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＜算数 本科教室 6年生 ステージⅤ 第5回＞

　第5回のテーマは「比Ⅴ」です。今回は「食塩水の濃度」「面積図を使った解法」「つるかめ算」「変化をとらえる問題」について確認をしていきます。食塩水の濃度やつるかめ算ではビーカー図、面積図など図に整理する方法を確認します。また、変化をとらえる問題では与えられた条件に沿って調べていく方法を学びます。

　どの問題でも図を書いて整理していくことが共通の内容となります。問題にある情報を整理するときには、情報を正確に把握し、順序を守り、図を正確に書く必要があります。例えば、「どのような順番で書くのか」「どちらの方が大きいのか、または同じ大きさなのか」などです。細かい点に注意して、秩序を立てて考えると、問題解決の糸口が見えてきます。まずは書いて調べるところから始めましょう。

【対策ポイント】

　「身に付けたい重要なポイントI」では濃度の変化の追い方について確認します。80ページの問題を見てみましょう。食塩や水や食塩水を混ぜては取り出して、また混ぜては取り出してを繰り返す問題です。

　食塩水をやり取りする問題ではビーカー図で考えることが有効です。ビーカー図は長方形を縦に3段に分けて形を作り上から濃度（%）、食塩の重さ（g）、食塩水の重さ（g）と並べて書いていきます。ここではビーカー図を（濃度、食塩の重さ、食塩水の重さ）のように表すこととします。

　例えば10%の食塩水200ｇを表すと（10%、△g、200g）となります。ここで、△＝200×0.1＝20ｇとなることから10%食塩水200ｇは（10%、20g、200g）と表すことができます。このようにビーカー図では3つの量（濃度、食塩の重さ、食塩水の重さ）の関係を整理していきますが、そのうち2つの量がわかると残りの1つの量を計算で求めることができます。

　問題をビーカー図に整理してみましょう。はじめに容器A（食塩水600g）に水300g（水は0%の食塩水と考えます）を加えます。このことをビーカー図で表すと次のようになります（わからない数は○や△や□で表していきます）。

【はじめのビーカー図】
A（○%、△g、600g）+水（0%、0g、300g）＝（○%、△g、900g）

　2番目にはじめの操作でできた（○%、△g、900g）の食塩水の中から600gを取り出して容器B（食塩40g）に加えます（食塩は100%の食塩水と考えます）。このことをビーカー図で表すと次のようになります。ここで（○%、△g、900g）の濃度と、ここから取り出した（○%、△g、600g）の濃度は同じことを覚えておきましょう。

【2番目のビーカー図】
（○%、△g、600g）+B（100%、40g、40g）＝（○%、△g、640g）

　3番目に2番目の操作でできた（○%、△g、640g）の食塩水の中から300gを取り出して容器Cに加えると、8%の食塩水ができます。このことをビーカー図で表すと次のようになります。ここで（○%、△g、640g）の濃度と、ここから取り出した（○%、△g、300g）の濃度は同じことを覚えておきましょう。

【3番目のビーカー図】
（○%、△g、300g）＋C（5%、△g、200g）＝（8%、△g、500g）

　カッコ内の2つの量がわかるところから、残りの1つの量を計算していきましょう。3番目のビーカー図を見てみましょう。8%の食塩水500ｇ溶けている食塩の量は500×0.08＝40ｇとなります。また5%の食塩水200ｇ溶けている食塩の量は200×0.05＝10ｇとなります。このことから、3番目のビーカー図は下のように書き変えることができます。

【3番目のビーカー図】
（○%、△g、300g）＋C（5%、10g、200g）＝（8%、40g、500g）

　このことから（○%、△g、300g）の△＝40－10＝30ｇとなります。したがって、このときの濃度は30÷300×100＝10%となります。このことから3番目のビーカー図を書き変えると次のようになります。

【3番目のビーカー図】
（10%、30g、300g）＋C（5%、10g、200g）＝（8%、40g、500g）

　次に2番目のビーカー図を見てみましょう。（○%、△g、640g）の濃度と、ここから取り出した（10%、30g、300g）の濃度は同じです。このことから2番目のビーカー図は次のように書き変えることができます。

【2番目のビーカー図】
（○%、△g、600g）+B（100%、40g、40g）＝（10%、△g、640g）

　10%の食塩水640ｇ溶けている食塩の量は640×0.01＝64ｇとなります。このことから、（○%、△g、600g）の△＝64－40＝24ｇとなります。したがって（○%、△g、600g）の○＝24÷600×100＝4%となります。このことから、2番目のビーカー図は下のように書き変えることができます。

【2番目のビーカー図】
（4%、24g、600g）+B（100%、40g、40g）＝（10%、64g、640g）

　さあ、最後です。はじめのビーカー図を見てみましょう。（○%、△g、900g）の濃度と、ここから取り出した（4%、24g、600g）の濃度は同じです。このことからはじめのビーカー図は次のように書き変えることができます。

【はじめのビーカー図】
A（○%、△g、600g）+（0%、0g、300g）＝（4%、△g、900g）

　4%の食塩水900ｇ溶けている食塩の量は900×0.04＝36ｇとなります。このことから、（○%、△g、600g）の△＝36－0＝36ｇとなります。したがって（○%、△g、600g）の○＝36÷600×100＝6%となります。このことから、はじめのビーカー図は下のように書き変えることができます。

【はじめのビーカー図】
A（6%、36g、600g）+（0%、0g、300g）＝（4%、36g、900g）

　食塩水をやり取りする問題では、状況をビーカー図に整理し、濃度、食塩の重さ、食塩水の重さのうち、2つの量がわかっているものから考えていくとよいでしょう。また食塩水を取り出して混ぜる場合、取り出すもとの食塩水の濃度と取り出した食塩水の濃度は同じことも重要です。

　「身に付けたい重要なポイントII」では面積図の利用について確認します。81ページの問題を見てみましょう。容器Aと容器Bに濃度のわからない食塩水があります。A:B＝1：2の割合で混ぜると6%に、A:B＝2：1の割合で混ぜると8%になります。A:B＝1：2の割合で混ぜる場合、Bを比の1だけ多く混ぜていて、6%になります。

　また、A:B＝2：1の割合で混ぜる場合、Aを比の1だけ多く混ぜていて、8%になります。Aを多く混ぜた方が濃度が高い（8%）のため、Aの方がBよりも濃いといえます。このことから、面積図を書いてみましょう。

　はじめにA:B＝1：2で混ぜたときの面積図を書くと81ページ「●解法」にある左側の面積図になります。斜線部分の面積は同じため、㋐：㋑＝2：1となります。図に比を書き込みましょう。

　次に A:B＝2：1で混ぜたときの面積図を書くと81ページ「●解法」にある右側の面積図になります。このとき、左右の面積図でAとBの濃度はそれぞれ同じため、Aの長方形の縦の長さとBの長方形の縦の長さをそれぞれそろえて書くように注意しましょう。斜線部分の面積は同じため、㋒：㋓＝1：2となります。図に比を書き込みましょう。

　ここでAの濃度とBの濃度の差を考えます。左側の面積図ではAの濃度とBの濃度の差（㋐＋㋑＝2＋1＝3）は比の3です。右側の面積図ではAの濃度とBの濃度の差（㋒＋㋓＝1＋2＝3）は比の3です。左側の面積図でも、右側の面積図でもAの濃度とBの濃度の差は比の3のため㋐：㋑：㋒：㋓＝2：1：1：2となります。

　ここで左右の面積図で混ぜたあとの濃度の差（8－6＝2%）に注目すると、㋓－㋑＝2－1＝1のため比の1にあたる量が2%であることがわかります。左側の面積図で考えるとAの濃度は比の2にあたる量が2×2＝4のため、6＋4＝10%であることがわかります。

　またBの濃度は比の1にあたる量が2%のため、6－2＝4%となります。図を丁寧に書いて、同じ長さを見つけて、比を合わせる必要があるかどうか検討するプロセスは線分図を書いて考える場合と全く同じです。普段から目の付け所を正確に把握しておくことが重要です。

　「身に付けたい重要なポイントⅢ」ではつるかめ算について確認していきます。82ページの問題を見てみましょう。はじめに品物の個数を求めます。全部を1個600円で売ると（仕入れ値）の2割5分のもうけになることから、このときの売り上げの合計は仕入れ値の96000円を1＋0.25＝1.25倍して120000円となります。このことから、仕入れた品物の個数は120000÷600＝200個となります。

　問題では何個かを1個600円で売り、残りを1個500円で売ったとあるため、1個600円で売った個数を◯個、1個500円で売った個数を△個とします。◯＋△＝200となります。また、もうけは仕入れ値の1割5分になることから、このときの売り上げは仕入れ値の96000円を1＋0.15＝1.15倍して110400円となります。

　このことから売上の合計を式で表すと600×◯＋500×△＝110400となります。売った個数の合計と、売り上げの合計がわかっているためつるかめ算を使って考えていきます。ここでは面積図を使って考えていきましょう。

　82ページにある「●解法」の面積図を見てみましょう。つるかめ算の面積図では縦の長さに1個あたりの値段、横の長さに個数の合計（200個）を書き、面積が売り上げの合計（110400円）を表しています。

　面積図の500円の高さの部分で横に線を引いて、面積図を上下2つの長方形に分けましょう。このとき、下の長方形の面積は500×200＝100000となります。したがって、上の長方形の面積は売り上げの合計（110400円）から下の長方形の面積（100000）を取り除いて、110400－100000＝10400となります。上の長方形の縦の長さは600－500＝100のため、横の長さは10400÷100＝104個となります。したがって、1個600円の品物は104個売ったことがわかります。

　「身に付けたい重要なポイントⅣ」では変化をとらえる問題について考えていきます。83ページの問題を見てみましょう。ここでは原価、定価、利益の変化を調べていきます。問題の条件をよく読み情報をまとめていきましょう。問題の情報を整理すると次のようになります。

①原価は1個80円です。
②1個100円の値段で売ると1日200個売れます。
③1個の値段を10円値上げすると1日10個、売れる個数が減ります。

　1個あたりの値段が100円、110円、120円、130円と変化するときの売れる個数と1日の利益の変化について調べてみましょう。1個あたりの値段が100円のときの売れる個数は200個で、1個あたりの利益は100－80＝20円となります。したがって1日の利益は20×200＝4000円となります。

　次に1個あたりの値段を10円値上げして110円とします。1個あたりの値段を10円値上げすると1日10個、売れる個数が減ることから、このとき売れる個数は200－10＝190個となります。1個あたりの利益は110-80=30円のため、1日の利益は30×190＝5700円となります。

　次に1個あたりの値段をさらに10円値上げして120円とします。1個あたりの値段を10円値上げすると1日10個、売れる個数が減ることから、このとき売れる個数は1個あたり110円で売ったときと比べて10個減って190－10＝180個となります。1個あたりの利益は120－80＝40円のため、1日の利益は40×180＝7200円となります。

　次に同様に1個あたりの値段が130円の場合を考えます。このとき、売れる個数は180-10=170個となります。1個あたりの利益は130－80＝50円のため、1日の利益は50×170＝8500円となります。

　このことを表にまとめると83ページ「●解法」にある表のようになります。1日の利益を見ると1個の値段が10円上がるごとに1日の利益の増加額は200円ずつ減っていくことがわかります。したがって1日の利益が1番大きくなるのは1700÷200＝8余り100のため、8＋1＝9回値上げしたときとわかります。このとき1個の値段は100＋10×9＝190円となります。

　このように売買損益の問題に見えても、規則性の考え方を利用するような問題は難関校ではよく見られる形式です。習ったことがない、解法がわからないと諦めるのではなく、まずは調べてみることで決まりや規則性を見つけていきましょう。このとき重要なことは与えられた条件にそって考えていくことです。条件を取り違えないよう、注意深く慎重に読むようにしましょう。

　演習としては84ページから87ページの知識•技術重点問題は必修です。

　次に88ページ以降の運用力重点問題で、取り組んでおいた方がよい問題を挙げます。88ページの問1、問4、問5、89ページの問8、90ページの問11は食塩水の濃度に関する問題です。どのような解法が有効か自分で判断しながら進めてみましょう。92ページの問19、93ページの問21、問22、問2は売買に関する問題です。つるかめ算の考え方や表などを使って問題を整理しながら取り組むとよいでしょう。

＜算数 本科教室 5年生 ステージⅣ 第5回＞

　第5回のテーマは「割合と比　比の意味と操作1～等しい比・比例式・連比～」です。比は入試問題では問題文の中で条件として登場したり、問題を解くときには比を使うことで、よりシンプルに解くことができるようになったりします。算数の成績をアップさせるには比を理解し使えるようにすることが大変重要です。比の基本的内容を確実に理解して、比例式・連比の計算をスムーズにできるように繰り返し練習を行いましょう。

【対策ポイント】

　「学び1」では、比は身近に存在することを確認していきます。テキストの例にある通り、料理をするときの調味料の量、テレビの画面の大きさ、模型の大きさ比などには比が使われています。ここでは何と何を比べた数なのかを考えていきます。

　だししょうゆの作り方ではだし4に対してしょうゆが3ですから、小さじで計量しても大さじで計量しても味が変わらないことなどを体験すると比の理解がいっそう進みます。100ページの「やってみよう！」もお家でなければできない内容となっていますのでご家族でチャレンジしてみてください。

　「学び2」では比の表し方と性質について学びます。はじめに数字を書く順番に注意しましょう。入試問題でもたてと横の長さの比を求めなさいという場合、タテ：ヨコの順番で書きます。逆は不正解となりますので、日ごろから意識することが重要です。

　101ページの「やってみよう！」ではたて4cm、よこ6cmの比の表し方について学びます。ここでは「さまざまな基準を設けて、たてと横の長さの比を表しましょう」とあります。わかりづらい場合は単位を変えて考えるとよいでしょう。

　例えば単位をcmで考えると、4(cm)：6(cm)となります。単位をmmで考えると40(mm)：60(mm)となります。この例では単位をcmで表した比の前項、後項それぞれの値を10倍した数が、単位をmmで表した比となっていることがわかります。「学び2」ではこのことを比の性質として学んでいきます。表し方は違いますが分数の通分、約分の感覚で取り組むとよいでしょう。

　「学び3」では比を簡単にします。「学び2」で学んだ「比のそれぞれの項に同じ数をかけても比は等しい」「比のそれぞれの項を同じ数でわっても比は等しい」という性質を使っていきます。ポイントは整数であれば同じ数でわる、小数ならそれぞれの項を10倍、100倍し、整数にしてから同じ数でわるという具合です。

　分数の場合は通分してから分母の数をかけるとよいでしょう。あらためて104ページの「やってみよう！」を確認してみてください。分数の約分と同じように計算プロセスを残すとケアアレスミスを防ぐことができます。

　「学び4」では連比を作ります。105ページの「やってみよう！」ではA：B＝1：3、B:C＝2：3の場合のA：B：Cを求めていきます。それぞれの数字をたてに並べて書き、共通する部分の数をそろえていきます。ここではBの値が共通していますので、Bを6（2と3の最小公倍数）でそろえていきます。

　比の値が変わらないようにAは2倍、Cは3倍にすることも忘れないようにしましょう。比が小数や分数で表されている場合は、比を簡単（整数）にしてから、連比を求めるようにしましょう。演習が必要ですので、後にあげる演習にチャレンジしてみてください。

　演習としては106ページから108ページまでは必修です。特に108ページの問5、問6は「学び3」「学び4」で学習した内容の演習となります。もう一度やり方を確認してから取り組んでみましょう。また、111ページの問3、112ページの問4は文章題です。比例式を作ることを意識して取り組んでみてください。

　117ページの「シナジー」にある「外項と内項の積は等しい」という性質は今後比例式を扱う際にとても重要な考え方となります。ぜひみなさんに理解していただきたい内容です。107ページの問4や114ページの問8に再チャレンジしてこの性質が使えることを確かめてみてください。

＜算数 本科教室 4年生 ステージⅢ 第5回＞

　第5回のテーマは「場合の数　樹形図と順列」です。今回はとにかく手を動かしてどんどん書いて調べていきましょう。最終的には受験では必須のアイテム「樹形図」を使っていきますが、丁寧に描くことはもちろん、順序よく描いていくことも重要です。

　場合の数の問題では計算で簡単に出せる方法もありますが、最近の入試ではその考え方が通用しない問題も多く出題されます。今回の単元では「効率よく解く」よりも「正確に描く」ことを優先して考えてみましょう。

【対策ポイント】

　「学び1」では初めて習う場合の数について実際に調べていきます。76ページのななこさん、さくらさん、けんたさん、れんさんの4人が横1列に並ぶ例では24通りの並び方があることがわかります。ここでは重複なく数えるにはどのような工夫があるのかを考えてみましょう。　

　例えば1番左に並ぶ人をななこさんに固定するなどです。ばらばらに数えているように見えて、実はかなり緻密な考えのもとに並び方が書かれています。場合の数ではこのように自分の決めた基準にしたがって、順序よく数えていく姿勢が大切です。77ページのカードを並べる例についてもどのような調べ方をしているのかよく見てみましょう。

　「学び2」では順列について考えていきます。順列とは順番を考える並べ方です。78ページには筆記用具を横1列に並べる場合の数を求める例があります。実際に並べてみると混乱しますので、ここでは、シャーペン、消しゴム、赤ペンとしてそれぞれの並べ方を書いて考えていきます。

　「学び1」と同じように数え方の方針を自分で決めて書き出しましょう。シャーペンは「シ」、消しゴムは「け」、赤ペンは「あ」のように頭文字をとって省略して書いていくとよいでしょう。

　「学び3」では樹形図の描き方を学びます。79ページの1,2,3,4の4枚のカードを並べて3桁の整数を作る例を見てみましょう。樹形図は小さい順に整理して書いていくのが一般的です。例えば数字なら1から、アルファベットならAからということです。樹形図では百の位が1番左に、十の位がその隣に、一の位が1番右に書かれています。

　ここに順序よく数字を書いていきます。すると百の位が1のときは6通り、2のときは6通り、3のときは6通り、4のときも6通りであることがわかります。このことから全ての場合の数は6×4＝24通りとなります。同じように80ページ、81ページの問題に取り組んでみましょう。一つひとつ丁寧に順番を意識しながら書くようにすることで、数えもれがなくなります。慎重に書きましょう。

　演習としては82ページから83ページは必修です。今回の目標は樹形図を描けるようになることです。すべての問題について樹形図を描いて考えてみましょう。

　問1のマル4ではBのカードが2枚使えることに注意しましょう。問3では0（ゼロ）のカードがあることに注意しましょう。また、84ページの「出口から入った方が早い」は入試をはじめいろいろなテストで出題される問題です。マル2にある小さい方から数えて55番目は大きい方から数えて6番目であることに気づけば百の位を5として、大きい数から並べて考えていくとよいでしょう。

　この問題にあるように大きい方から調べていく方が効率よく調べることができることもあります。小さい順に調べることにとらわれず、自分の決めた基準にしたがって、順序よく数えていく姿勢が問われる1題です。

　86ページの問4では6は9として使えることと、9は6として使えることに注意しましょう。慎重に書いていけば大丈夫です。87ページの問8では「カードがない！」という声が聞こえてきそうですが、樹形図を書いて1から順番に調べてみましょう。樹形図の仕組みがわかってきたら、88ページ、89ページの問9～問12にチャレンジしてみましょう。

　われわれ中学受験鉄人会のプロ家庭教師は、常に100%合格を胸に日々研鑽しております。ぜひ、大切なお子さんの合格の為にプロ家庭教師をご指名ください。