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第18回は『総合』です。速さ(2)、立体図形(2)、論理・数の操作の復習です。基本問題・練習問題から、注目すべき問題を取り上げてみましょう。なお、分数は、分子/分母の形で表します。
1つ1つ、自分の持っている知識と照らし合わせて進めます。そのためには、問題文をきちんと読み取ることが重要です。
N進法を考えます。
マスを黒色にぬって整数を表すN進法の問題です。左はしのマスが1で、右となりのマスに移るのが2ですので、2進法と判断できます。そこで、黒色にぬったマスは、左はしから、1、2、(2×2＝)4、(2×2×2＝)8、(2×2×2×2＝)16 となります。
(1) 左から、1番目、3番目、5番目が黒色ですので、1＋4＋16＝21 より、このマスが表している整数は、21です。
(2) 予習シリーズ177ページにあります、割り算を逆向きに進める(すだれ算)方法で、13を2でわっていきます。予習シリーズ別冊解答102ページを参照してください。結果として、10進数の13は、2進数で1101となります。ただし、このマスは小さい位から表していることに注意してください。1011の順で1が黒色になりますので、黒白黒黒となります。
別解として、上で説明した、マスの表す1、2、4、8、16を使った和で13を表すと、13－8＝5、5－4＝1 より、13＝1＋4＋8 となりますので、それぞれを表すマスを黒色にすることでも求められます。
(3) (2)の別解のように、上で説明した流れで、左から6個目のマスを考えると、(2×2×2×2×2＝)32となりますので、32の1つ前の31まで表すことができます。
(4) 同様に、7個目のマスは、32×2＝64、8個目のマスは、64×2＝128、となります。よって、129＝128＋1より、129の整数は、左から1番目と8番目のマスを黒色にすればよいことになります。つまり、8個のマスが必要です。
論理問題を考えます。文字や言葉を使って、条件を整頓して考えます。
男子を□、女子を〇として、A、Cの発言より、「5年生は、□・□・〇、6年生は、□・〇」とわかります。Dの発言より、「5年生は、A・D・?」または、「6年生は、A・D」、Bの発言より、BとCは学年が異なり、性別も異なりますので、6年生には、BかCがいます。結果、「5年生は、□=B、□=D、〇＝A」で、「6年生は、□=E、〇=C」となります。よって、Cは、6年生の女子で、Eは、6年生の男子です。
歩数・歩幅の問題を考えます。
与えられた歩数・歩幅の関係から速度比を考えて解く速さの問題です。妹と兄の歩幅の比は、1/4：1/3＝3：4で、同時間に進む、妹と兄の歩数の比は、3：4です。歩幅×歩数＝距離で、この距離の比は、同時間では、速度比になります。
(1) 妹と兄が出会うまでに進んだ距離の比は、(3×3)：(4×4)＝9：16ですので、1km＝1000m より、1000÷(9＋16)×9＝360で、妹は20分で360m進みます。よって、360÷20＝18 より、妹の速さは、分速18mです。
(2) 妹の進む360mは、36000cm÷30cm＝1200 より、1200歩です。また、同時間に進む、妹と兄の歩数の比は、3：4ですから、1200÷3×(3＋4)＝2800 より、兄と妹が出会うまでに進む歩数の合計は、2800歩です。
予習シリーズ6年上は、以上で終了です。夏を復習、弱点補強に有効利用してください。
第20回は『総合(第16回～第19回)』です。旅人算についての問題、数列と数表の問題、図形上の点の移動の問題の復習です。なお、分数は、分子/分母の形で、また、帯分数は、(整数と分子/分母)の形で表します。
今回の総合は、難易度が高いと思いますので、問題文をよく読んで、自分の持っている知識をいかに使っていくかが、ポイントになります。しっかり取り組みましょう。
速さのグラフでは、直角三角形の読み取りが基本となります。グラフより、2人のそれぞれの速さが読み取れます。A地点から出発した人は、15分で2400m進みますので、2400÷15＝160 より、分速160mです。また、B地点から出発した人は、30分で2400m進みますので、2400÷30＝80 より、分速80mです。この2人が、A地点、B地点から同時に向かい合って出発します。2400÷(160＋80)＝10 より、出会う時間xは10(分)です。また、yは、A地点から出発した人の10分で進んだ距離です。160×10＝1600 より、yは、1600(m)です。
2人の間の距離の関係を表したグラフの問題です。このグラフのポイントは、グラフの線が横軸に着くときに、(姉と妹の)2人が出会ったことを表しています。つまり、同時に出発して、12分後に2人は出会います。また、22分後のグラフの変化は、姉がB地点に到着したことを、x分後に妹がA地点に到着したことを表しています。なお、グラフよりAB間の距離は3300mです。これらのことから、姉の速さは、3300÷22＝150 より、分速150mです。また、2人は12分で出会いましたので、3300÷12＝275 より、2人の速さの和は、分速275mですから、妹の速さは、275－150＝125 より、分速125mです。3300÷125＝26.4 より、妹がA地点に到着した時間xは、26.4(分)です。22分後は、出会ってから(22－12＝)10分後に2人が離れている距離は、275×10＝2750 より、yは2750(m)です。
5の倍数でない整数をならべた数列の問題です。この数列は、5で割ったときのあまり、1、2、3、4となる整数を1つの組(群)とした群数列です。つまり、(1,2,3,4)、(6,7,8,9)、(11,12,13,14)、…… となります。また、5で割ったときの商について、1組は商が0の組、2組は商が1の組、3組は商が2の組、…… です。このことをしっかり理解することがポイントになります。
(1) 99÷5＝19あまり4 より、20組の4番目です。よって、4×20＝80 より、99は80番目にあります。
(2) 99÷4＝24あまり3 より、(24＋1＝)25組の3番目の整数です。25組は、5で割った商が24の組ですので、5×24＋3＝123 より、99番目の整数は123となります。
Oを中心とする大小2つの円の円周上を点P、Qが動く問題です。
(1) 角速度を求めます。点Pは、円を1周(＝360度)するのに30秒かかりますので、360÷30＝12 より、毎秒12度の割合で回転します。点Qは、円を1周するのに20秒かかりますので、360÷20＝18 より、毎秒18度の割合で回転します。
(2) 3点P、Q、Oが一直線上にならぶのは、はじめ180度はなれていた2点PとQが向かい合って進み、点Oからみて同じ位置になったときです。よって、2点P、Qが合わせて180度進んだときです。 180÷(12＋18)＝6 より、出発してから6秒後です。
予習シリーズ5年上は、以上で終了です。夏を復習、弱点補強に有効利用してください。
第20回は『総合(第16回～第19回)』です。約数・倍数、つるかめ算、立方体と直方体について復習します。練習問題を取り上げてみましょう。
問題文をていねいに読み取ることが大切になります。質問されていることが何かがわかれば、後は学習済みの解き方で正解まで進めるはずです。文末まで、きちんと読み取ることを習慣づけましょう。また、内容を整頓すること(約数、倍数におけるベン図など)を心がけてください。
倍数の個数の問題です。1から200までの整数を考えます。3でわり切れる整数は3の倍数です。同様に、7でわり切れる整数は7の倍数です。
(1) 3の倍数は200までの整数の中に、200÷3＝66あまり2 より、66個あります。また、7の倍数は200までの整数の中に、200÷7＝28あまり4 より、28個あります。「3または7でわり切れる整数の個数」は、3の倍数の個数と7の倍数の個数の合計ですが、どちらにもふくまれる、3と7の公倍数の個数を引かなければなりません。「公倍数は、最小公倍数の倍数」ですから、3と7の最小公倍数である21の倍数は、200÷21＝9あまり11 より、9個あります。よって、66＋28－9＝85 より、3または7でわり切れる整数は85個あります。
(2) 「3か7のどちらか一方でしかわり切れない整数の個数」は、3の倍数の個数と7の倍数の個数から、それぞれ3と7の公倍数の個数をのぞいた個数です。ベン図をかいて関係を理解しましょう。よって、66－9＋28－9＝76 より、76個です。
つるかめ算の問題です。一見、テープをつなぐ植木算の問題と思いがちですが、問題文をきちんと読み整とんしていくとわかってきます。1まいの長さが5cmの紙テープを20まいつなげていきます。のりしろを2cmにしてつなげていく予定でしたが、とちゅうからあやまって、のりしろを1cmにしたのでつなぎ合わせたテープ全体の長さが75cmになりました。
(1) 20まいのテープをつなぐためには、のりしろは、(20－1＝)19か所です。5×20－2×19＝62 より、つないだテープ全体の長さは62cmになります。
(2) のりしろの長さを2cmから1cmにかえると、1か所について、2－1＝1cm長くなります。(1)の結果より、実さいは、(75－62＝)13cm長いのですから、13÷1＝13 より、のりしろを1cmにしたのは、13か所です。
約数・倍数の問題です。たて48cm、横36cm、高さ30cmの直方体の箱があります。
(1) この箱に、なるべく大きな同じ大きさの立方体をすきまなくつめます。立方体の1辺の長さを□cmとすると、48÷□＝ア、36÷□＝イ、30÷□＝ウ となってわり切れることになります。□は48、36、30の約数で、同じ数ですから公約数です。そして、なるべく大きな長さ(数)ですから、最大公約数です。 最大公約数は6で、このとき、ア＝8、イ＝6、ウ＝5となり、これらの数は、たて、横、高さにならべた個数になっていますので、8×6×5＝240 より、立方体が240個必要となります。
(2) この箱を、向きをかえずに積み上げて、立方体を作ります。このときの立方体の1辺を〇cmとすると、48×エ＝○、36×オ＝○、30×カ＝○ となりますので、○は、48、36、30の共通の倍数、つまり公倍数です。箱の数は「少なくとも」という問いですので、1辺の長さをなるべく短くしますので、○は最小公倍数ということになります。最小公倍数は720で、このとき、エ＝720÷48＝15、オ＝720÷36＝20、カ＝720÷30＝24 です。これらの数は、箱をたて、横、高さに積み重ねた個数です。よって、15×20×24＝7200 より、箱は少なくとも7200個必要です。
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