メールマガジン宝箱 Mail magazine

＜日能研4年生の皆様へ＞

　プロ家庭教師の10分の1以下の料金で、筑駒出身講師と元日能研講師が、あなた専属の家庭学習コーチに。
　日能研4年生の毎週の復習から育成テスト対策まで伴走します。
　もっと詳しく知りたい方はぜひこちらをご覧ください。

＜算数 本科教室 6年生 ステージⅤ 第4回＞

　第4回のテーマは「平面図形Ⅶ」です。今回は「底辺比と面積比」「面積比の計算」「相似と面積比」「相似図形の発見」の確認をしていきます。平面図形の面積や辺の長さに関する問題はほとんどすべての学校で出題されるといっても過言ではないでしょう。

　今回は「底辺や高さが共通な三角形」「ピラミッド型や砂時計型のような相似形」の使い分けがポイントです。この2つの考え方を混同しないように、図形を見極めていきましょう。補助線を入れなければ解けない問題も、これらの図形ができるように作図します。

　文章題を学んだときと同様になりますが、問題が複雑になっても大切なのは「基本形」です。ベースとなる考え方をしっかりと確認して身に付けていきましょう。

　栄冠への道のチェックポイント〔ステージⅤ　第4回　平面図形Ⅶ〕を使って重要事項の確認をしていきましょう。

　13ページの「1．底辺比と面積比」では、高さが等しい2つの三角形の面積比は、底辺の長さの比に等しくなることを使って、問題を考えていきましょう。

　13ページの上の（例）を見てみましょう。図のように、台形を直線で2つの部分に分けました。アとイの面積比を求めてみましょう。台形の上底は6＋3＝9㎝、下底は5＋10＝15㎝で、上底と下底は平行です。ここで、アとイの面積比を求めるために、アとイをそれぞれ三角形に分けてみます。13ページの上の（考え方）にある図がその様子です。アの部分を三角形ウと三角形エに、イの部分を三角形オと三角形カに分けました。これらの三角形の高さはすべて台形の高さと同じため、三角形ウ、エ、オ、カの面積比は底辺の比と等しくなります。つまり、三角形ウ、エ、オ、カの面積比は、5：6：１：3となります。

　アの部分の面積はウとエの和であり、イの部分の面積はオとカの和であることから、アとイの面積比は、(5＋6)：(10＋3)＝11：13となります。面積比を求めるときに、高さの同じ三角形に分けることは基本中の基本の考え方です。

　次の「2.面積比の計算」でも同じ考え方を使って考えてみましょう。

　13ページの下の（例）を見てみましょう。はじめに問題文にある辺の比をすべて書きこみましょう。
図は三角形ABCを直線DE、EF、FDで4つの三角形に分けたものです。それぞれの三角形が三角形ABCの何分のいくつか求めてみましょう。

●三角形ADFについて

　三角形ADFを考えるときにはBとFを直線で結びます。すると三角形ADFと高さの同じ三角形DBFが現れます。このように補助線を引くときには、面積比を求めたい三角形（三角形ADF）と高さの同じ三角形を作るようにします。

　三角形ADFと三角形DBFは、三角形ADFの底辺をAD、三角形DBFの底辺をDBとすると高さの同じ三角形であることがわかります。したがって、三角形ADFと三角形DBFの面積比はそれぞれの三角形の底辺の比と同じで、1：1となります。三角形ADFのところに面積比を表す1、三角形DBFのところに面積比を表す1を書きこみましょう。

　次に三角形ABFと三角形CBFの面積比について考えます。三角形ABFと三角形CBFは、三角形ABFの底辺をAF、三角形CBFの底辺をCFとすると高さの同じ三角形であることがわかります。したがって、三角形ABFと三角形CBFの面積比はそれぞれの三角形の底辺の比と同じで、2：3となります

　ここで、三角形ABFの面積比は、三角形ADFと三角形DBFの面積比の和で、それぞれの面積比が1のため、1＋1＝2となります。このことから、三角形ADFと三角形DBFと三角形BCFの面積比は1：1：3となります。したがって、三角形ABCの面積比は三角形ADFと三角形DBFと三角形BCFの面積比の和で、1＋1＋3＝5となります。このことから三角形ADFは三角形ABCの1/5であることがわかります。

●三角形DBEについて
（※補助線の引き方が変わるため、図をはじめから書き直しましょう）

　三角形DBEを考えるときにはCとDを直線で結びます。すると三角形DBEと高さの同じ三角形DECが現れます。

　三角形DBEと三角形DECは、三角形DBEの底辺をBE、三角形DECの底辺をECとすると高さの同じ三角形であることがわかります。したがって、三角形DBEと三角形DECの面積比はそれぞれの三角形の底辺の比と同じで、2：1となります。三角形DBEのところに面積比を表す2、三角形DECのところに面積比を表す1を書きこみましょう。

　次に三角形CBDと三角形CADの面積比について考えます。

　三角形CBDと三角形CADは、三角形CBDの底辺をBD、三角形CADの底辺をADとすると高さの同じ三角形であることがわかります。したがって、三角形CBDと三角形CADの面積比はそれぞれの三角形の底辺の比と同じで、1：1となります

　ここで、三角形CBDの面積比は、三角形DBEと三角形DECの面積比の和で、それぞれの面積比が2と1のため、2＋1＝3となります。また、三角形CBDと三角形CADの面積比は1:1のため、三角形CADの面積比を3とします。

　このことから、三角形DBEと三角形DECと三角形CADの面積比は2：1：3となります。したがって、三角形ABCの面積比は三角形DBEと三角形DECと三角形CADの面積比の和で、2＋1＋3＝6となります。このことから三角形DBEは三角形ABCの2/6=1/3であることがわかります。

●三角形FCEについて
（※補助線の引き方が変わるため、図をはじめから書き直しましょう）

　三角形FCEを考えるときにはBとFを直線で結びます。すると三角形FCEと高さの同じ三角形FBEが現れます。

　三角形FCEと三角形FBEは、三角形FCEの底辺をCE、三角形FBEの底辺をBEとすると高さの同じ三角形であることがわかります。したがって、三角形FCEと三角形FBEの面積比はそれぞれの三角形の底辺の比と同じで、1：2となります。三角形FCEのところに面積比を表す1、三角形FBEのところに面積比を表す2を書きこみましょう。

　次に三角形BCFと三角形BAFの面積比について考えます。

　三角形BCFと三角形BAFは、三角形BCFの底辺をCF、三角形BAFの底辺をAFとすると高さの同じ三角形であることがわかります。したがって、三角形BCFと三角形BAFの面積比はそれぞれの三角形の底辺の比と同じで、3：2となります。

　ここで、三角形BCFの面積比は、三角形FCEと三角形FBEの面積比の和で、それぞれの面積比が1と2のため、1＋2＝3となります。

　このことから、三角形FCEと三角形FBEと三角形BAFの面積比は1：2：2となります。したがって、三角形ABCの面積比は三角形FCEと三角形FBEと三角形BAFの面積比の和で、1＋2＋2＝5となります。このことから三角形FCEは三角形ABCの1/5であることがわかります。

●三角形DEFにつて

　三角形DEFの面積が三角形ABCの面積の何分のいくつかは、三角形ABCの面積をから三角形ADFと三角形DBEと三角形FCEの面積をとり除くことで求めることができます。三角形ABCの面積を1としたときに、三角形ADFの面積が1/5、三角形DBEが1/3、三角形FCEの面積が1/5であることから、三角形DEFの面積は、1－(1/5＋1/3＋1/5)＝1－(3/15＋5/15＋3/15)＝1－11/15＝4/15となります。

　14ページの「3. 相似比と面積比」では相似比と面積比の関係を確認していきます。2つの図形が相似で、その相似比がa：bである場合、その面積比は（a×a）：（b×b）となります。

　14ページの真ん中の（例） を使って考えてみましょう。(1)、(2)ともピラミッド型の図形です。ピラミッド型の図形で相似を考える場合は大きい三角形と小さい三角形をイメージすることが重要です。はじめに（1）の図形について考えてみましょう。図のアの部分は小さい三角形で、底辺の長さは6cmです。

　また、アとイを合わせた三角形は大きい三角形で、底辺の長さは8cmです。このことから、アの部分（小さい三角形）とアとイを合わせた部分（大きい三角形）の相似比は、6：8＝3：4となります。

　したがって、アの部分（小さい三角形）とアとイを合わせた部分（大きい三角形）の面積比は、(3×3)：(4×4)＝9：16となります。イの部分の面積比は、大きい三角形の面積（アの面積とイの面積の和）から小さい三角形の面積（アの面積）を取り除くことで求めることができるため、16－9＝7となります。したがって、アとイの面積比は9：7となります。

　次に（2）です。小さい三角形（図のアの部分）の高さは4cmで、大きい三角形（図のアとイを合わせた部分）の高さは4＋3＝7cmです。したがって、小さい三角形と大きい三角形（図のアとイを合わせた部分）の相似比は4：7となります。このことから、小さい三角形と大きい三角形の面積比は、（4×4）：（7×7）＝16：49となります。

　イの部分の面積比は、大きい三角形の面積（アの面積とイの面積の和）から小さい三角形の面積（アの面積）を取り除くことで求めることができるため、49－16＝33となります。したがって、アとイの面積比は16：33となります。

　14ページの「4．相似図形の発見」では、図の中の相似な図形を見つけて、活用していく方法について確認します。14ページの下の（例）を見てみましょう。

　三角形ABC、DBCはともに直角三角形で、EFとBCは直角に交わっています。AB、EF、DCはそれぞれ同位角が同じため、平行です。ここで相似な図形を見つけてみましょう。はじめに、三角形ABEと三角形CDEは相似です（砂時計型）。相似比はAB：CD＝60：40＝3：2です。このことから、BE：ED＝3:2ということがわかります（図のBEの長さに③、EDの長さに②と書きこみましょう）。

　次に、三角形BCDと三角形BFEは相似です（ピラミッド型）。相似比はBD：BE＝(3＋2）：3＝5：3です。このことから、DC：EF＝5：3となることがわかります。図のDCの長さに⑤、EFの長さに③と書きこみましょう。すると、DCの長さは40㎝のため、⑤＝40㎝ということがわかります。このことから①＝40÷5=8となり、③＝8×3＝24となります。

　つまり、EFの長さは24㎝であることがわかります。このように、辺の長さを求めるときは、図の中に相似な三角形（ピラミッド型や砂時計型）を見つけて、使っていくとよいでしょう。必ず、相似比を書きこみながら考えていきましょう。

【合格への10題（合格力完成教室 ステージⅤより）】

　44ページから47ページの演習1～演習4は必修です。その他に絶対やって欲しい合格への10題は以下の通りです。

①48ページの問1
②48ページの問2
③48ページの問3
④48ページの問4
⑤49ページの問6
⑥49ページの問7
⑦49ページの問8
⑧50ページの問9
⑨51ページの問14
⑩51ページの問15

　本科テキストの例題1～例題4で学んだことを使って取り組みましょう。このとき図への書き込みはとても重要です。ミスをしないように、丁寧に書いていきましょう。また、余裕があれば、52ページの問18、問20、問21、54ページの問26にも取り組んでみましょう。

【合格への10題（合格力完成教室 ステージⅤ難問より）】

　演習としては62ページから67ページの知識技術重点問題は必修です。第3回に引き続き、今回も典型的な問題で練習したい場合は知識技術重点問題だけでも良いでしょう。次に68ページ以降の運用力重点問題で、取り組んでおいた方がよい問題を挙げます。

①68ページの問1
②68ページの問3
③69ページの問4
④70ページの問6
⑤70ページの問7
⑥71ページの問12
⑦72ページの問16
⑧73ページの問19
⑨74ページの問23
⑩76ページの問27

　68ページの問3、69ページの問4、70ページの問6、問7、72ページの問16は辺の長さの比などから面積を求めていく問題です。68ページの問1、71ページの問12、76ページの問27は面積や相似の考え方を使って辺の長さや比を求める問題です。74ページの問23は作図をして考えてみましょう。

　作図をしたり、補助線を引いたりするときには、やみくもに書くのではなく、その目的を明確にしてから、線や図を書くようにしましょう。難問であっても、使う技術は基本的なものです。問題と向き合うときには、基本の考え方を使うよう心がけましょう。

＜算数 本科教室 5年生 ステージⅣ 第3回＞

　第3回のテーマは「規則性　周期とあまり・等差数列」です。入試でも基本的な問題から難問まで幅広く出題される単元です。今回は等差数列と周期算を扱います。差を調べたり、周期を調べたりしながら区別をつけるようにしましょう。

　はじめは少し面倒ですがある程度まで書きながら調べることが重要です。はじめから公式に頼ってしまうと、自分で考えずに計算だけをしていくことになり、誤りを見つけられないことも多々あります。まずは調べることが基本でその延長線上に公式があるとお考え下さい。

【対策ポイント】

　「学び1」は周期算です。周期算では周期（繰り返し）ごとに印をつけていくことが重要です。48ページの「やってみよう！」の例を使って説明すると、数列が3,1,5,6の繰り返しになっていますから、これが周期となります。1つの周期に並ぶ数字の個数は4個です。したがって、11番目の数は11÷4＝2あまり3から3,1,5,6の並びの3番目の5となります。つまり、◯番目の数を求める場合、◯を周期でわって、あまりを出せばよいことがわかります。

　また、◯番目までの数の和を求める場合は周期ごとに和を求め、その和に周期の数をかけてあまりの部分はたします。周期算は入試でもよく出題されるので、◯番目の数を求める方法と◯番目までの数の和を求める方法は必ず身につけましょう。

　「学び2」では等差数列の□番目の数について学習します。等差数列とは隣り合う数の差が等しい数列のことを指します。初めの数を「初項」、差を「公差」といいます。ここでは等差数列の□番目を出す練習をします。

　49ページにあるように「等差数列の□番目の数＝初項＋公差×(□－1）」となります。理屈は授業で説明を受けることとして、公式は必ず覚えましょう。「やってみよう！」だけでは演習量がたりないので、後にあげる問題も取り組んでみてください。

　「学び3」では等差数列の和を考えます。テキストの50ページには公式の元となる考え方が載っています。プロセスも重要ですが、「等差数列の和＝(初項＋最後の数)×個数÷2」の式で表されることを暗記することはさらに重要です。

　これを使って1から10までの和を求める計算をやってみましょう。公式の効率のよさを実感できると思います。また1から10までをたすと55になることはいろいろな問題を解くときの目安となることが多いため暗記してしまうとよいでしょう。

　「学び4」では図形と数列を結びつけていきます。ここでは「上の図形から数列を見つけ出してみましょう」というざっくりとした問いかけで何をしてよいのかわからないかもしれません。このような時は図形の性質を考えていきます。

　扱われている図形は正方形ですから辺や頂点に目を向けます。こうすると正方形の個数以外に辺（棒）の数、周りの長さ、頂点の数のようにいろいろな視点が見つかります。それぞれについて数えて数列を作ってみましょう。また、作った数列の規則性を調べてみましょう。このように図形を使った問題では数列に書き換える作業がとても重要です。

　演習としては53ページから55ページまでは必修です。問1～問6までありますが、どの問題も入試問題の序盤で問われるような問題です。繰り返しになりますが差を書き込んだり、周期ごとに区切ったりと作業をしながら取り組んでください。54ページの問4は「学び2」で学習した等差数列の□番目の数に関する問題です。ぜひ取り組んでみてください。

　また、59ページ以降、今回はたくさんの問題があります。59ページ問1から62ページ問9までは標準的な問題です。63ページ問10から66ページ問15までは応用問題です。理解状況に合わせてやる問題を選定されるとよいでしょう。

　前半の標準的な問題では60ページの問4のカレンダーの問題、60ページの問6、問7のご石の問題は入試でもよく出題されます。応用問題では63ページの問11の行列の問題、64ページの問12の分数を使った規則性の問題に触れておくとよいでしょう。

＜算数 本科教室 4年生 ステージⅢ 第3回＞

　第3回のテーマは「数と計算　小数の計算3　～わり切れないわり算～」です。わり切れない小数のわり算では「商を少数第何位かまで求め、商を丸める」「商を整数や小数第何位かまで求め、あまりを出す」ことをしていきます。

　計算する上で重要なのは商を丸める場合の位取りと、あまりを出すときの小数点の位置です。特にあまりを出すひっ算では小数点の位置が大切です。第2回でも学んだように小数点の位置をずらして考えますが、あまりを出す場合はもとの小数点の位置がポイントです。したがってひっ算を書く時にももとの小数点の位置が分かるように書くようにします。第2回で学んだ「わり切れるわり算」以上に丁寧なひっ算が求められます。

【対策ポイント】

　「学び1」はわり切れないわり算の導入です。第2回で学んだひっ算の方法を使って1.6÷3を実際にやってみましょう。無限に続く計算を体感できると思います。わり切れない場合、39ページにも書いてあるように計算を途中でやめて、四捨五入したり、あまりをだしたりの対応をしていきます。ここでは1.2÷9など、わり切れない計算をしたり、わり切れない計算を考えたりして今回の学びの準備をしましょう。

　「学び2」では小数のわり算のあまりを考えていきます。実際には4.5cm÷0.7cmの計算を行います。このとき、単位をmmにして45mm÷7mm＝6本あまり3mmとします。このことをもとに考えると4.5cm÷0.7cm＝6本あまり0.3cmとなります。単位に目を向けると6本はそのままで、残りのmmからcmにするために小数点をつけることがわかります。

　基本的には第2回で学んだひっ算の方法を踏襲するのですが、あまりを出すときはもともとあった小数点の位置にあまりの小数点をつけることになります。あまりのある小数の計算のあまりの小数点の位置はわられる数のもとの小数点の位置であることをおさえておきましょう。

　「学び3」では商を丸める方法を学びます。簡単に言うと、わり切れない小数のわり算を途中でやめます。商を整数で求めなさいと言う場合は小数第一位まで計算して四捨五入しなさい、ということになります。また、商を小数第二位まで求めなさいという場合は小数第三位まで計算して四捨五入しなさいということになります。

　求める桁のもう一つ先まで計算することがわかればよいでしょう。また、42ページ〈約束〉にあるように商が3.999…となるような場合、小数第一位まで求めるときは4.0と0を書くこともおさえたいポイントです。

　われわれ中学受験鉄人会のプロ家庭教師は、常に100％合格を胸に日々研鑽しております。ぜひ、大切なお子さんの合格の為にプロ家庭教師をご指名ください。