整数を素因数分解したときの同じ素因数の個数に注目して、（同じ素因数の個数＋1）の積で表されることがわかります。

　「学び4」では分数が題材の問題において、約数・倍数を活用する例を紹介していきます。15ページの「問い1」を見てみましょう。

　8分の1より大きく、6分の1より小さい分数で分母が72の分数を考える問題です。分母が72とあるため、8分の1は72分の9、6分の1は72分の12とします。したがって72分の9より大きく、72分の12より小さい分数を考えます。72分の9より大きく、72分の12より小さい分数は72分の10と72分の11です。このうち既約分数は72分の11となります。

　「問い2」でも分母が72の分数を扱います。72分の1から72分の71までの71個の分数の中で約分できる分数の個数を数えます。このとき、1つひとつ調べていくのもよいです（71個なら調べるとこができると思います）が、計算で求めてみましょう。まずは72と約分できるのはどのような数なのかを想像します。

　小さい方から2、3、4、6、8、9、12、18、24…と並びます。また、72＝2×2×2×3×3のため72は2の倍数や3の倍数、6の倍数でわれることがわかります。これらのことから、72分の1から72分の71までの71個の分数の中で約分できる分数は、1～71の数の中で「2の倍数または3の倍数である整数の個数」と同じことがわかります。

　1～71の数の中で2の倍数の個数は、71÷2＝35…1となり、35個となります。同様に3の倍数の個数は71÷3＝23…2となり、23個となります。2の倍数と3の倍数には共通する6の倍数があります。6の倍数の個数は、71÷6＝11…5となり、11個となります。したがって1～71の数の中で2の倍数と3の倍数の個数は35＋23－11＝47個となります。47個は約分できる個数のため、約分できない個数は71－47＝24個となります。

　「問い1」「問い2」ともに分数が題材の問題です。このような問題では「学び1」で習ったように初めに「具体的に考えてみる」「書き出して調べてみる」ことが大切です。そこから、素因数分解、約分、通分という手段を使って、約数や倍数という抽象的な数の考え方に置き換えてか考えることが重要です。効率を優先して「具体的に考えてみる」「書き出して調べてみる」という作業を怠ると応用がきかなくなります。

　「学び5」では最大公約数と最小公倍数のつながりについて確認します。ある整数Ａ、Ｂとこれらの最大公約数をＧ、最小公倍数をＬとすると、Ａ×Ｂ＝Ｇ×Ｌという式が成り立ちます（公式を導くプロセスはステージⅣ・本科教室答え6年46ページをごらんください）。

　ここではこの関係を使って問題を解いてみましょう。18ページ「学んだことを使う」を見てみましょう。2つの整数40とＡの最大公約数は8で、最小公倍数は240とあります。Ａを求めてみましょう。先ほどの式を参考にすると40×Ａ＝8×240という式が成り立ちます。逆算の考え方を利用してＡ＝8×240÷40＝48となり、整数Ａは48とわかります。

　演習としては19ページから23ページは必修です。 26ページ問4は具体的に数を決めて取りかかるとよいでしょう。電車やバスの本数と発車間隔の数の関係に注意しましょう。27ページの問6はベン図のが表す数を意識しながら取り組みましょう。問7は書き出しながらかんがえることが基本ですが、素因数分解をするとどのような形になるかを考えることができるとさらによいでしょう。

　28ページの問9では①は計算して求めますが、それ以外は計算せずに整数の積の形のままで考えるとよいでしょう。②はわり算を分数で表すとうまくいきます。問10は連除法や「学び5」で習ったことを参考にしましょう。

＜算数 本科教室 5年生 ステージⅢ　第19回＞

　第19回のテーマは「数と計算　整数の性質①　～約数と公約数～」です。今回の内容は「約数と公約数」「素数と素因数分解」「最大公約数」です。数の性質を学んでいきますが、実際の入試問題では、約数や公約数について直接問われることは稀です。

　入試問題では問題文を読み進めていく過程で、書き出して調べていくことで結果的に約数や公約数にたどり着くことになります。このため、今回は書いて調べることを意識していきましょう。

【対策ポイント】

　「学び1」では約数について学びます。約数とはある整数を割り切ることができる数のことをいいます。

　例えば6の約数を探してみましょう。6÷1＝6のため、1は6を割り切ることができます。したがって、1は6の約数です。同じように。6÷2＝3のため、2は6を割り切ることができます。したがって、2は6の約数です。このように割り切れる数を順に調べていく方法があります。

　違う見方をしてみましょう。6＝2×3と表すことができます。このことから、6は2や3で割り切れることがわかります。つまり、6の約数を探すとき、かけて6になる整数の組み合わせを考えればよいことがわかります。かけて6になる整数は、1×6、2×3です。このことから、6の約数は1、2、3、6となります。かけ算を使って探すことで、正確にすべての約数を調べることができます。

　「学び2」では素数について学びます。素数とは約数が「1」と「その数自身」の2個しかない整数です。例えば2は約数が1と2の2個しかないため素数です。3は約数が1と3の2個しかないため素数です。ここで気をつけたいのは1の約数は1だけで1個しかないため素数ではないことです。10ページを参考にして小さい順に素数を探してみましょう。

　次に素因数分解について説明します。素因数分解とは整数を素数だけの積で表すことです。例えば6＝2×3です。2も3も素数のため、6を素因数分解すると2×3となります。60を素因数分解すると2×2×3×5となります。11ページに説明のある「連除法（すだれ算）」と合わせて確認しておきましょう。

　「学び3」では公約数と最大公約数について学びます。2つ以上の整数に共通する約数を公約数といいます。また、公約数の中で1番大きい数を最大公約数といいます。

　12ページを見てみましょう。12の約数と18の約数が書かれています。12と18の公約数は1、2、3、6です（テキストに印をつけてみましょう）。また、最大公約数は6です。公約数はすべて最大公約数の約数であることも覚えておきましょう。

　次に最大公約数を計算で求める方法を紹介します。14ページを見てみましょう。36と48の最大公約数を求めます。上段の左側を見てみると、36と48を「連除法」で表した図があります。書き方を説明します。

　はじめに36と48を横に並べて書きます（書く順番は関係ありません）。次に36と48に共通する素数でわります。わった答えを次の行に書きます。この操作をわれなくなるまで行います。左側に並んだ数をかけると最大公約数になります。実際に36と48の倍数をそれぞれ書き出し、調べてみましょう。公約数は最大公約数の約数であることを利用すれば公約数も計算で出すことができます。3つの整数の最大公約数も同じようにして計算します（14ページ上段右側）。

　演習としては15ページから16ページは必修です。18ページ以降もできる限り挑戦してみましょう。18ページの問1は余りがあることに注意しましょう 20ページの問5は計算をする前に与えられたかけ算の式をよく調べてみましょう。問6は書き出して考えてみると決まりが見つかるかもしれません。21ページの問7は入試問題でもよく見られる形式です。記号の表す意味をよく考えながら取り組みましょう。

＜算数 本科教室 4年生 ステージⅡ　第1回＞

　第1回のテーマは「数と計算　数と量」です。今回の内容は「数を分解する」「助数詞を使って表す量とはかってとらえる量」「線分図の書き方」「かけ算の筆算」です。「助数詞を使って表す量とはかってとらえる量」では単位について考えていきます。

　単位を意識することは算数を学ぶにあたりとても重要なことですが、重要な理由を学ぶ機会はなかなかありません。今回は単位を分類し比較しながら考えていきます。

　「線分図の書き方」では線分図の書き方の基本を学びます。単位や線分図はその本質を理解することで今後の算数の学習が大きく変わります。じっくり取り組みましょう。

　「学び1」では数を分解してみましょう。ここでは好きな数をたし算を使って表したり、かけ算を使って表したりしていきます。この作業を分解といいます。例えば5をたし算を使って分解すると次のようになります。

5＝1＋4
5＝2＋3
5＝3＋2
5＝1＋2＋2
5＝1＋1＋1＋1＋1など

　次に5をかけ算を使って分解すると次のようになります。

5＝1×5 など

　5を分解する場合、たし算で分解するとたくさんの例が見つかりますが、かけ算で分解するとなかなか例が見つからないことが体験できます。将来的にはこの作業が数列や約数•倍数などの単元で役立ちます。ここでは、自由に分解を楽しむことが目的です。例えば「5＝2＋3」と「5＝3＋2」は同じなのか違うのか、小数や分数を使ってよいのかなど、表し方に迷いが生じる場合もあると思います。

　ここではある一定のルールを設けるのではなく、自由な発想でいろいろな分解を考えてみましょう。8ページから9ページの「やってみよう！」にある6、9、11、12の分解に挑戦してみましょう。なるべくたくさん書き出してみましょう。

　「学び2」では「量」について考えます。数に単位をつけたものを量といいます。量には助数詞を使って表す量とはかってとらえる量があります。助数詞を使って表す量は人がものを数えるときの量です。

　例えばえんぴつを数えるときは1本、2本と数えます。また、紙を数えるときは1枚、2枚と数えます。また、はかってとらえる量は道具を使って測る量です。たとえば水の量を測るときには計量カップやメスシリンダーを使い、200mlや1Ｌと表します。ものの長さを測るときには定規や巻尺を使い、10cmや5mと表します。

　この他に時計で測る時間や温度計で測る気温や水温、体重計やばねはかりで測る重さがあります。11ページにある量の仲間分けを見て、他にどのような量があるのか探してみましょう。見つかったら「助数詞を使って表す量」と「はかってとらえる量」のどちらに当てはまるのかを考えて、書き込んでみましょう。

　助数詞を使って表す量の和を考えるときには主語が重要です。13ページの冷蔵庫の中のりんごとみかんの量について考えてみましょう。2人の子どもの会話について説明します。はじめの「りんごが2個とみかんが3個ある」は確かにその通りです。

　次の「くだものが5個ある」はりんごもみかんもくだもののため、この表現も正しいです。このように助数詞を使って表す量の和を考える場合、主語が表す言葉が同じ種類のものどうしであれば和で表すことができます。

　では、「本が2冊とみかんが3個ある」はどのような主語にすれば和を考えることができるでしょう？また、そのときの助数詞は何を使えばよいでしょう。日常会話では主語に対する助数詞の使い方はあまり敏感に考えないこともありますが、算数では単位が何かということはとても重要です。したがって、ここでは主語と助数詞に目を向けたとき、しっくりくる場合としっくりこない（違和感がある）場合を体験できればよいでしょう。

　次にはかってとらえる量の和について考えてみましょう。はかってとらえる量をの和を考えるときには単位が重要です。14ページの「やってみよう！」を見てみましょう。2mと3cmの和は、2mは200cmであることを使って、200cmと3cmの和と考えて200+3=203cmとします。このようにはかってとらえる量の和を考えるときには、単位をそろえて和を考えていきます。

　「学び3」では線分図のかき方について説明します。15ページの真ん中の「Ａさんがかいた図」を見てみましょう。この図はある中学校の生徒数をまとめたものです。

　線分図は普通、線を横に引いて書き、量を線の長さで表していきます。はじめに上の線分図を説明します。

　上の線分図は学年の人数をまとめたもので、線分図の左側に「学年」とかいてあります。この線分図は左から161人（1年生）、162人（2年生）、158人（3年生）の人数を整理したものです。このとき、線の長さと人数の多少が対応するようにかきます。つまり161人よりも162人の方が多いため162人の方を長くかきます。

　しかし、この場合、1年生の161人と2年生の162人の差は162－161＝1人のため、同じくらいの長さになっています。3年生の158人についても1年生、2年生と比べてあまり差がないため、同じくらいの長さになっています。学年の線分図をあらためて見てみると線分図の左端から右端までの長さは161＋162＋158＝481人となり、これは中学校の1年生から3年生までの合計の人数を表しています。学年の線分図の左端から右端を結んで481人とかき込みましょう。

　次に下の線分図を説明します。下の線分図は男女の人数をまとめたもので、線分図の左側に「男女」と書いてあります。1年生から3年生までの学年の人数の合計と中学校の男子と女子の人数の合計は同じため学年の線分図と男女の線分図の長さを同じにします。

　この線分図は左には249人（男子）と書いてあります。女子の人数は文章中にはないため書いていません。ここで学年の線分図を見ると中学校の1年生から3年生までの合計の人数（全生徒数）は481人のため、女子の人数は全生徒数から男子の数を取り除いて481－249＝232人となります。線分図の女子と書いてある上の部分に232人と書き込みましょう。

　線分図をかくときにはその線分図が何を表したものかをかきます。そして、線分図の部分部分の量は何の大きさ（内容）を表したものか、量と内容を対応させてかきます。このとき、長さは量に対応させて大きい量は長く、小さい量は短くかきます。16ページの「やってみよう！」を使って線分図をかいてみましょう。

　「学び4」ではかけ算の筆算について説明します。123×456は、123×400＝49200と123×50＝6150と123×6＝738の和と等しくなります。このことを縦に書いて表すと18ページの筆算になります。

　右下の筆算の説明をします。筆算でははじめに123×6を行います。123×6＝738のため456の「6」の下に738の1の位の8をそろえて書きます。次に123×50を行います。123×50＝6150のため、456の「6」の下に6150の1の位の0をそろえて書きます。

　次に123×400を行います。123×400＝49200のため、456の「6」の下に49200の1の位の0をそろえて書きます。最後に縦に並んだ738、6150、49200の和を求め1番下に書いたものが答えです。普通は18ページの真ん中にあるように123×50＝6150の1の位の0（ゼロ）や123×400＝49200の1の位と10の位の0（ゼロ）は省略して書きます。

　また、かけ算やたし算の過程で繰り上がりがある場合は、書き込んでおくとミスを防ぐことができます。このあと19ページの「学んだことを使う」をやってみましょう。

　演習としては20ページから22ページは必修です。21ページの問4は問題文に書かれた情報を言葉の式で表します。数字だけの式ではなく言葉の式で表すとその問題を本質的に理解しているかがわかります。また、22ページの問6は意味がある図を選ぶ問題です。単に正解を選ぶだけではなく、選ばなかった図のどこに違和感があるのか、正しい図がしっくりくる理由などを話し合うとよいでしょう。

　これらの問題はこの時期だからこそできる問題です。今のうちに文章題や図について本質的な理解を深めておきましょう。そうすることで算数の基本的な考え方が身につきます。後半は23ページの問1、問2、24ページの問3、25ページの問4に取り組んでみましょう。

　われわれ中学受験鉄人会のプロ家庭教師は、常に100％合格を胸に日々研鑽しております。ぜひ、大切なお子さんの合格の為にプロ家庭教師をご指名ください。