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＜算数 本科教室 6年生 ステージⅤ 第10回＞

　第10回のテーマは「速さと比Ⅵ」です。今回は「図形上の点の移動」「時計算」「水そうとグラフ」について確認をしていきます。

　図形上の点の移動や水そうグラフでは「変化する点」がポイントとなります。変化するとは例えば点の移動であれば、移動した点が向きを変えるときです。

　また、水そうグラフでは水そうに入れる水の量が変わったときや水が入る図形の形が変わったときです。変化する部分に注目して、丁寧に調べましょう。また、時計算では、長針と短針の動きに注目して、追いついたり追い越したりする角度について調べていきます。

　点の移動、時計算、水そうグラフのどの問題も動くようすや水がたまっていくようすを書いて調べていくと具体的な量が把握しやすくなります。今回の内容も入試頻出単元です。十分に演習を行い、入試に備えましょう。

【対策ポイント】

　栄冠への道のチェックポイント〔ステージⅤ　第10回　速さと比Ⅵ〕を使って重要事項の確認をしていきましょう。

　41ページの「1．図形上の点の移動」では図形上を動く点の移動と面積について考えていきます。41ページの（例）を見てみましょう。点Ｐが毎秒2㎝の速さで長方形の周上をＢ→Ｃ→Ｄ→Ａと動くとき、三角形ＡＰＢの面積の変化について考えていきます。ここでは点ＰがＢＣ上を動くとき、ＣＤ上を動くとき、ＤＡ上を動くときに分けて考えていきましょう。

①点ＰがＢＣ上を動くとき

　点Ｐははじめ点Ｂ上にあるため三角形ＡＰＢの面積は0（ゼロ）です。点Ｐが点Ｂを出発してから1秒後を考えてみましょう。1秒後には点Ｐは点Ｂから2㎝進んでいることからＢＰの長さは2㎝となります。このとき三角形ＡＰＢはＡＢ（10㎝）を底辺とすると高さはＢＰ（2㎝）の三角形となるため、面積は10×2÷2＝10㎠となります。

　次に点Ｐが点Ｂを出発してから2秒後を考えてみましょう。2秒後には点Ｐは点Ｂから2×2＝4㎝進んでいることからＢＰの長さは4㎝となります。このとき三角形ＡＰＢはＡＢ（10㎝）を底辺とすると高さはＢＰ（4㎝）の三角形となるため、面積は10×4÷2＝20㎠となります。このように点ＰがＢＣ上を動くときは点Ｐが点Ｂを出発してからの時間が2倍になると、三角形ＡＰＢの面積も2倍になります。つまり、点Ｐが点Ｂを出発してからの時間と三角形ＡＰＢの面積は比例します。

　点Ｐが点Ｃに着くのは点Ｂを出発してから16÷2＝8秒後となります。点Ｐが点Ｂを出発してから8秒後の三角形ＡＰＢの面積は、10×16÷2＝80㎠となります。

②点ＰがＣＤ上を動くとき

　点Ｐははじめ点Ｃ上にありこのときの三角形ＡＰＢの面積は80㎠となります。点Ｐが点Ｃを出発してから1秒後（点Ｐが点Ｂを出発してから8＋1＝9秒後）を考えてみましょう。このとき点Ｐは点Ｃから2㎝進んでいることからＣＰの長さは2㎝となります。このとき三角形ＡＰＢはＡＢ（10㎝）を底辺とすると高さはＣＢ（16㎝）の三角形となるため、面積は10×16÷2＝80㎠となります。

　次に点Ｐが点Ｃを出発してから2秒後を考えてみましょう。2秒後には点Ｐは点Ｃから2×2＝4㎝進んでいることからＣＰの長さは4㎝となります。このとき三角形ＡＰＢはＡＢ（10㎝）を底辺とすると高さはＢＣ（16㎝）の三角形となるため、面積は10×16÷2＝80㎠となります。

　このように点ＰがＣＤ上を動くときはＡＢを底辺と考えると高さは常にＢＣの長さと同じくなるため面積は一定で変わりません。点Ｐが点Ｄに着くのは点Ｂを出発してから(16＋10)÷2＝13秒後となります。このときも、三角形ＡＰＢの面積は80㎠となります。

③点ＰがＤＡ上を動くとき

　点Ｐははじめ点Ｄ上にあるため三角形ＡＰＢの面積は80㎠です。点Ｐが点Ｄを出発してから1秒後（点Ｐが点Ｂを出発してから13＋1＝14秒後）を考えてみましょう。このとき点Ｐは点Ｄから2㎝進んでいることからＤＰの長さは2㎝となります。このことからＡＰの長さは16－2＝14㎝となります。このとき三角形ＡＰＢはＡＢ（10㎝）を底辺とする高さ14㎝の三角形となるため、面積は10×14÷2＝70㎠となります。

　次に点Ｐが点Ｂを出発してから2秒後（点Ｐが点Ｂを出発してから13＋2＝15秒後）を考えてみましょう。このとき点Ｐは点Ｄから4㎝進んでいることからＤＰの長さは4㎝となります。このことからＡＰの長さは16－4＝12㎝となります。このとき三角形ＡＰＢはＡＢ（10㎝）を底辺とする高さ12㎝の三角形となるため、面積は10×12÷2＝60㎠となります。

　このように点ＰがＤＡ上を動くときには1秒ごとに高さが2㎝ずつ小さくなり、面積も10㎠ずつ減ります。点Ｐが点Ａに着くのは点Ｂを出発してから(16＋10＋16)÷2＝21秒後となります。このとき、三角形ＡＰＢの面積は0（ゼロ）となります。このように、図形の周上を点が移動する場合、移動する点が図形の頂点で向きを変えて次の頂点に進むとき注目して調べていくとよいでしょう。

　41ページの「2．時計算」では時刻を求める問題について確認しておきましょう。

　はじめに長針と短針の動く角度について確認します。長針は1時間（60分）で360度進みます。したがって1分あたり360÷60＝6度進みます。また、短針は1時間（60分）で30度進みます。したがって1分あたり30÷60＝0.5度進みます。時計の針は同じ向きに進むため、長針が短針よりも後ろにいて、追いかけるときには、1分あたり6－0.5＝5.5度ずつ長針と短針のへだたりが小さくなります（同じ向きに進む旅人算と同じように考えましょう）。

　また、長針が短針と重なった後は、1分あたり5.5度ずつ長針と短針のへだたりが大きくなります。

　42ページの④時刻を求める問題を見てみましょう。はじめに「重なる時刻」を考えてみます。はじめの四角で囲まれた（例）を見てみましょう。

　2時と3時の間で長針と短針が重なる時刻を求めてみましょう。時計算でははじめの時刻のときの長針と短針の間の角度が大切です。ここでは2時です。2時のときの長と短針の位置は長針が「12」を指していて、短針が「2」を指しています。「12」と「2」の間の角度は60度です。長針が短針に追いつくのは、60度のへだたりが0（ゼロ）度になるときです。

　長針が短針を追いかけるときには、1分あたり5.5度ずつ長針と短針のへだたりが小さくなることから、60度のへだたりが0度になるのにかかる時間は、60÷5.5＝60÷11/2＝60×2/11＝120/11＝10・10/11分となります。したがって、2時と3時の間で長針と短針が重なる時刻は2時10・10/11分となります。

　時計算の計算をするときには答えが割り切れないことが多いため、必ず分数で計算しましょう。

　次に「直角になる時刻」を考えてみます。42ページの真ん中の四角で囲まれた（例1）を見てみましょう。2時と3時の間で長針と短針の間の角度が初めて直角になる時刻について考えてみましょう。2時のときの長針と短針の角度は60度です。

　このことから、2時と3時の間で長針と短針の間の角度が初めて直角になるのは、長針が短針に重なった後ということがわかります。長針が短針に追いつくのは、60度のへだたりが0（ゼロ）度になるときで、さらに長針が短針を追い越して90度の差をつけたときに、初めて直角になります。

　つまり、長針が短針よりも60＋90＝150度多く進んだときになります。したがって2時と3時の間で長針と短針の間の角度が初めて直角になるのは、150÷11/2＝150×2/11＝300/11＝27•3/11分より、2時27•3/11分となります。

　42ページのいちばん下の四角で囲まれた（例2）を見てみましょう。6時と7時の間で長針と短針の間の角度が初めて直角になる時刻について考えてみましょう。6時のときの長針と短針の角度は180度です。このことから、2時と3時の間で長針と短針の間の角度が初めて直角になるのは、長針が短針に重なる前ということがわかります。

　したがって長針と短針の間の角度が初めて直角になるのは、はじめに180度あった長針と短針のへだたりが90度になるときです。したがって、長針は短針との差を180－90＝90度縮めればよいことがわかります。したがって、長針と短針の間の角度が初めて直角になるのは90÷11/2＝90×2/11＝180/11＝16•4/11分より、6時16•4/11 分となります。

　さらにこの問題では。6時と7時の間で長針と短針の間の角度が2回目に直角になる時刻も求めることができます。長針と短針の間の角度が2回目に直角になるのは、長針が短針に追いついてから、90度差をつけることから、このとき長針は短針よりも180＋90＝270度多く動けばよいことがわかります。

　したがって、長針と短針の間の角度が2回目に直角になるのは、270÷11/2＝270×2/11＝540/11＝49•1/11分より、6時49•1/11 分となります。

　43ページの「3．水そうグラフ」では図形とグラフの情報をどのように結び付けていくのか確認しておきましょう。

　ここでは栄冠への道第10回速さと比Ⅵ基本演習を使って考えていきます。91ページの問3を見てみましょう。

　水そうグラフではグラフが折れ曲がる部分が重要です。グラフが折れ曲がる部分は水が入る容器の形に変化が起こったときです。91ページのグラフを詳しく見てみましょう。容器に水を入れはじめてから18分後に水の深さは10cmとなっていることから、このとき、図の下の部分の直方体が水で満たされ、次に上の部分の直方体に水がたまっていくことがわかります。

　このことから、下の部分の直方体の高さは10cmで、18分でたまった水の量は400×18＝7200㎤となります。したがってABの長さを◯とすると、30×◯×10＝7200という式が成り立ちます。このことから、◯＝24cmとなり、ABの長さが24㎝となることがわかります。

　水を入れはじめてから18分後以降は図の上の部分の直方体に水がたまっていきます。□分から後は、グラフから時間が経っても水の深さは30cmから変わっていないため上の部分の直方体の高さは30－10＝20cmとわかります。したがって上の部分の直方体の体積は8×10×20＝1600㎤となります。

　毎分400㎤の割合で水を入れることから、1600㎤の水を入れるのに1600÷400＝4分かかることがわかります。したがって容器に水を入れるのにかかる時間は、容器に水を入れはじめてから18＋4＝22分後となります。

　また、水を入れはじめてから19分後の水の深さは、上の部分の直方体に水が入りはじめてから19－18＝1分後となります。1分間でたまる水の量は400㎤のためこのとき、上の部分の直方体の水の深さは400÷(8×10)＝5cmとなります。したがって水を入れはじめてから19分後の水の深さは10＋5＝15cmとなります。

　このように図形とグラフの情報を結び付けるときには、グラフが折れ曲がる部分と水が入る図形の形が変化する部分を結び付けて考えていくとよいでしょう。図形は水そうを真正面から見た平面図形で書いて、水位を書き込んでいくとより分かりやすくなります。

　ここからは、『合格力完成教室 ステージⅤ』と『合格力完成教室 ステージⅤ難問』それぞれから、合格へ向けて優先順位の高い問題をピックアップして行きます。

【合格への10題（合格力完成教室 ステージⅤより）】

　122ページから125ページの演習1～演習4は必修 です。その他に絶対やって欲しい合格への10題は以下の通りです。

①126ページの問1
②126ページの問4
③127ページの問6
④127ページの問7
⑤127ページの問9
⑥128ページの問12
⑦129ページの問13
⑧129ページの問14
⑨130ページの問19
⑩132ページの問23

　今回は122ページから125ページの例題1～例題4が非常に重要です。実際に演習を行ってみて考え方を確認してから練成問題を行うようにしましょう。

【合格への10題（合格力完成教室 ステージⅤ難問より）】

　164ページから169ページの知識•技術重点問題は必修です。その他に絶対やって欲しい合格への10題は以下の通りです。

①170ページの問2
②171ページの問3
③171ページの問4
④172ページの問6
⑤172ページの問7
⑥173ページの問9
⑦174ページの問12
⑧175ページの問14
⑨177ページの問20
⑩178ページの問22

　図形上の点の移動や水そうグラフでは移動する点や水面の高さを書き込みながら考えましょう。また、グラフを扱う問題ではグラフの折れ曲がる部分の数値に着目して、図形と結び付けて考えていきましょう。

＜算数 本科教室 5年生 ステージⅣ 第10回＞

　第10回のテーマは「平面図形　相似比と面積比」です。今回は相似比を使って、「相似比から辺の長さを出せる」こと、「相似比から面積比を出せること」が目標となります。レベルが高くなると、図形の中に隠れた相似の関係を、自分で見つけ出す必要があります。

　相似な図形はいつも同じ向きで出てくるとは限りません。相似な図形を見つけるときには、角度を調べ印をつける工夫が大切です。こうすることで図形の向きも把握することができます。図形に印を書き込みながら考えることがポイントとなります。

　相似は他の図形の性質と合わせて、難問も出題されやすい単元です。もちろん入試頻出単元でもあります。しっかりと基礎を固めていきましょう。

【対策ポイント】

　「学び1」は相似な図形の導入です。相似とは、「大きさはちがっていても、形は同じ図形どうしの関係」をいいます。多角形の場合辺の長さは変わりますが、角度は変わらないことは押さえておきたい点です。ここではいろいろな相似を想像して話してみましょう。身近なものでは地図や地球儀、模型などがあります。相似とは何か？がイメージできれば、「学び1」は大丈夫です。

　「学び2」では相似比について学びます。相似な図形は対応する辺（同じ向きに置いたときに、同じ位置にある辺）の長さの比が同じになります。このことを「相似比」といいます。219ページの「やってみよう！」を見てみましょう。正方形の例では対応する辺の長さが5cmと20cmです。したがって相似比は5：20＝1：4となります。同様に三角形の例では対応する辺の長さが5cmと10cmです。したがって相似比は5：10＝1：2となります。このように相似比とは、「対応する辺の長さの比」のことをいいます。

　「学び3」では相似比と面積比について学びます。再び219ページの「やってみよう！」を見てみましょう。正方形の例では、相似比は1：4でした。正方形の面積は「一辺×一辺」です。第6回「割合と比 比の意味と操作②～比の決定・比例配分・逆比・比の合成～」で比も普通の数のように扱えることを学びました。

　このことを利用すると正方形の面積の比は、(1×1)：（4×4）＝1：16となります。つまり、相似比がA：Bの場合、面積比は(A×A)：(B×B)となります。このことは三角形や円でも同様で、相似な図形どうしであればすべての図形で成り立ちます。必ず覚えましょう。

　「学び4」では相似な図形を探します。221ページの「やってみよう！」を見てみましょう。左下にある図形をおむすび形、右下にある図形を砂時計形と呼ぶことにします。ここからはテキストを見ながら、同じ角度に◯や×の印をつけて考えていきましょう。それではやってみましょう！

　おむすび形では三角形ADEと三角形ABCを比べると、辺DEと辺BCが平行なため角ADEと角ABC（同位角の関係）は等しくなります（ここに◯の印をつけます）。同様に角AEDと角ACBも等しくなります（ここに×の印をつけます）。したがって2つの対応する角度が等しいので、三角形ADEと三角形ABCは相似になります。三角形において対応する2つの角度が等しい場合、相似になることを覚えておきましょう。

　砂時計形でも三角形ADEと三角形ABCを比べると、辺DEと辺BCが平行なため角ADEと角ABC（錯角の関係）は等しくなります。同様に角AEDと角ACBも等しくなります。したがって三角形ADEと三角形ABCは相似になります。対応する角を◯や×で表していくと、対応する辺がわかりやすくなるため必ず印をつけましょう。

　具体的に223ページの問4を使っておむすび形と砂時計形の相似比と面積比について説明します。①は辺DEと辺BCが平行なおむすび形の問題です。はじめに同じ角度に、◯や×の印をつけましょう。三角形ADEと三角形ABCが相似です。

　おむすび形の場合、相似な三角形が重なっているので注意しましょう。辺ADと辺ABが対応するので三角形ADEと三角形ABCの相似比は4：10＝2：5となります。したがって、辺DE（6cm）：辺BC＝2：5より、辺BCの長さは15cmとなります。また、三角形ADEと三角形ABCの面積比は(2×2)：(5×5)＝4：25となります。さらにこのことから台形DBCEの面積の比は25－4＝21となります。

　③は辺EDと辺BCが平行な砂時計形の問題です。ここでも同じ角度に◯や×の印をつけましょう。三角形ADEと三角形ABCが相似です。砂時計形の場合、相似な三角形の向きに注意します。対応する角度に注意してみると、辺ADと辺ABが対応していることがわかります。したがって三角形ADEと三角形ABCの相似比は5：12.5＝2：5となります。このことから、辺DE:辺BC(16cm)＝2：5より、辺DEの長さは6.4cmとなります。また、三角形ADEと三角形ABCの面積比は(2×2)：(5×5)＝4：25となります。

　おむすび形、砂時計形は入試にも頻出の図形です。角度に印をつけて、相似な三角形を確認してから比を使うようにしましょう。図形の問題では、基本的な図形の性質から離れて、比の操作に集中するあまり誤答を招くことがよくあります。気をつけてください。

　演習としては222ページから224ページは必修です。特に223ページの問4は入試で問われる基本的な形ですので、確実に理解しておきましょう。

　227ページの問1、228ページの問2、問3、229ページの問4は図形に隠れたおむすび形と砂時計形を見つけられるかがカギを握ります。面積比を出す時には第9回で学んだ高さが等しい三角形の面積比も合わせて使えるとよいでしょう。229ページの問5、230ページの問6は直角三角形の相似を使う問題です。はじめに角度を調べながら相似な直角三角形を見つけてみましょう。余力があれば231ページの問9、問10にもチャレンジしてみてください。

＜算数 本科教室 4年生 ステージⅢ 第10回＞

　第10回のテーマは「速さ　速さと進行グラフ」です。前回学んだ速さをグラフで表していきます。今回の目標は「グラフを読めること（グラフから状況を把握すること）」「グラフが書けること」です。もちろんグラフから読みとった情報を使って、速さ、時間、道のりの計算もします。

　速さをグラフ化することは想像以上に抽象度が高く、わかりにくいものです。グラフの様子からどのくらいの時間でどのくらい進んだのか数字を書き出しながら考えていくとよいでしょう。今回もじっくり取り組みましょう。

【対策ポイント】

　「学び1」は進行グラフを読み取ります。進行グラフとは、人や物が進んでいく様子を表したものです。163ページの文章とグラフを見てみましょう。グラフの縦軸は道のりを横軸は時間を表しています。道のりは0kmのところが出発点、5kmのところが到着点となります。時間は左側に10時（出発時刻）、右側に11時（到着時刻）を書きます。このグラフは右上がりの直線になります。このように速さのグラフが傾いた直線の場合、一定の速さで進んでいることになります。

　次に164ページの例1から例6を使って、速さのグラフの特徴をつかんでいきます。例1のグラフは右上がりの直線です。出発してから4分で800m進んだことがわかります。例2のグラフは右上がりの直線→水平な直線→右下がりの直線となっています。

　10時に家を出発し、一定の速さで400m先のコンビニに10時5分についたことがわかります。その後10時10分まで道のりが変わってないことから、この間は移動せずにコンビニにいることがわかります。このようにその場所にとどまっている時は時間がすすんでも道のりは変わらず、水平なグラフになります。その後10時10分にコンビニを出発し、10時15分に家に着いたことがわかります。このように400m先のコンビニから一定の速さで戻ってくる時には、グラフは右下がりの直線になります。

　例3のグラフは右上がりの直線ですが、途中で曲がっています。学校から家に向かう途中で「こわい犬」に遭遇したようです。学校から一定の速さで7分間、560m移動した（速さを計算すると560÷7＝秒速80m）ところでこわい犬に出会ったことがわかります。その後、家までの残りの道のり540mを3分ですすんだ（速さを計算すると540÷3=秒速180m）ことがわかります。グラフが途中で曲がっているのは速さが変わったためです。速さが速くなるとグラフの傾き（グラフの角度）が大きくなります。基本はここまでです。

　例1～例3から、グラフの形が右上がりの場合、出発点から到着点に向かって進んでいることを表し、右下がりの場合、到着点から出発点に向かって戻っていることを表しています。また、グラフが水平な直線の場合はその地点にとどまっていることを表しています。グラフの傾きは速さを表していて、傾きが大きいほど速さが速いことになります。

　例4、例5は自分で考えてみましょう。例6は速さがだんだんと速くなるグラフです。進行グラフの特徴がわかったら166ページ、167ページの「やってみよう！」をやってみましょう。167ページの「やってみよう！」では家から駅までが800m、かかった時間が午前8時から午前8時40分とあるため、縦軸には100mごとに800mまで、横軸には8時から始めて10分ごとに8時40分まで目盛を取るとよいでしょう。

　「学び2」では、2つのものの動きを進行グラフで表していきます。2つのものの動きには「出会い（すれちがう）」「追いつき（追い越す）」があります。異なる地点にいる2人が向かい合って進む場合、2人は出会います。異なる地点にいる2人が同じ向きに進む場合、後ろから追いかける人の方が速ければ追いつきます。

　168ページの例1から例4を使って、2つのものの動きを進行グラフで見ていきます。例1は出会いのグラフです。Aさんは学校から駅に向かって、Bさんは駅から学校に向かって15時に出発したことがわかります。そして15時20分に学校から1200mの地点で2人は出会った（すれちがった）ことがわかります。このようにグラフの交点は2人が出会ったことを表しています。

　例2は追いつきのグラフです。Aさんは学校から2400m離れた駅に向かって出発したことがわかります。少し遅れてBさんが学校を出発して同じ駅に向かう途中でAさんに追いついていることがわかります（グラフの傾きを見るとBさんの方が大きいため、Bさんの速さがAさんより速いこともわかります）。ここでもグラフの交点が追いついた（追い越した）ことを表しています。

　例3は自分で考えてみましょう。例4は入試でもよく見るグラフです。AさんとBさんが25m離れたところから往復する様子が表現されています。ここではグラフの交点に注目して、AさんがBさんと何回すれちがったのか、また、AさんがBさんを何回追い越したのか考えてみましょう。

　169ページの「やってみよう！」にも挑戦してみましょう。弟が出発した時間が10時で、10時40分におじいちゃんの家に着いています。横軸は10時から始めて、10分ごとに10時40分まで目盛を取るとよいでしょう。また、道のりは具体的には示されていませんが、おじいちゃんの家までを700ｍとして、縦軸は100ｍごとに700ｍまで目盛りを取るとよいでしょう。

　演習としては170ページから172ページは必修です。「学び1」や「学び2」で学んだことを思い出しながらやってみましょう。174ページの問1、175ページの問2はグラフから情報を読み取る練習です。174ページの問1では何分で何m進んだのかを読み取りながら取り組みましょう。また、文章中の条件を読み取ることも忘れないようにしましょう。175ページの問2ではグラフの交点がポイントです。A、Bが同じ向きに進んでいれば「追い越し」です。反対向きに進んでいれば「すれちがい」となります。

　176ページの問3、問4は入試さながらの問題構成です。文章中の条件を読み取ることはもちろん、問の中で聞かれていること以外にもわかることを探していきましょう。177ページの問6は今回の目標でもある「グラフを読めること（グラフから状況を把握すること）」を確かめるまとめの問題です。ぜひ取り組んでみてください。

　われわれ中学受験鉄人会のプロ家庭教師は、常に100％合格を胸に日々研鑽しております。ぜひ、大切なお子さんの合格の為にプロ家庭教師をご指名ください。