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＜算数　6年生　第37回＞

　第37回のテーマは「立体図形　立体図形①」です。今回は「立体図形の切断」[見取図、展開図、投影図」「回転体の表面積と体積」「相似な図形の面積比と体積比」を扱います。

　立体図形の切断については「切断の原則」を使って考えていきますが、習うよりも慣れよという側面があるため、ある程度は失敗をしながら書く練習をしていきましょう。

　また、立体図形を見取図、展開図、投影図で表す方法は表現方法というだけにとどまらず、問題を解くときにいろいろな場面で使っていきます。たとえば、立体図形の側面にそって最短距離で糸を巻いたときのようすは、見取図よりも展開図にした方がわかりやすくなります。

　したがって、立体図形をいろいろな形で表していくことは、線分図と同じように問題を解くための道具であるという意識を強く持って学びましょう。同様にして相似な図形の相似比、面積比、体積比も問題を解くための道具です。比を使う方法も含めて、いろいろな視点から問題が解けるよう練習しましょう。

【対策ポイント】

　「学び1」では立体の切断に関する2つの原則について学びます。480ページを見てみましょう。2つの原則を使って立体の切断面の書き方について説明します。

「その1　1つの平面と、別の1つの平面の交わりは、直線になる」
「その2　平行な2つの平面と、別の1つの平面が交わってできる線は、平行になる」

　ここでは492ページの問5①を使って、立体の切断について確認していきます。ア～エでは立方体をＰ、Ｑ、Ｒを通る1つの平面で切断します。

　はじめにアです。説明のために立方体にアルファベットをつけます(この後、イ～エについても同様にします)。上にある正方形の頂点の左上をＡ、左下をＢ、右下をＣ、右上をＤとします。同じように下にある正方形の頂点の左上をＥ、左下をＦ、右下をＧ、右上をＨとします。図ではＡのところにＱ、ＢのところにＰ、ＧのところにＲが書かれています。

　立方体の上の平面はＰ(Ｂ)、Ｑ(Ａ)を通る平面と交わるため、Ｐ、Ｑを直線で結びます(2つの原則のその1)。同様に立方体の前の平面はＰ(Ｂ)、Ｒ(Ｇ)を通る平面と交わるため、Ｐ、Ｒを直線で結びます。

　このように2つの原則のその1は「同一平面上にある2点は直線で結ぶことができる」と解釈することもできます。

　次に立方体の前の平面と後ろの平面に注目します。平行な2つの平面と、別の1つの平面が交わってできる線は平行になる(2つの原則のその2)ため、後ろの平面に、Ｑ(Ａ) を通り直線ＰＲと平行になるように直線を書きます。するとこの直線はＨを通ることがわかります(直線ＰＲと直線ＱＨが平行になっていることを確認しましょう)。

　最後に同一平面上にあるＨとＲ(Ｇ)を結ぶと長方形(ＡＢＧＨ)の切り口が見えてきます。

　次にイです。立方体の上の平面はＰ、Ｑを通る平面と交わるため、Ｐ、Ｑを直線で結びます。また、立方体の前の平面上にあるＰ、Ｒ、右の平面上にあるＱ、Ｒをそれぞれ直線で結びます。すると切り口の三角形ＰＱＲはＰＲの長さとＱＲの長さが同じ二等辺三角形となります。

　次にウです。立方体の上の平面上にあるＰ、Ｑを直線で結びます。また、立方体の右の平面上にあるＱ、Ｒを直線で結びます。ここで、立方体の上の平面と下の平面に注目します。平行な2つの平面と、別の1つの平面が交わってできる線は平行になるため、下の平面に、Ｒ を通り直線ＱＰと平行になるように直線を書きます。するとこの直線はＥＦの中点(この点をＳとします)を通ることがわかります。

　最後に左の平面上にあるＰとＳを結ぶと正方形(ＰＱＲＳ)の切り口が見えてきます。

　次にエです。立方体の上の平面上にあるＰ、Ｑを直線で結びます。また、立方体の後ろの平面上にあるＱ、Ｒを直線で結びます。ここで、立方体の上の平面と下の平面に注目します。平行な2つの平面と、別の1つの平面が交わってできる線は平行になるため、下の平面に、Ｒを通り直線ＰＱと平行になるように直線を書きます。するとこの直線はＦを通ることがわかります。左の平面上にあるＰとＦを結ぶと、ＰＱとＦＲが平行で、ＰＦとＱＲの長さが等しい等脚台形(ＰＱＲＦ)の切り口が見えてきます。

　次に482ページを見てみましょう。立方体を切断したときの体積について考えていきます。ここでは自由にいろいろな切断を考えて、切り離した立体の体積を考えていきますが、その例として492ページの問5②を紹介します。

　図のア～ウのように立方体を切断した場合のＡを含む立体の体積を求めていきます。ア～ウの立方体はすべて1辺の長さが1cmで、辺上にある点(・)は、それぞれの辺の真ん中の点を示しています。

　アでＡを含む立体は三角すいです。三角すいの底面は1辺の長さが1cmの正方形の半分で、高さは1cmです。したがって、三角すいの体積は、1×1×1/2×1×1/3＝1/6㎤となります。

　イでＡを含む立体は三角柱です。三角柱の底面は直角二等辺三角形で直角をはさむ等しい辺の長さが1÷2＝1/2cmです。三角柱の高さは1cmです。したがって、三角柱の体積は、1/2×1/2×1/2×1＝1/8㎤となります。

　ウでＡを含む立体は三角すいです。三角すいの底面は直角二等辺三角形で直角をはさむ等しい辺の長さが1÷2＝1/2cmです。高さは1cmです。したがって、三角すいの体積は、1/2×1/2×1/2×1×1/3＝1/24㎤となります。

　「学び2」では立体図形のいろいろな表し方について学びます。はじめに入試でもよく使われる立体図形の3つの表現方法について説明します。

　1つ目は見取図です。見取図とは立体の形がわかるように見たようすそのままを平面上に書いたものです。2つ目は展開図です。展開図とは立体図形を辺で切り開いて平面に示した図のことです。3つ目は投影図です。投影図とは正面から見たようすと真上から見たようすを平面に示した図のことです。また投影図では側面から見たようすを平面に示した図が付け加わる場合もあります。

　488ページの図を使って、立体図形の3つの表現方法について確認していきましょう。Ａは円柱を切り開いた展開図です。Ｂは直方体の見取図です。Ｃは三角すいの見取図です。Ｆは上の図が正面から見た図で、下の図が真上から見た図です。真上から見た図が正方形のため、この図は正四角すいの投影図です。Ｇは円すいを底面に平行な平面で切った円すい台(プリンの形)の見取図です。

　次に回転体について説明します。回転体とは軸の周りで平面図形を回転させて作った立体図形です。485ページの「やってみよう！」を見てみましょう。

　実際に回転体を書いてみましょう。左の図を見てください。回転の矢印がついている直線が「軸」です。直角三角形を、軸を中心に1回転させます。はじめに直角三角形の頂点に点を書きましょう。次に軸に対して線対称(軸を鏡にして、鏡に映るように)に直角三角形を書きます(点も書きましょう)。 次に対応する点(実物の点と鏡に映った点)を横に長いだ円で結びます。実際に見えない部分の線は点線で書くとより立体的に見えます。すると、円すいの形になります。

　同じように書いてみると、真ん中の図は大きな円柱の真ん中から小さな円柱を取り除いた図形になります。右の図は大きな円柱の上に小さな円柱がのっている図形になります。

　回転体は軸の周りに平面図形を1回転させるため、底面や軸に垂直な平面で切ったときの切り口は丸い形になります。このように対応する点をだ円で結ぶだけで特徴を捉えた回転体を書くことができます。

　回転体の表面積や体積を求めるときには、決まった形(〇〇柱や〇〇すい)の立体図形と同じように考えていきます。左の図では円すいと同じように考えていきます。真ん中と右の図では大きな円柱と小さな円柱に分けて考えて付け加えたり取り除いたりして考えるとよいでしょう。

　「学び3」では相似な図形の面積比、体積比について考えていきます。486ページを見てみましょう。左上の図は相似比(辺の長さの比)が1：3の正方形です。右上の図の影のついた部分は面積を表していて、面積比は(1×1)：(3×3)＝1：9となります。また下の図の影のついた部分は体積を表していて、体積比は(1×1×1)：(3×3×3)＝1：27となります。

　このことから相似な図形の相似比、面積比、体積比は次のようになります。

相似比　Ａ：Ｂ
面積比(Ａ×Ａ)：(Ｂ×Ｂ)
体積比(Ａ×Ａ×Ａ)：(Ｂ×Ｂ×Ｂ)

　493ページの問6⑤を使って、相似な図形の体積比の使い方を考えてみましょう。アの円すいを見てみましょう。円すいが底面に平行な平面でＡの部分とＢの部分に切り分けられています。ＡとＢの部分を合わせたもとの円すいとＡの部分は相似で、相似比は母線の長さを比べて、(3＋3)：3＝6：3＝2：1となります。このことから体積比は(2×2×2)：(1×1×1)＝8：1となります。

　もとの円すいはＡとＢの部分からできていることからＢの部分の体積比は、もとの円すいの体積比の8からＡの部分の体積比を取り除いて、8－1＝7となります。したがって、Ａの部分の体積とＢの部分の体積の比は1：7となります。

　Ｂの部分の体積を求める問題では、もとの円すいの体積からＡの部分の体積を取り除く方法の他に、Ａの部分とＢの部分の体積比が1：7であることを利用して、Ａの部分の体積(比の1にあたる体積)を求めて、その体積を7倍することで求めることもできます。

　次に489ページの「やってみよう！」を見てみましょう。ここではいろいろな立体図形の体積比を求めていきます。

　488ページの図を見てみましょう。例えばＡとＢの体積比を求めてみましょう。Ａは円柱で体積は3×3×3.14×12という式で求めることができます。Ｂは直方体で体積は6×4×10という式で求めることができます。したがってＡとＢの体積の比は(3×3×3.14×12)：(6×4×10)＝(3×3×3.14)：(2×10)＝28.26：20＝2826：2000＝1413：1000となります。

　このようにいろいろな立体図形の体積比を考えるときには、はじめに式の形で表し、約分の考え方を使って比を簡単にしていくとよいでしょう。

　演習としては490ページのから493ページまでは必修です。496ページの問1、497ページの問3、問4、498ページの問6、問7、499ページの問10、500ページの問11、問13にも取り組みましょう。その他、499ページの問8、問9は立体図形を2回切断する問題です。502ページの問16、問17は立方体を組み合わせた立体図形の切断です。余裕があれば取り組んでみましょう。

＜算数　5年生　第37回＞

　第37回のテーマは「割合　割合と線分図② ～相当算～」です。今回の内容は「割合の文章を線分図に表す」「もとにする量が複数あるときの線文図の書き方」です。文章題では線分図による解法を最も活用します。

　このとき注意しなければならないのは「割合を表す数」「具体量を表す数」を区別して書くことです。また、割合に関してはもとにする量と比べる量を組み合わせて考えていきます。もとにする量が変わる場合は、もとにする量と比べる量を組み合わせを区別して表していきます。そして、割合を表す数や具体量を表す数には、「その数が何を表しているのか」の説明を付け加えます。

　このようにして、複雑な文章題を線で表し、解きやすい形にしていきます。こうすることで、必要な情報だけを取り出すことができ、効率よく問題を解くことができます。線分図は文章題を解くときの基本的な解法です。必ず身につけましょう。

【対策ポイント】

　「学び1」では割合を線分図で表してみます。370ページの【状況1】【状況2】を線分図で表してみましょう。

　はじめに【状況1】です。【状況1】では「おこづかいの6割で1200円の本を買いました」とあるため、おこづいかいをもとにする量とします。おこづかいを1とすると本の値段の割合は1×0.6＝0.6となります。

　このことを線分図で表してみましょう。適当な長さに線を引いて、全体を「1」とします。1はおこづかいの金額を表しているため1のところに「おこづかい」と書きましょう。また、線分図の左側から0.6の長さまでを本の値段の割合とします。線分図の左側から0.6の長さのところで区切って「0．6」と書きましょう。また、0.6は本の値段の1200円のため、線分図の0.6のところに「本の値段1200円」と書きましょう。これで線分図は完成です。

　線分図を書くときには文章にある割合がどの量をもとにした割合なのかを常に考えましょう。そして、線分図には割合の数値だけではなく、その割合が何を表すのか、言葉を書き込みましょう。さらに、割合の数値に対する具体量がわかっている場合には、具体量も書き込みましょう。割合と具体量を関連付けることができれば、割合の1の量がわかります。

　【状況1】では割合の0.6が1200円にあたるため、割合の1は1200÷0.6＝2000円となります。したがっておこづかいは2000円となります。

　次に【状況2】です。【状況2】では「おこづかいの6割で本を買ったところ、1200円残りました」とあるため、おこづいかいをもとにする量とします。おこづかいを1とすると本の値段の割合は1×0.6＝0.6となります。

　【状況1】と違うところは本の値段(割合の0.6)が1200円ではなく、残りのお金が1200円というところです。このことを線分図で表してみましょう。

　適当な長さに線を引いて、全体を「1」とします。1はおこづかいの金額を表しているため1のところに「おこづかい」と書きましょう。また、線分図の左側から0.6の長さまでを本の値段の割合とします。線分図の左側から0.6の長さのところで区切って「0．6」と書き、「本の値段」と説明を書き込みましょう。さらに、残った金額の割合は1－0.6＝0.4のため、線分図の0.6の右側に「0.4」と書き込み「残り1200円」と書き込みましょう。

　すると割合の0.4にあたる量が1200円であることから、割合の1は1200÷0.4＝3000円となり、おこづかいの金額は3000円となります。このことから、本の値段はおこづかいの0.6にあたるため、3000×0.6＝1800円となります。

　「学び2」ではもとにする量が複数ある場合の線分図の書き方について学びます。372ページの【状況3】を見てみましょう。【状況3】ではたくじさんのおこづいかいの使い道が3通り書かれています。このような場合、もとにする量と比べる量の組み合わせを考え、線分図を書く時にも注意が必要です。3通りの使い道を時系列(出来事が起こった順)に並べると次のようになります。

①たくじさんはおこづかいをもらうと、おこづかいの1/3を貯金しました。(1日目)
②次の日(2日目)に、1日目に残ったお金の1/3でプラモデルを買いました。
③さらにその次の日(3日目)に、2日目に残ったお金の1/3を持ってお祭りに行きました。

　①から③のようすを線分図で表すと、372ページの中段にある3つの線分図のようになります。①を表すと1番上の線分図のようになります。①では「おこづかいの1/3を貯金しました」とあるため、おこづかいをもとにする量とします。線分図の「おこづかい」と書いてある部分に割合の「1」を書き込みましょう。また線分図で割合の1/3にあたる部分が「貯金」であることを確認しましょう。

　②を表すと真ん中の線分図のようになります。②では「1日目に残ったお金の1/3でプラモデルを買いました」とあるため、1日目に残ったお金をもとにする量とします。線分図の「残ったお金」と書いてある部分に割合の「1」を書き込みましょう。また線分図で割合の1/3にあたる部分が「プラモデル」であることを確認しましょう。

　③を表すと1番下の線分図のようになります。③では「2日目に残ったお金の1/3を持ってお祭りに行きました」とあるため、2日目に残ったお金をもとにする量とします。線分図の「残ったお金」と書いてある部分に割合の「1」を書き込みましょう。また線分図で割合の1/3にあたる部分が「お祭り」であることを確認しましょう。

　これらの線分図を使って、372ページの「やってみよう！」を考えてみましょう。はじめに1番上の線分図です。おこづかいを27000円とします。割合の1にあたる量が27000のため、割合の1/3にあたる量は27000×1/3＝9000円となります。したがって、たくじさんが貯金をしたお金は9000円です。このことから、1日目に残ったお金は27000ー9000＝18000円となります。

　次に真ん中の線分図です。1日目に残ったお金は18000円であることから、割合の1にあたる量が18000となります(1番上の線分図とはもとにする量が違うことに注意しましょう)。このことから割合の1/3にあたる量は18000×1/3＝6000円となります。したがって、プラモデルの値段は6000円となります。このことから、2日目に残ったお金は18000-6000＝12000円となります。

　次に1番下の線分図です。2日目に残ったお金は12000円であることから、割合の1にあたる量が12000となります(1番上の線分図、真ん中の線文図とはもとにする量が違うことに注意しましょう)。このことから割合の1/3にあたる量は12000×1/3＝4000円となります。したがってお祭りに持って行ったお金は4000円となります。こ.のことから、最後に残ったお金は12000-4000＝8000円となります。

　次に【状況4】について考えてみましょう。【状況3】と同じように3通りの使い道に分けて線分図を書いてみましょう。

①長さ何mかの布地を、はじめに全体の1/3を使いました。
②次に①の残りの1/4を使いました。
③次に②の残りの1/5を使ったら、1.2m残りました。

　①の線分図を書いてみましょう。①では「全体の1/3を使いました」とあるため全体を「1」とします。線分図の左側の1/3の部分に「1/3」と書き「はじめに使用」と書き込みましょう。①のとき残った長さの割合は1－1/3＝2/3となることから、線分図の「はじめに使用」の右側に「2/3」を書き、「①の残り」と書き込みましょう。

　次に②の線分図を書きます。②では「①の残りの1/4を使いました」とあるため①の残りを「1」とします。線分図の左側の1/4の部分に「1/4」と書き、「2回目に使用」と書き込みましょう。②のとき残った長さはの割合は1－1/4＝3/4となることから、線分図の「2回目に使用」の右側に「3/4」を書き、「②の残り」と書き込みましょう。

　次に③の線分図を書きます。③では「②の残りの1/5を使いました」とあるため②の残りを「1」とします。線分図の左側の1/5の部分に「1/5」と書き、「3回目に使用」と書き込みましょう。③のとき残った長さはの割合は1－1/5＝4/5となることから、線分図の「3回目に使用」の右側に「4/5」を書きましょう。ここで、「布地は最後に1.2m残りました」とあるため、4/5の部分に「1.2m」と書き込みましょう。

　【状況4】で布地の長さを求めてみましょう。③の線分図を見てみましょう。割合の4/5にあたる量が1.2mです。したがって割合の1にあたる量は1.2÷4/5＝1.5mとなります。これは②の残りの具体量です。

　②の線分図を見てみましょう。②の残りは割合の3/4にあたる量のため1.5mです。したがって割合の1にあたる量は1.5÷3/4＝2mとなります。これは①の残りの具体量です。

　①の線分図を見てみましょう。①の残りは割合の2/3にあたる量のため2mです。したがって割合の1にあたる量は2÷2/3＝3mとなります。これは①の線分図全体の量ではじめの布地の長さとなります。

　【状況3】でははじめにもらったおこづかい(割合の1)が27000円となることから、その後の貯金額などを計算しました。また、【状況4】では最後に残った布地の長さ(割合の4/5)が1.2mであることから、1つ前の残った布地の長さについて考えました。このように、割合の問題では情報を整理したあとで、割合と具体量が関連付けられているところから考えていきます。

　演習としては374ページは必修です。丁寧に線分図を書いて必要な数値や言葉を書き込みましょう。376ページの問1、問2、377ページの問3～5、379ページの問8、問9にも取り組みましょう。難易度の高い問題に取り組みたい場合は、378ページの問6、問7、380ページの問10、381ページの問11、問12に挑戦してみましょう。

　われわれ中学受験鉄人会のプロ家庭教師は、常に100％合格を胸に日々研鑽しております。ぜひ、大切なお子さんの合格の為にプロ家庭教師をご指名ください。