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グノーブル GnoRev実力確認テスト
算数予想問題
第15回は『総合』です。基本問題の中で、注意すべき問題を取り上げます。その他の問題については、第11回から第14回までの基本が理解できているか、確認しましょう。なお、分数は、分子/分母の形で表します。
総合回は、弱点の見直しのチャンスです。苦手な分野を基本から見直すことを心がけて進んでいきましょう。
ニュートン算です。第11回で述べましたように、整頓公式 [(減少量－増加量)×時間＝はじめの量] の形で整頓して進めましょう。
減少量(ポンプ1台でくみ出す量)＝□L/分、増加量(流れ込む量)＝2L/分、はじめの量＝350Lですので、
(1) (□－2)×50(分)＝350(L) より、□＝350÷50＋2＝9、よって、ポンプ1台で、毎分9Lの割合で水をくみ出します。
(2) (1)の結果、(9×3－2)×□分＝350 より、□＝350÷25＝14、よって、水そうは、14分で空になります。
仕切り板のある容器に水を入れる問題で、グラフの数値を読み取って考えます。予習シリーズ別冊(解答と解説)66ページにある容器の正面図を参照してください。
水の入れ方は一定ですから、時間比＝水の体積比です。また、容器の奥行きは同じですから、体積比＝(容器正面図の)面積比です。
また、正面図のア(仕切り板の高さまでのAの部分)とイ(仕切り板の高さまでのBの部分)は、高さが等しいので、面積比＝横の長さ比です。正面図のウ(仕切り板の高さより上の部分)と(ア＋イ)は、横の長さが等しいので、面積比＝高さの比です。
ここまでの整頓をよく理解してください。
グラフより、アに水がたまるのは9分、イに水がたまるのは(21－9＝)12分ですから、横の長さの比は、ア：イ＝9：12＝3：4です。よって、3：4＝30：ⅹ より、ｘ＝4×30÷3＝40(cm) です。グラフより、高さの比は、ウ：(ア＋イ)＝(30－14)：14＝8：7です。よって、8：7＝(y－21)：21 より、y－21＝8×21÷7＝24、y＝24＋21＝45(分) です。
整数についてのいろいろな応用問題です。
(1) 約数の個数が3個である2けたの整数を求めます。約数の個数が3の整数は、素因数分解すると、(素数をaとして) a×aとなる、平方数と呼ばれる整数です。2×2＝4と、3×3＝9は、1けたですので、あてはまりません。よって、5×5＝25、7×7＝＝49 より、25と49です(次は、11×11＝121で3けた)。
(2) 最大公約数＝12 より、A＝12×□、48＝12×4 で、最小公倍数720 より、12×□×4＝720 となる□を考えます。□＝720÷4÷12＝15 ですので、A＝12×15＝180 です。
(3) 1×2×…×7×8＝Aとして、この整数を素因数分解したときに、素数2が何個入っているかで、わり切れる回数が決まります。2の倍数は、{2,4,6,8}で、この中に素数2は、2に1個、4に2個、6に1個、8に3個入っていますので、1＋2＋1＋3＝7個ありますので、7回はわり切れます。よって、7＋1＝8 より、8回目ではじめて商が整数でなくなります。
商が整数でなくなる回数を問われていますので、7回としないよう注意してください。
切断の問題です。予習シリーズ別冊(解答と解説)68ページの図を参照してください。予習シリーズ第14回にある、切断ルールをマスターしましょう。
(1) PとQ、RとPはそれぞれ同じ平面にあるので結ぶことができます。(左側面)面AEHDと(右側面)面BFGCは平行な面ですので、切断面の線RPとSQは平行線になります。この直方体を透明な直方体として、右側面から見ると、2本の平行線RPとSQは、EP－FQ＝4－3＝1cmの幅ではなれていますので、DRとCSも1cmはなれています。よって、CS＝1＋1＝2 より、GS＝10－2＝8cmです。
(2) 頂点Fをふくむ立体は、切断面が平行四辺形になっています。予習シリーズ155ページ(第14回)の例題4で学習した内容を確認してください。底面EFGHで、高さが4本とも異なりますが、向かい合っている高さの和を高さとする直方体を考えて、2等分します。
よって、EP＋GS＝4＋8＝12cmを高さと考え、5×6×12÷2＝180 より、体積は180立方cmです。
第15回は『総合』です。基本問題において第11回から第14回までの基本が理解できているか、確認しましょう。
総合回は、弱点の見直しのチャンスです。苦手な分野を基本から見直すことを心がけて進んでいきましょう。
円柱の体積と表面積を求める問題です。底面積である円の面積を求めておきます。5×5×3.14＝25×3.14です。
(1) 「円柱の体積＝底面積×高さ」
25×3.14×2＝50×3.14＝157 より、円柱の体積は157立方cmです。
(2) 「表面積＝底面積×2＋側面積」また、「側面積＝底面一周×高さ」
底面積×2＝25×3.14×2＝50×3.14
側面積＝(5×2×3.14)×2＝20×3.14
よって、(50＋20)×3.14＝70×3.14＝219.8 より、円柱の表面積は、219.8平方cmです。
3種類の消去算の問題です。
(a) あんパン1個とメロンパン1個を買うと320円です。
(b) あんパン1個とジャムパン1個を買うと270円です。
(c) メロンパン1個とジャムパン1個を買うと330円です。
この3通りのセットをすべて合わせた、(a＋b＋c)の式で表されるのは、あんパン、メロンパン、ジャムパンを2個ずつ買うことになり、320＋270＋330＝920円になります。3種類のパンを2個ずつ買うと920円になりますので、1個ずつ買うと、920÷2＝460円になります。この460円から、(c) のセットをのぞくと、あんパンが残ります。つまり、460－330＝130 より、あんパン1個は130円となります。
同様に進めますと、(b) のセットをのぞいて、460－270＝190 より、メロンパン1個は190円、(a) のセットをのぞいて、460－320＝140 より、ジャムパン1個は140円です。
あかりさんとお兄さんの進み方から、道のりや速さを考える問題です。
(1) あかりさんの進んだ時間を考え、[速さ×時間＝道のり]を計算します。午前10時30分に家を出て、午前10時55分に駅に着きましたので、10時55分－10時30分＝25分が、あかりさんの進んだ時間です。また、あかりさんの歩く速さは分速60ｍです。よって、60×25＝1500 で、1500ｍ＝1.5kmより、家から駅までの道のりは1.5kmです。求める単位に注意しましょう。
(2) お兄さんは、あかりさんより4分早く駅に着いていますので、10時55分－4分＝10時51分に駅に着きました。また、10時45分に家を出ていますから、10時51分－10時45分＝6分より、家から駅まで6分かかったことがわかります。よって、1500÷6＝250 より、お兄さんの自転車の速さは、分速250ｍですが、時速で答えますので、250×60÷1000＝15 より、時速15kmとなります。
面積図を利用する平均の問題です。予習シリーズ別冊・解答と解説の55ページにある面積図を参照してください。
この図において、アの面積＝イの面積ですが、平均体重を表す部分のたての長さはわかりますが、人数を表す横の長さがわかりませんので進められません。そこで、ウの面積を両方にたした、(ア＋ウ)の面積＝(イ＋ウ)の面積として考えます。(ア＋ウ)の面積＝(28－27)×12＝12、また、4年生の人数を□人として、(イ＋ウ)の面積＝(30－27)×□＝3×□ と表されます。よって、12＝3×□ より、□＝12÷3＝4 となりますので、4年生は4人です。
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