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＜算数　5年上　第20回＞

　第20回は『総合(第16回～第19回)』です。速さに関する問題と水そうの問題の復習です。これらの分野の問題は、多くの中学校の入試問題に出題されています。基礎をしっかり身に付けておきましょう。なお、分数は、分子/分母の形で、また、帯分数は、整数・分子/分母の形で表します。

【攻略ポイント1】

　「基本問題 第16回 速さ(2)の第3問」は、速さのつるかめ算の問題です。
　条件を整頓します。13時に出発して、4km/時(＝時速4km)の速さでa時間（速度を表す単位が時速ですから、時間を表す単位を時間にします）歩き、5/60時間(＝5分)休んでから、3km/時の速さでb時間歩きました。このとき、距離の合計は5kmになり、時間は休んだ5分を除いて、(14時30分－13時－5分＝)1時間25分＝1・25/60＝1・5/12時間かかりました。式にすると、4×a＝P km、3×b＝Q kmと、かけ算の関係が2つできて、P＋Q＝5km（積＝かけ算の答えの和）と、a＋b＝1・5/12時間（かける数の和）が与えられていますので、この問題は、つるかめ算で解くことができます
(1) 休む前の歩いていた時間を求めます。つるかめ算を使って、すべての距離を休んだ後の3km/時の速さで(1・5/12)時間歩くとします。3×1・5/12＝17/4kmになります。実際の5kmとの差は、4km/時の速さで歩いた部分があったからですので、(5－17/4)÷(4－3)＝3/4より、3/4時間＝45分が、4km/時の速さで歩いた時間です。よって、休んだ5分を加えて、13時＋45分＋5分＝13時50分が、再び歩き始めた時刻になります。
　いくつかの段階を経る問題では、何を求めるのかに注意しましょう。この問題であれば、13時45分を問題の答えにしないように気をつけてください。
(2) 休んだ地点は、4km/時の速さで3/4時間歩いた地点です。4×3/4＝3より、家から3kmのところです。

【攻略ポイント2】

　「基本問題 第17回 容器と水量(1)の第3問」は、水そうの問題です。容器の形から、水の体積＝底面積×深さ の計算と、水の入れ方から、水の体積＝毎分○L×□分 の計算を組み合わせて考えます。
(1) グラフより、(Aの部分とBの部分ともに) 水そうの仕切りの高さ32cmまで、16分で水がたまることがわかります。容器の形と水の入れ方から、40×80×32＝○L×16分 という関係になります。よって、○＝40×80×32÷16＝6400立方cmより、毎分6.4Lの割合で水を入れました。40×80×32の計算を先にしてしまわないで、最後に16で割るところまでまとめてすることに注意しましょう。そのうえで、分数の約分を利用すると、計算が早く確実にできます。
(2) 水そうのAの部分に、仕切りの高さ32cmまで水が入るのは、グラフより7分とわかります。よって、40×X×32＝6400×7 という関係になりますので、X＝6400×7÷(40×32)＝35より、Xは35cmです。

【攻略ポイント3】

　「基本問題 第18回 旅人算とグラフ(1)の第3問」は、旅人算とグラフ(ダイヤグラム)の問題です。ダイヤグラムでは、グラフの直線を使った直角三角形に注目して考えます。
　まず、兄と弟の速さを求めます。兄は、家と駅の間を12分で往復することから、片道にかかった時間は6分ですので、900mの距離を6分で進みます。よって、兄の速度は、900÷6＝150m/分です。また、弟は、900mを18分で進みます。弟の速度は、900÷18＝50m/分です。
　グラフより、駅からもどってくる兄と、駅に向かう弟がa時間後に出会い、その場所は、家からの距離がbメートル(m)のところ となります。兄と弟の進んだ距離の合計は、家から駅までの距離の往復分である、900×2＝1800mになっています。ダイヤグラムでわかりづらい場合は、2人の動きを線で表した状況図(線分図)を自分でかいてみてもよいでしょう。
　進んだ距離の和を考えますので、速度も和を使います。1800÷(150＋50)＝9より、aは9(分)です。また、弟が9分で進んだ距離がbですから、50×9＝450より、bは450(m)です。

　「基本問題 第19回 旅人算とグラフ(2)の第3問」は、前問と同様、旅人算とグラフ(ダイヤグラム)の問題です。
　はなれたA地点とB地点から、90ｍ/分の速度の兄と60ｍ/分の速度の弟が向かい合って往復する問題です。aは、AB間の距離を表しています。兄と弟は、向かい合って同時に出発してから15分で出会いますので、(90＋60)×15＝2250より、aは2250(m)です。bは、兄と弟が2回目に出会った時間を表しています。第19回の必修例題4（予習シリーズ178ページ）で学習しましたように、出発してから2回目の出会いにかかる時間は、1回目の出会いにかかる時間の3倍の時間です。よって、15×3＝45より、bは45(分)です。cは、2回目に出会った場所がA地点から何mはなれているかを表しています。B地点から出発した弟は、45分でAB間の2250mとA地点からcまでの合計の距離を進みます。60×45＝2700mですから、2700－2250＝450より、cは450(m)です。

　今回の総合は、はじめに述べましたように、中学入試においてもよく出題される内容です。特にグラフの読み方が重要になっていますので、グラフ問題を中心に取り上げました。しっかり身につけてください。

＜算数　4年上　第20回＞

　第20回は『総合(第16回～第19回)』です。等差数列、つるかめ算、四角形や三角形の面積について復習します。

【攻略ポイント1】

　「基本問題 第16回 等差数列の第3問」は、ご石を並べた問題です。
　問題にある図において、ご石のならべ方から規則を見つけます。1番目は3個、2番目は5個、3番目は7個、となっています。4番目にはどのようになるかを考えると、はじめの個数が3個で、2個ずつ増えていく等差数列であることが見つかります。
(1) 1番目から7番目まで、（2個ずつ増えていく）間が7－1＝6か所ありますので、3＋2×6＝15より、7番目にならぶご石の個数は、15個です。
(2) この数列にでてくる個数は、すべて奇数（2でわって1あまる数）ですから、30個をこえて、31個になるときを考えます。□番目の個数が31になる式を作ると、3＋2×(□－1)＝30となります。逆算すると、□－1＝(31－3)÷2＝28÷2＝14ですから、□＝14＋1＝15より、ご石の数がはじめて30個をこえるのは、15番目です。
(3) 10個目の図形では、3＋2×(10－1)＝21個のご石を使いますので、1番目から順に、使われているご石は、3＋5＋7＋…＋17＋19＋21の合計の個数です。等差数列の和の公式より、(3＋21)×10÷2＝120より、ご石は、120個必要です。

【攻略ポイント2】

　「基本問題 第17回 つるかめ算(1)の第3問」は、弁償算といわれる、つるかめ算の応用問題です。
　的に当たると10点得点し、はずれると4点ひかれるゲームです。
(1) 30回のうち、21回的に当ったので、10×21＝210点得点します。ところが、(30－21＝)9回はずれていますので、4×9＝36点ひかれます。よって、210－36＝174より、得点は174点です。
(2) 50回すべて的に当たると、10×50＝500点の得点になります。しかし、はずれが1回あると、得点が10点得られず、その上で4点ひかれますから、的に当たったときとくらべて10＋4＝14点減ることになります。
実際の得点は374点ですから、500－374＝126点減ったことになりますので、126÷14＝9より、9回はずれたとわかります。よって、50－9＝41より、的に当たったのは、41回です。なお、この問題では、はずれた回数を問われる問題もありますので、求めるものが何かをしっかり読みましょう。

【攻略ポイント3】

　「基本問題 第18回 四角形の面積の第3問」は、四角形の面積の応用問題です。
　長方形から2つの正方形をとりのぞいた図形の問題です。
(1) 問題の図形で、直線ABで2等分された2つの部分のうち、左の部分の面積を求めて、2倍することにより、図形全体の面積が求められます。1辺3cmの正方形を切り取りましたが、切り取る前は台形になっています。この台形の、上底の長さは3＋3＝6cm、下底の長さは4cm、高さは3＋5＝8cmです。よって、台形の面積は、(6＋4)×8÷2＝40平方cmです。また、切り取った正方形の面積は、3×3＝9平方cmですから、左の部分の面積は、40－9＝31平方cmです。したがって、31×2＝62より、この図形全体の面積は、62平方cmです。
(2) 2つの正方形を切り取る前の長方形を考えます。62平方cmに、9平方cmと、7×7＝49平方cmの2つの正方形を加えた、62＋9＋49＝120平方cmが、長方形の面積です。
この長方形のたての長さは、8cmですから、横の長さは、120÷8＝15cmでした。4＋□＋7＝15ですので、15－(4＋7)＝4より、□は4cmです。与えられた長さだけでは解き進められない場合は、見方の切り替えが必要です。この問題で、2等分された部分の1つを考えたように、また、切り取る前の長方形を考　えたように、図形を見る視野を広く持つことを心がけましょう。

　「基本問題 第19回 三角形の面積の第3問」は、三角形の面積の応用問題です。
　長方形ABCDと直角三角形EBAを組み合わせた図形の問題です。
(1) 三角形AFCにおいて、底辺をAF＝2cmとするときの高さは、底辺と高さは直角の関係にあることから、BC＝12cmが高さになります。よって、2×12÷2＝12より、三角形AFCの面積は、12平方cmです。
(2) 三角形ABCと三角形EBCは、底辺(BC)と高さ(AB)がどちらもそれぞれ同じ長さですので、面積も等しい三角形です。この2つの三角形から、共通部分の三角形FBCを引いた残りである、三角形AFCと三角形EFBの面積は等しくなっています。よって、三角形EFBの面積は(1)で求めた12平方cmです。この三角形EFBで、FBを底辺としたときの高さはEA＝4cmなります。よって、FB×4÷2＝12より、FB＝12×2÷4＝6です。よって、FBの長さは6cmです。

　今回は、基本問題の中でも、少し難しい問題を取り上げました。基礎知識をどのように使って解いていくのかが、おわかりいただけましたでしょうか。

　われわれ中学受験鉄人会のプロ家庭教師は、常に100％合格を胸に日々研鑽しております。ぜひ、大切なお子さんの合格の為にプロ家庭教師をご指名ください。