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算数予想問題
第12回は『流水算・通過算』です。流水算は、流れのある川を船が進む場合の速度・時間・距離を考える問題です。通過算は、電車が鉄橋やトンネルを通過する場合、また他の電車との出会いや追い越しをする場合の速度・時間・長さを考える問題です。なお、分数は、分子/分母の形で表します。また、帯分数は、整数・分子/分母の形で表します。
流水算では、説明上の用語として、川の流れの速さは「流れの速度」、流れのないところ(静水時)での船の速さは「静水時の速度」と表すことにします。速度に関しての基本は2つです。
船が、川の流れの方向と同じ方向(下り)に進むときは、下りの速度＝静水時の速度＋流れの速度、川の流れと反対の方向(上り)に進むときは、上りの速度＝静水時の速度−流れの速度となります。
「必修例題1」は、流水算の基本問題です。
「必修例題2」も、基本的な問題です。下りの速度と上りの速度から、静水時の速度、流れの速度を求める解き方を学習します。下りの速度は、静水時の速度と流れの速度の和であり、下りの速度は、静水時の速度と流れの速度の差になっていますから、和差算を利用して、静水時の速度＝(上りの速さ＋下りの速さ)÷2、流れの速度＝(下りの速さ−上りの速度)÷2、で求めることができます。上りの速度は、42km÷3時間＝14km/時、下りの速度は、42km÷1・3/4(1時間45分)＝24km/時です。よって、和差算により、静水時の速度は、(24＋14)÷2＝19km/時 です。また、流れの速度は、(24−14)÷2＝5km/時 です。
「必修例題3」は、比を利用した流水算です。AB間の距離は同じですから、時間比の逆比として速度比(下りと上りの速度比)を求め、この速度比から流れの速度を出します。ここで、実際数量の流れの速度＝2.4㎞/時にあわせて、実際の下りの速度(上りの速度)を求めます。下りと上りの速度比 1/25：1/45＝9：5 ですから、下りの速度を9、上りの速度を5とすると、流れの速度＝(9−5)÷2＝2 で、これが2.4km/時にあたります。よって、下りの速度は、2.4÷2×9＝10.8km/時 となります。A町からB町までの距離は、10.8km/時×25/60時間＝4.5kmです。
「必修例題4」は、反対方向に進む2つの船Aと船Bをダイヤグラムに表した問題です。旅人算で学習したように、出会いの問題では、速度は船Aと船Bの上りと下りの速度の和になりますが、流水算では、下りの速度＋上りの速度＝(静水時の速度＋流れの速度)＋(静水時の速度−流れの速度)＝静水時の速度＋静水時の速度となりますので、解法上、流れの速度は関係しない、ということがこの問題のポイントになります。
通過算は、例えば、電車の先頭や最後尾での点の動きを、動いた長さとして考えます。そこで、通過距離＝電車の長さ＋通過物体(鉄橋、トンネル、他の電車)の長さとして考えることがポイントになります。また、速度単位について、問題文では時速○kmで与えられますが、問題を解く上では、秒速△mを使用することがほとんどですので、単位換算ができるようにしておきましょう。
「必修例題5」は、通過算の基本問題です。90km/時は、90km＝90000m、1時間＝3600秒ですから、90000÷3600＝25m/秒(秒速25m)です。また、通過算の成り立ちをより明確に理解するために、予習シリーズ117ページの解き方にある図を参照してください。
「必修例題6」は、2つの電車が、すれちがったり、追いこしたりする、電車の旅人算です。これらの場合の通過距離は、2つの電車の長さの和になります。予習シリーズ117ページの解き方にある図を参照してください。
第12回は『消去算』です。大きさのわからない数量(＝未知数といいます)が2つある問題で、一方の数量をそろえて消し去る(消去する)ことにより、残ったもう一方の数量の関係から未知数の片方を求める問題です。消去する方法は2通り(加減法・代入法)あります。具体的に問題を使って説明します。まずは、式を使って問題内容を整頓します。
「必修例題1」では、大＝大人1人分の入園料、子＝子ども1人分の入園料として、大×1＋子×4＝440円…A、大×2＋子×5＝700円…B、と整頓します。
次に、Aの式全体を2倍して、大人を2人分にそろえます。つまり、A×2＝大×2＋子×8＝880円として、Bの式とくらべます。880円と700円の差は子ども8人分と5人分の違いです。よって、(880−700)÷(8−5)＝60より、子ども1人分の入園料は60円となります。そこで、子ども1人分の入園料60円をAの式に代入して、440−60×4＝200より。大人1人分の入園料は、200円と求められます。
このように、子どもの入園料分だけで考えられるように、一方の数量(大人1人分の入園料)を引いて(加える場合もあり)なくす方法を、加減法といいます。
「必修例題2」も加減法ですが、数量をそろえる場面で最小公倍数を利用するところがポイントです。
ボ＝ボールペン1本の値段、え＝えんぴつ1本の値段として、ボ×2＋え×7＝790円…A、ボ×3＋え×5＝800円…B、と整頓します。ボールペンの本数を2と3の最小公倍数である6本にそろえます。そのためには、Aの式全体を3倍、Bの式全体を2倍します。A×3＝ボ×6＋え×21＝2370円、B×2＝ボ×6＋え×10＝1600円 となります。
この2つの式から、(2370−1600)÷(21−10)＝70より、えんぴつ1本の値段は70円と求められます。また、この70円をAの式に代入して、 (790−70×7)÷2＝150より、ボールペン1本の値段は150円です。
「必修例題3」では、ジ＝ジュース1本の値段、ケ＝ケーキ1個の値段として、ジ×3＋ケ×1＝420円…A、ケ×1＝ジ×1＋60円…B、と整頓します。
次に、Aの式をジュースだけの関係の式にします。Bの式(ケ×1＝ジ×1＋60)から ジ×3＋ケ×1＝ジ×3＋ジ×1＋60 となり、まとめると ジ×(3＋1)＋60＝420 となります。よって、(420−60)÷4＝90より、ジュース1本は90円と求められます。また、Bの式から、90＋60＝150より、ケーキ1個の値段は150円です。
このように、ケーキの値段の代わりにジュースの値段を利用して表す(代わりに式に代入する)方法を、代入法といいます。
「必修例題4」では、リ＝リンゴ1個の値段、メ＝メロン1個の値段として、リ×3＋メ×2＝1040円…A、メ×1＝リ×2＋100円…B、と整頓します。
Bの式から、Aの式の メ×2の部分は (リ×2＋100)×2＝リ×4＋200 となります(計算法則の中の分配のきまり)。結果、Aの式は リ×3＋リ×4＋200＝1040 となります。よって、 (1040−200)÷(3＋4)＝120より、リンゴ1個の値段は120円です。そこで、Bの式から、120×2＋100＝340より、メロン1個の値段は340円と求められます。
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