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＜算数 本科教室 6年生 ステージⅤ 第1回＞

　第1回のテーマは「文章題Ⅱ」です。今回は「平均算」「差集め算・過不足算」「つるかめ算」「比の決定と利用」について確認をしていきます。

　1つひとつの特殊算はすでに学んでいる単元ですが入試問題ではどの特殊算なのか、あるいはどの解法を使うのかを自分で決定しなければなりません。今回の学びでは、問題ではどのような条件設定なのか、また図や式にするとどのようになるのかを考え、解法に至るまでのプロセスを再確認していくとよいでしょう。

　入試問題を解くときに重要なのは基本となる解法です。自分自身で解法を見極めることができれば、多少、条件が複雑になっても解答方針を正確に立てることができます。今回の単元で考え方の基本をあらためて振り返りましょう。

【対策ポイント】

　栄冠への道のチェックポイント〔ステージⅤ　第1回　文章題Ⅱ〕を使って重要事項の確認をしていきましょう。

　2ページの「1.平均算」では、平均算で重要な2つの式について確認していきます。平均を考えるときには、次の2つの式を使っていきます。

①平均＝全体の和÷個数
②全体の和＝平均×個数

　①の式は平均の定義です。平均の問題を考えるときには②の式が重要です。

　2ページの（例1）を考えてみましょう。

　3つの数A,B,Cの平均が4であることから、上に示した②の式を使うと、AとBとCの和は次のように表すことができます。
　A＋B＋C＝4×3＝12（この式をアとします）

　また、A,Bの平均が3であることから、AとBの和は次のように表すことができます。
　A＋B＝3×2＝6（この式をイとします）

　さらに、B,Cの平均が5であることから、BとCの和は次のように表すことができます。
　B＋C＝5×2＝10（この式をウとします）

　アの式とイの式を比べると、Cを求めることができます。アの式からイの式を引いてみると（消去算のように考えましょう）、C＝12－6＝6となります。

　また、アの式とウの式を比べると、Aを求めることができます。アの式からウの式を引いてみると、A＝12－10＝2となります。

　これらの結果を利用して、アの式を使ってBを求める式を作ると、A＋B＋C＝12であることから、この式のAに2、Cに6を当てはめると、2＋B＋6＝12となります。したがって、B＝12－2－6＝4となります。

　次に平均算の面積図による解法を確認します。平均の面積図は長方形の縦の長さに平均を、横の長さに個数や回数を書きます。面積は平均×個数となるため、全体の和を表しています。

　2ページの（例2）を見てみましょう。今までのテストは□回あり、平均点は72点です。このことを面積図で表すと長方形の縦の長さを72として、横の長さを□とします（テキストの横の長さの部分に□と書きこみましょう）。

　また、今回の1回のテストで88点をとったことを面積図で表すと長方形の縦の長さが88、横の長さが1となります。これらの面積図を左側にこれまでの算数のテストの面積図、右側に88点のテストの面積図というように並べて書いて、平均点76点の線を横に引きます。このとき左側の面積図の72点から76点の間にできる長方形（太線で囲まれた部分）の面積と右側の面積図の88点から72点の間にできる長方形（影がついた部分）の面積は同じになります。

　太線で囲まれた部分の面積は(76－72)×(□＋1)＝4×(□＋1)となります。影がついた部分の面積は(88－72)×1＝16×1＝16となります。太線で囲まれた部分の面積と影がついた部分の面積は同じため、4×(□＋1)＝16となることから、□＋1＝16÷4＝4となり、□＝3となります。今までのテスト回数は3回あり、今回のテストの1回も回数に加えると、これまで受けたテストの回数は全部で3＋1＝4回となります。

※（例3）の面積図の解法で、比を利用して計算する方法も確認しておきましょう。

　3ページの「2．差集め算」「3．過不足算」では考え方の基本を確認しておきましょう。

　差集め算や過不足算で最も重要なことは「同じ数ずつ買う」ことです。買う冊数や配る人数が同じときに差集め算や過不足算を使うことができます。このとき「買った冊数（配る人数）＝全体の差÷1あたりの差」で求めることができます。

　3ページの過不足算の（例）を見てみましょう。この問題では、何人かの子どもにミカンを4個ずつ配ると14個余ります。また、同じ人数の子どもにミカンを6個ずつ配ると4個足りません。

　このことを線分図に表すと3ページの真ん中にあるような図になります。子どもの人数を□人として、ミカンの個数の線分図を一番上に書いて比較できるようにするとよいでしょう。

　するとミカンを4個ずつ配ったときと、6個ずつ配ったときの全体の差は14＋4＝18個となります。また、1人に4個ずつ配ったときと、6個ずつ配ったときで1人に配る個数の差（1あたりの差）は6－4＝2個となります。したがってミカンを配った子どもの人数は、全体の差を1あたりの差でわって、18÷2＝9人となります。このことからミカンの個数は、4×9＋14＝50個となります。

　3ページの「4．つるかめ算」では面積図による解法を確認しておきましょう。つるかめ算は使う枚数の和と合計金額がわかっている場合に使います。

　4ページの（例）を見てみましょう。10円玉を○枚、50円玉を△枚使ったことにします。合わせて20枚使ったとあるため○＋△＝20です。また、合計金額が400円とあることから、10×○＋50×△＝400円となります。つるかめ算ではこの2つの式のイメージがとても重要で、「○と△の和」と「○とある数の積と△とある数の積の和」の式ができたらつるかめ算と思ってよいでしょう。

　ここでは、つるかめ算の面積図による解法を確認しておきましょう。

　つるかめ算の面積図は長方形の縦の長さ単位あたりの量を、横の長さに枚数や個数を書きます。面積は単位あたりの量×枚数となるため、合計金額を表しています。4ページの一番上にある面積図を見ながら考えましょう。

　10円玉が○枚あることを面積図で表すと長方形の縦の長さを10として、横の長さを○とします。また、50円玉が△枚あることを面積図で表すと長方形の縦の長さを50として、横の長さを△とします。これらの面積図を横に並べて書くと、長方形を2つ組み合わせた図形になります。

　ここで、底辺の部分の○と△の和は20枚であるため、底辺全体の長さの部分に20枚と書きこみます。さらに長方形を2つ組み合わせた図形の全体の面積は合計金額を表しているため400円です。

　ここからは図形の問題のように考えて、○や△の大きさを求めていきます。

　そこであらためて、4ページの一番上にある面積図を見てみましょう。ここからは長方形を2つ組み合わせた図を縦の長さが10、横の長さが20の太線で囲まれた部分と、縦の長さが40、横の長さが△の影をつけた部分に分けて考えていきます。太線で囲まれた部分の面積は10×20＝200となります。太線で囲まれた部分と、影をつけた部分を合わせた面積は合計金額を表しているため400です。

　したがって、影のついた部分の面積は全体の面積から太線で囲まれた部分の面積をとり除いて、400－200＝200となります。このことから、影のついた部分の横の長さ（△）を求めると200÷40＝5となり、50円玉の枚数は5枚であることがわかります。10円玉と50円玉は合わせて20枚のため、10円玉の枚数は20‐5＝15枚となります。

　つるかめ算はこの他に表で調べていく方法もあります。1つの解法にこだわらずにいろいろな方法で解けるよう、確認しておくとよいでしょう。

　4ページの「5．比の決定」では、いろいろな表現で表された割合を、単純な比に直す方法について確認します。4ページの（例）を見てみましょう。A×3＝B×2/3のとき、A：Bを求めます。

　はじめに（考え方3）を説明します。Aを1として考えてみましょう。Aを1とすると1×3＝B×2/3となることから、B＝3÷2/3＝3×3/2＝9/2となります。このことから、A：B＝1：9/2＝2/2：9/2＝2：9となります。

　違う方法も試してみましょう。今度は A×3＝B×2/3を満たすAやBを考えてみましょう。するとA＝2/3、B＝3であることがわかります。Aにかけている数（3）をBに当てはめて、Bにかけている数（2/3）をAに当てはめると等式が成り立ちます。したがってA：B＝2/3：3=2/3:9/3=2:9となります。

　この他に（考え方1）にあるように比例式の性質を使う方法や、（考え方2）にあるような計算結果が1となることを想定した考え方もあります。自分のやりやすい方法で考えてみましょう。

　5ページの「6．比の利用」では比も具体量と同じように扱えることを確認しておきましょう。5ページの（例1）を見てみましょう。ここでは比も単位のついた具体量と同じように扱うことができることを使って考えていきます。

　例えば5円玉が3枚で15円です。これを式に表すと5×3＝15となります。つまり5円玉×枚数＝金額となります。この関係は比でも使うことができます。ここでは5円玉の枚数を①、10円玉の枚数を②、50円玉の枚数を③とします。このとき金額を求める式を考えると、5×①＋10×②＋50×③となります。

　このことから5＋20＋150＝175が金額の比となります。比の175にあたる数が525円であることから、比の1にあたる数は525÷175＝3となります。10円玉の個数は比の②にあたるため3×2＝6枚となります。比を具体量と同じように使う場合、比の示す値が小さいため、計算の結果が分数や小数になることがあります。それでも自信をもって進めましょう。

　ここからは、『合格力完成教室 ステージⅤ』と『合格力完成教室 ステージⅤ難問』それぞれから、合格へ向けて優先順位の高い問題をピックアップして行きます。

【合格への10題（合格力完成教室 ステージⅤより）】

　2ページから5ページの演習1～演習4は必修 です。その他に絶対やって欲しい合格への10題は以下の通りです。

①6ページの問3
②6ページの問4
③6ページの問6
④7ページの問11
⑤8ページの問14
⑥8ページの問18
⑦9ページの問23
⑧10ページの問31
⑨11ページの問34
⑩12ページの問36

　特殊算や比の利用では書いて考えることは非常に重要です。ノートにしっかりとプロセスを残しながら取り組みましょう。

【合格への10題（合格力完成教室 ステージⅤ難問より）】

　6ページから9ページの知識•技術重点問題は必修です。その他に絶対やって欲しい合格への10題は以下の通りです。

①10ページの問1
②10ページの問2
③10ページの問3
④12ページの問13
⑤13ページの問15
⑥13ページの問16
⑦13ページの問17
⑧14ページの問19
⑨15ページの問23
⑩16ページの問25

　12ページの問13は和や差に注目する問題です。13ページの問15、問16は差集め算や過不足算の考え方を使います。さらに13ページの問17は消去算の考え方を使う問題です。14ページの問19は特殊な条件に注目して袋の数の比を考えていくとよいでしょう。状況に応じて図を書いたり、線分図に整理したりしながら考えていくとよいでしょう。

　われわれ中学受験鉄人会のプロ家庭教師は、常に100％合格を胸に日々研鑽しております。ぜひ、大切なお子さんの合格の為にプロ家庭教師をご指名ください。