＜算数 5年下 第14回＞
第14回は『容器と水量(2)』です。容器の水の中に物体を沈めたときに、水の深さの変化を考える問題です。基本は、[水に沈めた物体の体積＝見かけ上増えた水の体積]です。また、容器を傾ける問題も考えます。
【攻略ポイント1】
「必修例題1」は、容器の水の中に物体を沈める問題です。
- 沈めた物体の体積は、(10×10×10＝)1000立方cmですから、見かけ上増えた水の体積も1000立方cmです。1000÷200＝5より、深さが5cm増えます。よって、14＋5＝19より、 水の深さは19cmです。
- 見かけ上増えた水の体積は、容器のうち水の入っていなかった部分の200×(20−14)＝1200立方cmと、こぼれた水の150立方cmを合わせた、1200＋150＝1350立方cmです。よって、水に沈めた物体の体積は、1350立方cmです。
「必修例題2」は、同じく容器の水の中に物体を沈める問題です。物体の高さが水面より上になるか下になるかが重要になります。
- おもりの高さが、水面より上になるものとして考えます。水の体積は、250×10＝2500立方cmです。物体を底に立てるとき、容器の底面積は、250−50＝200平方cmになりますので、水の深さは、2500÷200＝12.5cmです。これは、おもりの高さである15cmより、低いので、水の深さは、12.5cmです。
- 2個のおもりを底に立てますので、容器の底面積は、250−50×2＝150平方cmになります。2500÷150＝16.66…となります。これは、おもりの高さである15cmをこえていますので、おもりの高さが(1)と同様に水面より上になるものとして考えたことが間違いです。おもりが完全に水の中に沈むものとして、計算し直します。50×15×2＝1500立方cmの物体を水に沈めますので、1500÷250＝6より、深さが6cm増えます。よって、10＋6＝16より、水の深さは、16cmです。
「必修例題3」は、おもりを水に入れる方法を、立てて入れる場合と倒して入れる場合について、水の深さ考える問題です。考え方を工夫しましょう。図2のように、立てて入れた場合の水面より上に出た部分を、切り取って水の中に沈めます。すると、図3のように、おもりを完全に水に沈めたことになります。
- おもりを立てて入れた場合の水の深さは8cmで、水面より上の部分のおもりの体積は8×8×(12−8)＝256立方cmです。この部分を切り取って水に沈めます。見かけ上増えた水の体積は、沈めた物体の体積と同じですから、256立方cmです。よって、256÷(10−8)＝128より、水そうの底面積は、128平方cmです。
- 図3において、128×10−8×8×12＝512より、水の体積は、512立方cmです。
【攻略ポイント2】
「必修例題4」は、水の入っている容器を傾ける問題です。この問題では、容器の奥行の長さ(たての長さ)は考えず、正面から見た水の面積を平面図形の問題として考えます。
- 水の部分の面積は、8×12＝96平方cmです。水がこぼれることなく水面が容器のふちまでくるのですから、図1の台形の面積も96平方cmです。台形の面積を求める式に整頓すると、(x＋12)×12÷2＝96です。96×2÷12−12＝4より、xは4cmです。
- 容器を45度傾けると、水面は1辺12cmの正方形の対角線になり、水の面積は直角二等辺三角形です。96−12×12÷2＝24より、面積は24平方cm少なくなりました。よって、24×12＝288より、こぼれた水の体積は288立方cmです。
- はじめに入っていた水の体積は、12×12×8＝1152立方cmです。1152−540＝612、612÷12＝51より、残っている水を正面から見た面積は、51平方cmです。よって、51×2÷12＝8.5より、図2のyは、8.5cmです。
＜算数 4年下 第14回＞
第14回は『場合の数(1)』です。例えば、A、B、Cの3つの文字を、順序を考えて並べるとき、何通りの並べ方があるかを考えるような問題を、場合の数の問題といいます。この答えは、ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBAの6通りです。場合の数の問題では、もれがなく、重なることがないよう、順序よく考えることが大切です。
【攻略ポイント1】
「必修例題1」は、0のカードを含む4まいのカードから3まいをならべて、3けたの整数を作る問題です。
- 最も小さい整数を作りますから、数の小さいカードからならべます。ただし、百の位に0のカードは使えませんので、その次に小さい1のカードを百の位におきます。残っているカードのうち、小さい数のカードを順にならべますので、102です。
- 10□を考えます。□には、2、3、の順に入りますので、2個できます。次に、考えるのは、12□のときで、□には、0、3の2個できます。次は、13□のときで、同じく2個です。ここまでで、百の位に1のカードをおいてできる3けたの整数は6個でした。次は、百の位に2をおいた3けたの整数を考えます。20□で、□には、1、3、の順に入りますから、小さい方から数えて8番目の数は、203です。
「必修例題2」では、数字の中に0があること、2が2つあることに注意して考えます。3けたの数を作るのですが、必修例題1と同様に、百の位に0は使えませんので、
- (ア) まず百の位に1をおく場合を考えます。十の位には、残りの0か2をおくことができます。ここまでで、10□、12□の2通りです。一の位には、10□のときは2、12□のときは0か2(2つ目の2)をおくことができます。よって、102、120、122の3通りができます。
- (イ) 次に百の位に2をおく場合です。十の位には、残りの0か1か2(2つ目の2)をおくことができます。ここまでで、20□、21□、22□の3通りです。一の位には、20□のときは1か2(2つ目の2)、21□のときは0か2(2つ目の2)、22□のときは0か1をおくことができます。よって、201、202、210、212、220、221の6通りができます。(ア)と(イ)より、3けたの整数は(3＋6＝)9 通り作ることができます。
【攻略ポイント2】
「必修例題3」は、兄、私、妹の3人のならび方を考える問題です。樹形図を利用して考えていきます。予習シリーズ109ページの解き方にある樹形図を参照してください。
- 兄が左はしに決まっていますので、残りの私と妹のならび方を考えます。私→妹、妹→私、の2通りです。
- 私が左はしの場合も、残りの兄と妹のならび方は2通りです。また、妹が左はしの場合も、残りの兄と私のならび方は同じく2通りになります。よって、2＋2＋2＝2×3＝6より、3人のならび方は全部で6通りです。
(2)のように、誰が左はしにきても場合の数が同じになる、つまり「並べ方の条件が等しい場合」には、「かけ算を使うことができる」ということに、注意しておいてください。
「必修例題4」は、3けたの偶数を作ることが条件となる問題です。偶数は、一の位に偶数をおくことでできます。よって、一の位からカードをおいていきます。場合の数の問題では、条件のあるところから、決めていきます。
- (ア)まず、一の位に0をおきます。百の位には、1、2、3のどのカードをおいてもよいので、1□0、2□0、3□0の3通りとなります。十の位には、(ア‐1)1□0の場合には2か3、(ア‐2)2□0の場合には1か3、(ア‐3)3□0の場合には1か2のそれぞれ2つずつおくことができます。よって、3×2＝6通り作ることができます。
- (イ)一の位に2をおく場合には、残りの0、1、3のうち、百の位に0はおくことができないので、1□2、3□2の2通りとなります。
- 十の位には、(イ‐1)1□2の場合には0か3、(イ‐2)3□2の場合には0か1のそれぞれ2つずつおくことができます。よって、2×2＝4通り作ることができます。
- (ア)と(イ)より、3けたの偶数は(6＋4＝)10通りできます。
われわれ中学受験鉄人会のプロ家庭教師は、常に100％合格を胸に日々研鑽しております。ぜひ、大切なお子さんの合格の為にプロ家庭教師をご指名ください。