＜算数 6年上 第14回＞
第14回は『総合(第10回〜第13回)』です。
【攻略ポイント1】
「基本問題1(4)」は、等差数列の和の問題ですが、奇数の数列は、等差数列とは別の公式がありますので、確認しておきましょう。N番目の奇数は、(N×2−1)で求められます。よって、N×2−1＝19を逆算して、N＝(19＋1)÷2＝10より、19は10番目の奇数です。1からN番目までの奇数の和は、(N×N)で求められます。この公式を覚えておくと、問題を解くスピードが格段に上がります。この問題では、10×10＝100より、答えは100です。
「基本問題1(6)」は、直角三角形ABCを、頂点Cを中心に回転移動した問題です。辺ACと辺DEとの交点をPとして、三角形DCPにおいて、角χ(＝角DPC)を考えます。角Dは、角Aが移動した角ですので、31度とわかりますので、角DCPの大きさがわかれば、角χは求められます。角DCP＝90−角ACE＝角BCEです。ここで、三角形BCEは辺BC＝辺ECの二等辺三角形ですので、角BCEは、(180−角B×2)で求められます。角Bは、三角形ABCにおいて、180−90−31＝59度です。よって、角DCP＝角BCE＝180−59×2＝62度です。したがって、180−(31＋62)＝87より、χは87度です。このように、求角問題は、求める角度からさかのぼって考えていくと、解きやすくなります。
【攻略ポイント2】
「基本問題3」は、半円が回転移動する問題です。
- 問題文をよく読んで下さい。半円の曲線部分が通ってできる図形の面積を求める問題です。イの位置の半円(半円イと名付けます)の曲線部分つまり半円弧がウの位置(半円ウと名付けます)の半円弧まで回転すると、半円弧が通ってできる図形は、半径4cmの半円イの面積と、半径(4×2＝)8cmの四分円の面積から半円ウの面積を引いた面積、との和となります。半円イと半円ウの面積は同じですから、結果、半径8cmの四分円の面積を求める問題になります。8×8×3.14÷4＝16×3.14＝50.24より、曲線部分が通ってできる図形の面積は、50.24平方cmです。
- 予習シリーズの解答と解説の冊子77ページにある図を参照して下さい。アの位置にある半円(半円アと名付けます)の直径右端の点を中心に直径が直角に立ち上がります。半円の中心は、ここまでに半径4cm、中心角90度の弧をえがきます。次に、半円イの中心までは、半円の中心は、直線に平行に移動します。なぜなら、直線の上を弧が移動するとき、半円の中心は、つねに直線から半径の長さ分だけ離れているからです。この平行線の長さは、弧の長さと同じです。そして、半円ウの中心までは、はじめの立ち上がりのときと同じ動きです。よって、全体で、半径4cm、動いた角度は、90＋180＋90＝360度となります。つまり、円周の長さと同じになります。4×2×3.14＝25.12より、半円の中心が動いた長さは、25.12cmです。
【攻略ポイント3】
「基本問題4」は、水量の変化とグラフの問題です。グラフの変化と管A、Bの開け閉めに注意して考えていきましょう。
- グラフより、はじめは管Aのみで、(0〜40の)40分で、(400〜1200の)800Lの水を入れましたので、800÷40＝20より、管Aから入る水の量は、毎分20Lです。次に、管AとBで、(40〜60の)20分で、(1200〜400の)800Lの水が出ますので、800÷20＝40より、毎分40Lの水が出ますが、これは管Aから毎分20Lずつ水を入れながらですので、40＋20＝60より、管Bから出る水の量は、毎分60Lです。
- 400Lの量の水を、管Aは使わずに管Bのみで水を出しますから、400÷60＝6・2/3 (6＋2/3をこのように表します)より、6・2/3分かかります。よって、60＋6・2/3＝66・2/3分より、水そうの水がなくなるのは、66分40秒後です。
- 1回目に、水そうの水が600Lになるのは、管Aで(400〜600の)200Lの水を入れたときですから、200÷20＝10より、10分後です。また、2回目は、管AとBで(1200〜600の)600Lの水が出たときですから、600÷40＝15、40＋15＝55より、55分後です。式で求められた15分をすぐに答えにしないように、最初の40分を加えることを忘れないように気をつけてください。
＜算数 5年上 第15回＞
第15回は『総合(第11回〜第14回)』です。基本問題において、第11回から第14回までの基本が理解できているか、確認しましょう。ほとんどが、公式の使い方です。
【攻略ポイント1】
「練習問題1」は回転体の問題です。立体Pは、底面の半径4cm・高さ2cmの円柱と底面の半径4cm・高さ(5−2＝)3cmの円すいが重なった立体です。立体Qは、底面の半径4cm・高さ5cmの円柱から底面の半径4cm・高さ(5−2＝)3cmの円すいをくりぬいた立体です。
- 立体Pの体積は、4×4×3.14×2＋4×4×3.14×3÷3＝(32＋16)×3.14＝48×3.14です。立体Qの体積は、4×4×3.14×5−4×4×3.14×3÷3＝(80−16)×3.14＝64×3.14です。したがって、64×3.14−48×3.14＝(64−48)×3.14＝16×3.14＝50.24より、体積の差は、50.24立方cmです。3.14の計算はできるだけまとめて行うことに改めて気をつけてください。
- 立体Pの表面積は、底面積(ア)＝16×3.14、円柱側面積(イ)＝4×2×3.14×2＝16×3.14、円すい側面積(ウ)＝5×4×3.14＝20×3.14より、ア＋イ＋ウ＝(16＋16＋20)×3.14＝52×3.14です。立体Qの表面積は、底面積(エ)＝16×3.14、円柱側面積(オ)＝4×2×3.14×5＝40×3.14、円すい側面積(カ)＝5×4×3.14＝20×3.14より、エ＋オ＋カ＝(16＋40＋20)×3.14＝76×3.14です。したがって、76×3.14−52×3.14＝(76−52)×3.14＝24×3.14＝75.36より、表面積の差は、75.36平方cmです。
【攻略ポイント2】
「練習問題3」は、{1、1、2、3、4}の5枚のカードから、3枚のカードをならべて整数を作る問題です。
- 1のカード2枚と、残りの2、3、4の組み合わせは、(1、1、2)、(1、1、3)、(1、1、4)になります。それぞれの並べ方は、1以外のカードを、百の位、十の位、一の位、のうちのどこに置くかを考えると、3通りずつありますから、3×3＝9より、全部で9通りになります。
- 1のカードを使う枚数で場合分けをして考えます。1のカードを2枚使う場合(ア)は(1)の9通りです。1のカードを1枚使う場合(イ)については、2、3、4のカードから残り2枚を選ぶ選び方が、 (1、2、3)、(1、2、4)、(1、3、4)の3通りあり、それぞれ3枚の並べ方(順列)は3×2×1＝6通りですから、6×3＝18通りになります。また、1のカードを使わない場合(ウ)は、2、3、4のカードの並べ方を考えて、3×2×1＝6通りです。ア＋イ＋ウ＝9＋18＋6＝33より、全部で、33通りになります。
【攻略ポイント3】
「練習問題5」は、約数の個数の問題です。
- 約数の個数が3個ある数は、同じ素数を2回かけてできる数(平方数といいます)です。よって、素数2、3、5、7、11、…を2回かけてできる数で100以下を考えます。(2×2＝)4、(3×3＝)9、(7×7＝)49、(11×11＝)121は100を超えてしまうのでダメ。答えは、4、9、49です。
- □×□の答えが1000に近くなる□をさがすと、30×30＝900がありますので、30の近くで素数をさがします。31は素数ですから、31×31＝961、31の次の素数は37ですから、37×37＝1369です。この2つを比べて、1000にもっとも近い整数は、961とわかります。
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