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＜算数 本科教室 6年生 ステージⅤ 第3回＞

　第3回のテーマは「平面図形Ⅵ」です。今回は「角度を求める問題（求角）」「図形の性質と面積」「複合図形の求積」「多角形上の円の回転」について確認をしていきます。

　角度や面積を求める場合、平行線と錯角、二等辺三角形、直角三角形など隠れた図形を探すことがポイントとなります。これらの図形を見つけるには、角度を調べたり、辺の長さを比べたりしながら、情報を図に書き込みながら考えていくとよいでしょう。

　また、面積を求める問題では、補助線を引いたり、作図をしたりしながら考えていきます。複雑な図形でも、分解してみると、例えばおうぎ形と三角形のように、見慣れた図形が組み合わさってできていることがよくあります。複合図形を考えるときには、このように公式によって面積を導くことができる図形に分解して考えることが基本です。

　図形の問題は情報を自分で見つけることが重要です。手を動かしてじっくりと考えていきましょう。

　栄冠への道のチェックポイント〔ステージⅤ　第3回　平面図形Ⅵ〕を使って重要事項の確認をしていきましょう。

　10ページの「1．求角」では、図形の性質を使った角度の求め方について確認します。角度を求める問題では、平行な線や正三角形や二等辺三角形などの特殊な三角形に注目するとよいでしょう。

　10ページの（例）を見てみましょう。図形を折り返す問題では、折り返した部分に注目し、折り返す前と折り返した後の図形が合同なことを手がかりに考えていきます。図で折り返す前の直角三角形（点線で書かれた部分）に注目しましょう。

　左端の角度は折り返した後の図形の対応する角度が25度のためｘの大きさは25度となります。また長方形を折り返したため、右下の角度は90度です。次にｙの大きさを求めてみましょう。折り返す前の四角形は長方形のため、向かい合う辺どうしは平行です。このことから、錯覚が等しいことを利用すると、ｙの大きさは25度とｘの和と同じです。したがって、ｙの大きさは、ｘの大きさが25度のため、25＋25＝50度となります。

　最後にｚの大きさを求めてみましょう。ｚの大きさを求めるときには、直線の角度が180度であることを利用します。図でｙと90度とｚの大きさの和は180度です。ｙの大きさが50度であることから、ｚの大きさは、180－(90＋50)＝40度となります。

　角度の問題を考えるときには、はじめに平行線や図形の性質からわかる角度や長さを調べ、手がかりを増やしていくとよいでしょう。また、わかったことは図に書き込みながら考えていきましょう。

　10ページの「2．特別な三角形」では、三角定規の形をした三角形の利用について確認します。内角が30度、90度、60度の三角形では両端が90度と60度の辺の長さと両端が30度と60度の辺の長さの比は1：2です（10ページ（例）の上にある右の図を参考にしてください）。

　また、内角が45度、90度、45度の直角二等辺三角形では両端が45度と45度の辺を底辺とし、直角がある部分を頂点とすると、頂点から底辺に垂線を下ろすとその左右に合同な直角二等辺三角形ができます（10ページ（例）の上にある左の図を参考にしてください）。

　10～11ページの（例）を見てみましょう。図で辺BC（長さ14cm）を底辺とした場合、頂点から底辺に垂線を下して、垂線と底辺との交点をDとすると、11ページにある図のようになります。ここで、角ADBは90度、角ABDは30度のため、角BACは三角形の内角の和が180度であることを利用すると、180－(90＋30)＝60度となります。したがって、三角形ABD内角が30度、90度、60度の三角形となります。

　この三角形で両端が30度と60度の辺（辺AB）の長さが8cmであることから両端が90度と60度の辺（辺AD）の長さは8÷2＝4cmとなります。つまり、三角形ABDの高さは4㎝であることがわかります。このことから三角形ABCの面積は14×4÷2＝28㎠となります。

　11ページの「3. 複合図形の求積」では複合図形の面積の求め方について考えていきます。複合図形の面積を求めるときには切ったり、取り除いたり、形を変えたりして考えていきます。ここでは形を変える方法を確認していきましょう。

　11ページの真ん中の(例)を見てみましょう。図は半径4㎝の半円と、縦の長さが4㎝、横の長さが8㎝の長方形を組み合わせた図形で、影の部分の面積を求めます。

　（考え方）にある図を見てみましょう。図の矢印のついた2本の補助線の関係を調べてみます。2本の補助線は半円の直径と交わっています。上の補助線と半円の直径が作る角度は45度です（上の補助線と2本の半円の半径でできる三角形は直角二等辺三角形となることから考えます）。

　また、下の補助線と半円の直径が作る角度は45度です（下の補助線と半円の半径と長方形の縦の辺でできる三角形は直角二等辺三角形となることから考えます）。

　これらのことから、2本の補助線の錯角は45度で同じことがわかります。したがって、矢印のついた2本の補助線は平行です。ここで矢印のついた2本の補助線の間にある影のついた三角形を等積変形します（10ページの中段にある（考え方）の左の図を参考にしてください）。すると、10ページの中段にある（考え方）の右の図のようになります。

　このことから、影の部分の面積は、半径4cm、中心角が90度のおうぎ形の面積を求めればよいことがわかります。したがって影の部分の面積は4×4×3.14×90/360=12.56㎠となります。

　複合図形の面積を求めるときには、図形を切ったり、取り除いたり、形を変えたりすることで、面積が公式で導き出せる形にすることが重要です。

　11ページの「4．多角形上の円の回転」では多角形上の円の移動について考えていきます。11ページの下の(例)を見てみましょう。図のように台形の辺にそって、直径2㎝の円が1周するとき、円が通る部分の面積を求めていきます。

　直径2㎝の円が1周する様子を作図すると、12ページの（考え方）にある図のようになります。図から、円が1周したときの面積は、4つの長方形と、4つのおうぎ形に分けて考えると求めることができます。

　はじめに4つの長方形の面積の合計を求めましょう。ここでは、左にある長方形の面積と上にある長方形の面積と下にある長方形の面積と右にある長方形の面積をまとめて計算しましょう。このことを式に表すと、4×2＋6×2＋9×2＋5×2となります。工夫して計算すると、4×2＋6×2＋9×2＋5×2＝(4＋6＋9＋5)×2＝48㎠となります。

　次に4つのおうぎ形の面積の合計を求めましょう。4つのおうぎ形はすべて半径2㎝で、四角形の外角の和が360度であることから、4つのおうぎ形を合わせると「半径2㎝の円」になることがわかります。

　したがって、4つのおうぎ形の面積の合計は2×2×3.14＝12.56㎠となります。これらのことから、円が台形のまわりを1周するとき、円が通る部分の面積は48＋12.56＝60.56㎠となります。

　図形の周りを円が動いていく場合には円が図形の頂点にきたときにどのように移動するのかがポイントとなります。回転の中心と半径を意識して作図をするとよいでしょう。

【合格への10題（合格力完成教室 ステージⅤより）】

　30ページから33ページの演習1～演習4は必修です。その他に絶対やって欲しい合格への10題は以下の通りです。

①34ページの問2
②34ページの問3
③35ページの問5
④35ページの問6
⑤36ページの問8
⑥36ページの問12
⑦37ページの問16
⑧37ページの問17
⑨38ページの問18
⑩39ページの問23

　問題を解くときに重要なことは、情報を書きこんだり、図形の性質を使って手がかりを増やしていったりすることです。演習をするときは、テキストをコピーして、どんどん書き込みながら考えましょう。

【合格への10題（合格力完成教室 ステージⅤ難問より）】

　40ページから45ページの知識技術重点問題は必修です。今回はテーマが平面図形ということもあり、典型的な問題で練習したい場合は知識技術重点問題だけでも良いでしょう。その他に絶対やって欲しい合格への10題は以下の通りです。

①46ページの問1
②46ページの問2
③47ページの問4
④47ページの問6
⑤48ページの問9
⑥50ページの問13
⑦50ページの問14
⑧51ページの問15
⑨52ページの問18
⑩54ページの問25

　いずれの問題も本科テキストの「身に付けたい重要なポイント」にある考え方を参考に手を動かし考え抜くことで、自分自身の力をレベルアップすることができます。時間がかかってもよいので、じっくりと考えましょう。

＜算数 本科教室 5年生 ステージⅣ 第2回＞

　第2回のテーマは「場合の数　場合分けと調査」です。前回の順列・組み合わせの延長になりますが、ポイントは「様々な視点で場合分けをする」ことと「場合分けの考え方を使って効率よく問題を解く」ことです。

　入試問題でも場合の数の問題では場合分けの考え方を使うと効率よく正確に解くことができます。はじめにどんな場合分けの視点があるのかを知り、次にどの問題でどの場合分けが有効なのかを考えていきます。今回の単元もどんどん手を動かして書いていきましょう。

【攻略ポイント】

　「学び1」では分け方の視点を決めて、それぞれの場合に当てはまるものを探す作業を行います。この作業を「場合分け」といいます。ここでは場合分けの多様性にふれます。

　したがって、どの場合分けが良いかではなく、できるだけたくさんの場合分けを考えてみましょう。27ページの「やってみよう!」は練習になりますので、それぞれ3つずつ場合分けを考えてみましょう。

　「学び2」では「学び1」で使った場合分けを利用して実際に問題を解いていきます。28ページ問い1では、場合分けを利用し4つの解法プロセスが提示されます。それぞれの解法の利点や欠点にふれながら、自分に合った解法や効率の良い解法について考えていきます。

　最終的にはより良い解法を選択するのですが、ここでは解法の比較がテーマなので、色々な解法を試してみましょう。30〜32ページの「やってみよう！」は入試でもよく出題されるテーマです。それぞれの方針にしたがって解いてみましょう。

　演習としては33ページから34ページまでは必修です。特に学び1、2でも学習した倍数の見分け方を扱った問2や問3は重要です。また、問4の200円をつくる硬貨の組み合わせも入試で使える技術のため必ず取り組むようにしましょう。

　また、36ページの問1の色のぬりわけ問題、問3の正方形を作る問題、問7の図形上の点の移動とサイコロの出目を組み合わせた問題は入試での出題頻度も高いため、ぜひ解いておいてもらいたい問題です。42ページの探求に出ている立方体の展開図の種類の問題も場合分けの考え方を使って解くことでより深く理解することができますので取り組んでみてください。

＜算数 本科教室 4年生 ステージⅢ 第2回＞

　第2回のテーマは「数と計算　小数の計算2　～わり切れるわり算～」です。小数でわるのはどんな場面というお話から始まり、小数のわり算の方法を探るところまでは導入です。実際は「学び3」で扱う小数のわり算の筆算と「学び4」で扱うわられる数と商の大小関係が重要項目です。

　特に筆算は小数点が移動したあとを残したり、桁をそろえたりすることが重要となりますのでノートに丁寧に書くようにしましょう。

【対策ポイント】

　「学び1」では「わり切れるって何だろう」というテーマで、ビー玉とりんごの例をあげて考えさせています。状況や分けられる物によって、整数であまりを出す場合もあれば、小数でわり切れるまで計算することもあります。これは小数のわり算を行うための導入です。ここでは今回の計算はわり切れるまで行うという心の準備ができれば良いでしょう。

　「学び2」では「小数でわるのはどんな場面」というテーマで小数のわり算の具体的な例を考えていきます。◯÷小数の計算を行う身近な例ですから、4年生ではなかなか難しいかもしれません。解答も参考にしてみてください。「学び1」同様に「学び2」も小数のわり算を行うための導入ですから、思うように例が浮かばなくても大丈夫です。次へ進みましょう。

　「学び3」では具体的に計算方法を探っていきます。「わられる数とわる数に同じ数をかけたりわったりしても商は変わらない」というわり算の性質を使って筆算をしていきます。筆算をするときは数字と数字の間隔に余裕を持たせ小数点もはっきりと書きましょう。小数点は移動させたことがわかるよう、矢印などで書いていくことが重要です。

　ここではまだ演習しませんが、あまりを出す計算をする時にもとの小数点の位置は大変重要です。24ページの「やってみよう！」の書き方を参考にして筆算の練習をしてみましょう。

　「学び4」では、わり算の商がわられる数よりも大きくなることがあることを学びます。今までの4年生の概念にはない知識のためしっかりと学習しておきたいところです。

　最終的にはわる数が1より大きいと商はわられる数よりも小さくなり、わる数が1より小さいと商はわられる数よりも大きくなるということを知識として身につけていきます。25ページの「やってみよう！」を実際に解いてみましょう。

　演習としては26ページから29ページは必修です。問2では丁寧にケタをそろえて計算することを心がけましょう。問3や問5では文章題と小数のわり算を結びつける練習をします。文章の意味を理解し、計算に結びつける実践的な練習です。確実にできるようにしましょう。

　また、32ページの問2、33ページの問4は単位量あたりの大きさを出してから答えを導き出す問題です。算数では基本となる考え方のためぜひ取り組んでください。

　われわれ中学受験鉄人会のプロ家庭教師は、常に100％合格を胸に日々研鑽しております。ぜひ、大切なお子さんの合格の為にプロ家庭教師をご指名ください。