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＜算数　6年上　第8回＞

第8回は『速さ(1)』です。円周上の旅人算と比、一般的な旅人算と比、を学習します。旅人算の基本として、反対方向に進むときは2人の速度の和を使い、同方向に進むときは2人の速度の差を使います。

【攻略ポイント1】

「必修例題1」は、円周上の旅人算と比の問題です。池1周の距離を1として始めます。1の距離を兄は20分、弟は30分で1周しますから、速度比は、兄：弟＝1/20：1/30＝3：2です。そして、この速度の比のうち兄の数を使って、池1周の距離を3×20＝60に換えます。

1. 2人が反対方向に進みますから、速度は2人の速度の和となります。60÷(3＋2)＝12より、2人がはじめて出会うのは12分後です。
2. 弟は5分で、2×5＝10の距離を進んでいます。兄が追いかけますので、速度は2人の速度の差となります。10÷(3−2)＝10より、兄が出発してから10分後です。

「必修例題2」では、反対方向に走るA君とB君が出会うのは、2人合わせて池1周分進んだときです。また、同じ方向に走るA君がB君を追いこすのは、A君がB君より池1周分多く進んだときです。池1周の距離を1として始めます。

1. 2人の速度の和：2人の速度の差＝1/6：1/24＝4：1より、和差算を利用して速度比は、A：B＝(4＋1)/2：(4−1)/2＝2.5：1.5＝5：3です。この計算の意味が曖昧な場合は、2人の速度を線分図で表して、和差算の考え方を確認しましょう。
2. 反対方向に走る場合から、池1周の距離を(5＋3)×6＝48とします。48÷5＝9.6より、9.6分です。
3. A君は9.6分ごとにスタート地点にもどります。また、B君は48÷3＝16分ごとにスタート地点にもどります。2人が同時にスタート地点にもどるのは、9.6分と16分の最小公倍数の時間です。よって、48分後です。また、48÷9.6＝5より、A君が、5周したときとわかります。

【攻略ポイント2】

「必修例題5」は、平行になっている線路と道路を、電車と自動車が走る場合の旅人算です。ここでは、時間の比から速度の比を求めて、問題を解いていきます。「15分間かくで運転されている電車」とは、電車の速度で15分間に進む距離の分だけ離れて、電車と電車が動いていることを意味しています。(1)「電車と自動車が10分ごとにすれちがう」ということは、前の電車が走っている位置にいる自動車と次の電車が、向かい合って進むときに10分ですれちがうということです。このことは、電車が(15−10＝)5分で進む距離を、自動車が10分で進むということになります。『予習シリーズ』の解き方にある図の上の方を参考にしてください。青の矢印でかかれた電車が(15−10＝)5分で進む長さと、黒の矢印でかかれた自動車が10分で進む長さが同じになります。矢印の向きが逆でも、長さとしては同じになることに気をつけてください。速度比は、同じ距離を進むのにかかる時間比の逆比ですから、電車と自動車の速度比は、1/5：1/10＝2：1です。(2)自転車の速度は、電車の速度の2/5ですから、速度比は、電車：自転車＝1：2/5＝5：2となります。電車の速度を5とすると、5×15＝75が電車と電車の間の距離です。この距離の分だけ離れた前の電車と同じ位置にいる自転車を電車が追いかけることになりますので、同方向に進む旅人算です。75÷(5−2)＝25より、自転車は電車に25分ごとに追いこされます。

＜算数　5年上　第9回＞

第9回は『差集め算』です。例えば、5人の子どもに折り紙を配る場合を考えます。2枚ずつ配る場合と、4枚ずつ配る場合では、配る折り紙の合計枚数には、10枚の差ができます。これは、子ども1人について2枚ずつの差ができて、この2枚ずつの差が5人で、10枚となります。つまり、1人についての枚数の差(1つ分の差)に人数(いくつ分)をかけると、全体の枚数の差(全体の差)を求めることができます。このように、(1つ分の差)×(いくつ分)＝(全体の差)、の仕組みを使って、解く問題を差集め算といいます。解法としては、(いくつ分)をそろえて考えます。

【攻略ポイント1】

「必修例題1」は、差集め算の基本です。リンゴ1個50円とみかん1個30円の差が(1つ分の差)です。同じ個数(いくつ分)を買ったときの、(全体の差)は、あまりの180円です。そこで、買った個数を□個として、整頓すると、(50−30)×□＝180となります。□＝180÷20＝9より、買った個数は9個です。したがって、50×9＝450より、持っていったお金は、450円でした。

「必修例題2」では、あまった枚数と不足した枚数から、全体の差を考えます。用意した折り紙を○枚とします。17枚のあまりがあると言うことは、配った枚数は、(○−17)枚です。また、9枚不足するということは、配る枚数は、(○＋9)枚です。この差が、全体の差で、(17＋9)枚とわかります。1人分の差は(7−5)枚、子どもの人数を□人として、整頓すると、(7−5)×□＝(17＋9)となります。□＝26÷2＝13より、子どもは13人います。よって、5×13＋17＝82より、折り紙は82枚あります。

「必修例題3(2)」では、カードの枚数を○枚とします。8枚ずつ配るためには、(○＋25)枚が必要で、5枚ずつ配るためには、(○＋4)枚が必要です。よって、全体の差は(25−4)枚です。子どもの人数を□人として、整頓すると、(8−5)×□＝(25−4)となります。□＝21÷3＝7より、子どもは7人います。

「必修例題4」は、不足する個数を考える問題です。かごにクリを9個ずつ入れていくと、5個しか入っていないかごが1個と、何も入っていないかごが2個できる場合、□個のかごにすべて9個ずつ入れるためには、何個不足するかを考えます。(9−5)＋9×2＝22個不足します。かごにクリを7個ずつ入れる場合にあまる16個から、全体の差は22＋16＝38個とわかります。整頓すると、(9−7)×□＝38となります。□＝38÷2＝19より、かごの個数は19個となりますので、7×19＋16＝149より、クリの個数は149個です。

【攻略ポイント2】

「必修例題5」は、(いくつ分)の数がそろっていない場合の問題です。予定した個数を□個とします。この□個に個数をそろえて、あまりの数を調整することにします。1個35円のたまごを(□＋2)個買って、50円があまりましたが、□個買ったことにすると、35×2＋50＝120円あまることになります。1個45円のたまごと1個35円のたまごをそれぞれ□個買ったときの全体の差は、120円です。整頓すると、(45−35)×□＝120となります。□＝120÷10＝12より、予定の個数は12個と求められます。45×12＝540より、持って行ったお金は、540円でした。

「必修例題6」も、(いくつ分)の数がそろっていない場合の問題です。買ったミカンの個数を、買ったリンゴの個数である8個にそろえます。ミカン1個とリンゴ1個では、15円の差がありますので、8個ずつ買ったとすると、15×8＝120円の差がでますが、これが全体の差です。また、ミカンは(11−8＝)3個分の代金があまり、リンゴは30円があまりますから、ミカン3個分の代金と30円の差が全体の差である120円に相当します。よって、(ミカン3個分の代金)−30＝120円となりますので、(120＋30)÷3＝50より、ミカンは1個50円とわかります。よって、50×11＝550より、持っているお金は、550円です。

【攻略ポイント3】

「必修例題7」は、とりちがえの問題です。例えば、50円切手を80円切手より1枚多く買う予定が、逆に80円切手を50円切手より1枚多く買ったとすると、とりちがえにより、80−50＝30円高くなります。予定の代金より、実際の代金が180円高くなるのは、180÷(80−50)＝6より、6枚分をとりちがえたからとわかります。また、とりちがえた結果、代金が高くなるということは、もともとは50円切手を80円切手より多く買う予定だったことになります。合わせて20枚買いますので、和差算で、(20＋6)÷2＝13より、50円切手を13枚買う予定でした。

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