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＜算数 本科教室 6年生 ステージⅤ 第2回＞

　第2回のテーマは「文章題Ⅲ」です。今回は「倍数算」「仕事算」「ニュートン算」「消去算」「相当算」の確認をしていきます。ここでは基本的には線分図を使って考えていきます。線分図では和や差の他に割合が区別できるように工夫して書きましょう。

　この線分図が考えるもととなるため、丁寧に書くようにしましょう。どの特殊算も入試頻出のオーソドックスな考え方です。確実に解けるように練習しましょう。

　栄冠への道のチェックポイント〔ステージⅤ　第2回　文章題Ⅲ〕を使って重要事項の確認をしていきましょう。

　6ページの「1．倍数算」では2つの数量の変化について考えていきます。

　（例1）の問題を線分図を確認しながら考えてみましょう。AとBの間でお金をやりとりします。はじめに、Aの所持金はBの所持金の3倍とあるため、Bの所持金を①とすると、Aの所持金は③となります。AとBの所持金を合わせて線分図に書くと6ページの（例1）にある上の線分図のようになります。Aの所持金の③とBの所持金の①の和は④のため、上の線分図の全体の長さを④とします。このときAの所持金とBの所持金が線分図のどの部分なのか、わかるように「A」「B」と書きこんでおきましょう。

　次にAがBに20円を渡すと、AとBの所持金が同じになったことを線分図で表します。 AとBの所持金の和は④です。 AとBの所持金が同じになったことから、AがBに20円渡した後の2人の所持金はそれぞれ④÷2＝②となります。

　このことを線分図で表すと、6ページの（例1）にある下の線分図になります。ここで、やりとりをする前の線分図のAの部分と、やりとりをした後の線分図のAの部分を比べてみましょう。やりとりをする前のAの所持金は③で、やりとりをした後のAの所持金は②です。AがBに20円を渡したことから、やりとりをする前のAの所持金③と、やりとりをした後のAの所持金は②の差（③－②＝①）が20円であることがわかります。

　このことを線分図に書き加えると6ページの（例1）にある下の線分図になります。これらのことから①＝20円となり、初めのAの所持金は③にあたるため、20×3＝60円となります。このようにやりとりをする問題の場合、2人の所持金の和が一定のため、2人の所持金を横に並べて、1つの線分図にまとめるとよいでしょう。

　次に（例2）の問題を線分図を確認しながら考えてみましょう。ここでは、A、Bともに同額のお金をもらったことがポイントになります。同額のお金をもらったり、同額のお金を使ったりした場合は、この同額のお金を線分図の左にそろえて書きます。

　6ページの（例2）にある線分図を見てみましょう。ここではAとBの所持金を縦に並べて比較できるように線分図を作っていきます。はじめにAの所持金は60円で、Bの所持金は30円です。次にもらった同額のお金をそれぞれの線分図の左に付け加えます。同額のお金をもらった後のAとBの所持金の比は4：3のため、Aの線分図で、もらったお金と60円の和を④、Bの線分図で、もらったお金と30円の和を③とします。これで線分図は完成です。

　最後に比と具体量を結び付けていきます。線分図で、AとBの所持金の差に注目しましょう。同額のお金をもらった後のAとBの所持金の差は④－③＝①となります。また、同額のお金をもらった後のAとBの所持金の差を具体量（金額）で比べると、60－30＝30円となります。このことから、①＝30円ということがわかります。

　Aの所持金（上の線分図）を使って、もらったお金を求めてみましょう。お金をもらった後のAの所持金は④のため、④＝30×4＝120円となります。もらったお金はお金をもらった後のAの所持金から、初めのAの所持金をとり除くことで求めることができます。したがって、もらったお金は120－60＝60円となります。

　6ページの「2．仕事算」では仕事算の解法について確認します。

　6ページの（例）を見てみましょう。ある仕事をするのにA 1人では10日かかり、B 1人では15日かかるため、ある仕事の量を1とすると、Aは1日に1/10、Bは1日に1/15だけ仕事をすると考えることができます。

　ここで、Aが1日にする仕事の量とBが1日にする仕事の量の比を考えてみましょう Aが1日にする仕事の量とBが1日にする仕事の量の比は1/10：1/15＝3/30：2/30＝3：2となります。このことをもとに考えるとAは1日に3の仕事をして10日で終わるため、全体の仕事量は3×10＝30となります。仕事算ではこのようにはじめにAやＢの1日あたりの仕事量と、全体の仕事量を決めるとよいでしょう。AとBで2人で仕事をすると1日に3＋2＝5の仕事をすることになるため、この仕事（全体で30）を終わらせるのに30÷5＝6日かかることがわかります。

　7ページの「3．ニュートン算」では線分図の書き方を確認しておきましょう。

　ニュートン算の線分図はそれぞれの状況（牛の頭数や給水管の個数など）ごとに、線分図を書いていきます。7ページの（例）を使って説明します。線分図の左には「初めにあった草の量」を右には「（草がなくなるまでに）生えた草の量」を書きます。

　はじめに、牛の頭数が20頭のとき、牧場の草が8日でなくなるようすを線分図で表してみましょう。線分図の左に適当な長さで「初めにあった草の量」を書きましょう。次に1日で生えてくる草の量を①とすると、草はなくなるまでに、8日間生え続けるため、牛が草を食べつくすまでに、①×8日=⑧の草が生えることになります。このことから、線分図の右に「生えた草の量（⑧）」を付け加えます。

　ここで牛一頭が1日に食べる草の量を1とすると20頭の牛で8日間で、1×20×8=160の草を食べることになります。ここで、「初めにあった草」と「生えた草」を20頭の牛で8日間で食べつくすと考えると、線分図の全体の量が160となります。

　同じように、牛の頭数が25頭のとき、牧場の草が6日でなくなるようすを線分図で表してみましょう。線分図の左に牛20頭のときの「初めにあった草の量」と同じ長さで「初めにあった草の量」を書きましょう。次に1日で生えてくる草の量を①とすると、草はなくなるまでに、6日間生え続けるため、牛が草を食べつくすまでに、①×6日＝⑥の草が生えることになります。

　このことから、線分図の右に「生えた草の量（⑥）」を付け加えます。ここで牛一頭が1日に食べる草の量を1とすると25頭の牛で6日間で、1×25×6＝150の草を食べることになります。ここで、「初めにあった草」と「生えた草」を25頭の牛で6日間で食べつくすと考えると、線分図の全体の量が150となります。

　ここで、牛20頭の場合と牛25頭の場合の線分図を比べてみましょう。2つの線分図の差に注目すると、その差は全体の量で比べると160－150＝10で、生えた草の量で比べると⑧－⑥＝②であることがわかります。このことから、②＝10となり、①＝5となります。このことは、牛一頭が1日に食べる草の量を1とすると、1日に生える草の量（①）が5であることを示しています。

　ここで、牛20頭の場合の線分図を見てみましょう。牛一頭が1日に食べる草の量（1）を基準に考えると、⑧＝5×8＝40となり、はじめにあった草の量は160－40＝120となります。

　このように、ニュートン算では牛一頭が1日に食べる草の量を1として、これを基準にして、生える草の量や初めにあった草の量を考えていきます。最後に牛45頭では何日で草がなくなるのか計算してみましょう。牛一頭が1日に食べる草の量を1、1日に生える草の量を5、初めにあった草の量を120として線分図を書いてみましょう。

　線分図の左に「初めにあった草の量」の120を書きます。次に1日で生えてくる草の量を5とすると、草がなくなるまでの□日間で草が生える量は5×□と表すことができます。このことから、線分図の右に「生えた草の量」の5×□を付け加えます。

　ここで牛一頭が1日に食べる草の量を1とすると45頭の牛で□日間で、1×45×□の草を食べることになります。このことから、線分図の全体の量に1×45×□と書きます。線分図から45頭の牛で□日間で食べた草の量から生えた草の量を取り除くと初めにあった草の量となることから、次の式が成り立ちます。
　1×45×□－5×□＝120

　□は同じ数のため、分配法則を使うと次のようになります。
　(1×45－5)×□＝120
　40×□＝120
　□＝3

　このことから、牛45頭では3日で草がなくなることがわかります。

　7ページの「4．消去算」では2つ以上のわからない数があるときの解法について確認していきましょう。

　7ページの（例）を見てみましょう。ここではA 1個の値段を○、B 1個の値段を△とします。A 3個とB 2個を買うと220円のため、このことを式で表すと、○×3＋△×2＝220となります。また、A 2個とB 5個を買うと3300円のため、このことを式で表すと、○×2＋△×5＝330となります。

　これらの式のAの個数を3個と2個の最小公倍数の6個にそろえます（消去算ではどれか1つの個数をそろえることが重要です）。はじめの式をすべて2倍すると、○×6＋△×4＝440となります。また、もう一つの式をすべて3倍すると 、○×6＋△×15＝990となります。これらの式をならべて比べてみます（表現方法は多少違いますが、7ページの（例）ある図も参考にしてみましょう）。
　○×6＋△×4＝440
　○×6＋△×15＝990

　2つの式を比べると、○が6個でそろっているため、△の個数の差の値段が全体の値段の差となることがわかります。つまり、△11個（15－4＝11）分の値段が550円（990－440＝550）となります。したがって、△1個分の値段は550÷11＝50円となります。また、A3個とB2個を買うと220円（○×3＋△×2＝220）のため、A3個の値段は220－50×2＝120円となります。このことからA1個の値段は120÷3＝40円となります。

　8ページの「5．相当算」では割合を区別しながら整理することを確認していきましょう。

　はじめに8ページの（例1）を見てみましょう。問題文に2つの割合（昨日と今日）が登場します。ここでは今日の状況から考えていきます。「今日は残りの4/5を読んだところ10ページ残りました」とあることから残りの1/5（1－4/5）が10ページであることがわかります。このことから昨日の残りは10÷1/5＝50ページとなります。

　このことをもとに昨日の状況を考えると「昨日はある本全体の1/3を読んだ」とあるため、昨日の残りのページ数はある本全体の1－1/3＝2/3となります。ある本全体の2/3が50ページのため、ある本全体のページ数は、50÷2/3＝75ページとなります。

　もとにする量が違う複数の割合が出てきた場合は、それぞれを注意深く区別して考えていくとよいでしょう。今回は文章による説明となりましたが、8ページの（例1）や（例2）にあるように、割合を区別しながら線分図を書いて整理するとより理解を深めることができます。

　ここからは、『合格力完成教室 ステージⅤ』と『合格力完成教室 ステージⅤ難問』それぞれから、合格へ向けて優先順位の高い問題をピックアップして行きます。

【合格への10題（合格力完成教室 ステージⅤより）】

　16ページから19ページの演習1～演習4は必修です。その他に絶対やって欲しい合格への10題は以下の通りです。

①21ページの問8
②21ページの問9
③21ページの問10
④21ページの問11
⑤21ページの問14
⑥22ページの問18
⑦23ページの問22
⑧23ページの問23
⑨23ページの問24
⑩24ページの問27

　いずれの問題も線分図や式に整理して考えていくとよいでしょう。特に複数の割合がある場合は、比べる割合ごとに印をつけて考えていきましょう。

【合格への10題（合格力完成教室 ステージⅤ難問より）】

　22ページから25ページの知識•技術重点問題は必修です。その他に絶対やって欲しい合格への10題は以下の通りです。

①26ページの問1
②26ページの問2
③26ページの問3
④27ページの問6
⑤27ページの問8
⑥28ページの問10
⑦29ページの問13
⑧32ページの問25
⑨33ページの問26
⑩34ページの問30

　33ページの問26、34ページの問30は比を操作していくとよいでしょう。比を操作する問題は入試でも頻出です。また、すべての問題において、線分図に整理するなど、目に見える形で考えていくことを心がけましょう。

＜算数 本科教室 5年生 ステージⅣ 第1回＞

　第1回のテーマは「場合の数　順列・組み合わせ」です。ポイントは「樹形図を描いて考える」ことと「樹形図とかけ算の関係を理解する」ことです。ここで注意したいのは効率の良い計算という方法だけに頼らないようにすることです。樹形図を描くことよりも計算することに力点を置いてしまうことによって本来は解けたはずの問題が不正解となるケースをテストでもよく見かけます。まずは調べて確かめるが基本方針です。

　場合の数は入試頻出単元というだけでなく、難問も作りやすい単元です。樹形図の性質を理解し、それをどのような場合でも使いこなせるよう十分に練習しておきましょう。

【攻略ポイント】

　「学び1」では樹形図の描き方とかけ算の関係について、「学び2」では、樹形図とかけ算の関係について学びます。さらに「学び3」では同じような考え方を使う類題について考えていきます。最後の「学び4」では順列と組み合わせの違いについて学習します。

　「学び1」では6ページの樹形図と7ページの樹形図とかけ算の関係についてしっかりと理解しましょう。これらが場合の数の考え方の基礎になります。樹形図の描き方は順番（数字なら小さい順に、アルファベットならA～ということです）にきまりを意識しながら描くことです。

　ノートの余白に余裕をもたせて、丁寧に描くことを心がけてください。同じような枝分かれの時にかけ算で場合の数を求めることができることに気づけば「学び1」はクリアです。

　「学び2」では同じ4枚のカードを選ぶ問題でも、どのようなときにかけ算が使えて、どのようなときに使いえないのかを検証（8ページ、検証する問い、その1～5）していきます。検証その1～5は入試問題でも出題されるパターンです。初めに樹形図を描くという基本姿勢は崩さずに臨むようにしましょう。

　「学び3」では同じような考え方を使う類題について考えていきます。人物、役割、色分けと問題を構成する題材は変わっても考え方自体は同じことを理解していきます。10ページ「やってみよう！」を使って練習をしてみましょう。
　
「学び4」では順列と組み合わせの違いについて考えていきます。11ページ「やってみよう！」を使って練習してみましょう。「やってみよう！」だけでは練習量が足りないため、演習問題でさらに理解を深めてください。

　演習としては13ページ～15ページは必修です。さらに14ページ問3の倍数や偶数宇の数え方、問5の順列と組み合わせの違い、15ページ問6の「ものごとの反対側に着目する」などの思考法は入試でも頻出項目です。しっかりと解法を定着させておきましょう。

＜算数 本科教室 4年生 ステージⅢ 第1回＞

　第1回のテーマは「数と計算　小数の計算1　～かけ算～」です。かけ算の意味を考えることから始まり、整数×小数、小数×小数の計算ができるようにします。ここで重要なのが、ただ計算ができるということだけでなく、どうしてそのように計算するのかが説明できることです。

　よくうちの子は計算ミスが多くて…ということを耳にします。今回の単元のように計算でもその意味、理由付けを考えることができればミスも減らすことができます。「ただ解けること」と「理由までよくわかっていること」の違いに気づくことがこの単元の大きな狙いでもあります。

【対策ポイント】

　「学び1」では小数のかけ算を使う場面について、「学び2」では、○○倍の意味について、「学び3」では小数のかけ算の計算方法について学習します。

　「学び1」では、7ページのお話から小数のかけ算を使うのはどのような時なのかを考えていきます。お話として1.5Lのペットボトルやアイスクリームの1.5倍増量の例が出でいますが、身近にある小数についてご家庭で話をするのもよいかもしれません。「学び1」はテーマの内容をつかむための導入としての要素含んでいるため、堅苦しく考えず、どんどん例を挙げてみましょう。

　「学び2」では鉛筆を使って○○倍のイメージを考えていきます。ポイントとしては絵を描くことよりも、8×1.5＝12、8×1.2＝9.6、8×0.5＝4の計算ができたかが重要です。また、この時にかける数が1より大きいと、答えがかけられる数よりも大きくなることや、かける数が1より小さいと、答えがかけられる数よりも小さくなることがイメージできるとよいでしょう。

　「学び3」では小数×小数の計算方法をさぐっていきます。「学び2」でやってみた整数×小数の意味をもう一度考えながら、10ページの「やってみよう！」を使って計算方法を考えてみましょう。

　横書きで式を書いて考えていく方法や、ひっ算の方法がありますので両方試してみて、計算のプロセスを確認するとよいでしょう。ただ操作（手続き）だけを学ぶのではなく、その理由付けができると一段と計算が楽しくなると思います。

　演習としては11ページ～13ページは必修です。さらに14ページ問2の積が同じくなるものを選ぶ問題、15ページ問3の文章題では小数のかけ算だけでなく足し算や引き算のしかたにも気をつけながらやりましょう。

　15ページ問4は計算の工夫の問題です。工夫して計算することはどのレベルの入試問題でも求められる力です。どのような計算問題でもなるべく楽をして解こうとする姿勢は大切です。16ページ問6は第1回のまとめとしてぜひ取り組んでいただきたい問題です。

　われわれ中学受験鉄人会のプロ家庭教師は、常に100％合格を胸に日々研鑽しております。ぜひ、大切なお子さんの合格の為にプロ家庭教師をご指名ください。