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＜算数　5年上　第11回＞

  第11回は『柱体とすい体』です。底面の形が円や三角形、四角形、などで、太さの変わらない柱のような立体である円柱、三角柱、四角柱などを柱体といいます。また、同じく底面の形が円や三角形、四角形、などで、上にのびるにつれて細くなり、最終的に点になる立体である円すい、三角すい、四角すいなどをすい体といいます。これらの立体の体積や表面積を学習します。予習シリーズの99ページ、101ページ、102ページにある、公式の説明を理解しましょう。なお、分数は、分子/分数の形で表します。

【攻略ポイント1】

　「必修例題1」は、角柱の体積、表面積を求める問題です。
　台形の部分を底面とすることにより、太さの変わらない角柱として考えることがポイントになります。体積も表面積も、計算に底面積を使用するので、まず、底面積である台形の面積を求めておきます。(5＋8)×4÷2＝26より、台形の面積は26平方cmです。
(1) 角柱の体積を求める公式は、「底面積×高さ」です。高さは6cmですから、26×6＝156より、この立体の体積は、156立方cmです。
(2) 角柱の表面積を求める公式は、「底面積×2＋側面積」です。
角柱の側面積は、展開図から考えると、底面1周の長さを横の長さとし、角柱の高さをたての長さとする長方形になります。ですから角柱の側面積は、「底面1周の長さ×高さ」ということになります。底面1周の長さは、4＋8＋5＋5＝22cmですから、角柱の側面積は、22×6＝132平方cmです。
　よって、底面積である台形の面積が2つと側面積を合計して、26×2＋132＝184より、この立体の表面積は184平方cmです。

「必修例題2」は、円柱の体積、表面積を考える問題です。
柱体は、円柱も角柱も体積、表面積の求め方は同じです。まず、底面積である円の面積を求めます。底面積は、4×4×3.14＝(16×3.14)平方cmです。3.14のついた数量は、3.14をまとめてから計算しますので、(16×3.14)のままにしておきます。
(1) 高さは6cmですから、16×3.14×6＝96×3.14＝301.44より、この円柱の体積は、301.44
立方cmです。
(2) 側面積は、「円周の長さ(底面1周の長さ)×高さ」です。高さは6cmですから、側面積は、4×2×3.14×6＝(48×3.14)平方cmです。よって、(16×3.14)×2＋(48×3.14)＝(32＋48)×3.14＝80×3.14＝251.2より、この円柱の表面積は、251.2平方cmです。

　繰り返しますが、円に関連する計算では、円周率である3.14の計算は、まとめて計算することで、ミスも少なくなり、迅速に解答につながります。

【攻略ポイント2】

　「必修例題3」は、展開図から組み立ててできる立体の体積を求める問題です。
　辺の長さに注目して組み立てると、組み立てた立体は三角すいとなります。すい体の体積を求める公式は、「底面積×高さ×1/3」です。1/3をかける前の計算は、円柱や角柱である柱体の体積計算と同じであることを確認してください。同じ大きさの底面と、同じ高さをもつ柱体の体積を、1/3倍すると、円すいや角すいであるすい体の体積になります。
　問題を解きます。底面は、底辺が6cm、高さが9cmの三角形ですから、底面積は6×9÷2＝27平方cmです。高さは底面から頂点まで垂直にはかった長さですので、6cmです。よって、27×6×1/3＝54より、この立体(三角すい)の体積は、54立方cmです。
　すい体の体積を求める際には、高さがどの長さになるかによく注意してください。

　「必修例題4」は、円すいの展開図において、母線(＝側面のおうぎ形の半径)の長さ、円すいの表面積を考える問題です。
　問題に入る前に、大切なことを説明します。予習シリーズ102ページの解説を参考にしてください。展開図を組み立てると、底面である円の円周（aとする）と、側面であるおうぎ形の弧の長さ（bとする）は重なりますので、同じ長さです。つまり、a＝底面半径×2×3.14と、b＝母線×2×3.14×(中心角/360) は等しくなります。a、bのどちらにも使われている(2×3.14)をなくしても、等しくなりますので、底面半径＝母線×(中心角/360)です。このことから、「底面半径/母線＝中心角/360」や「底面半径/母線×360＝中心角」という関係が成り立ちます。きちんと理解しておきましょう。
　側面であるおうぎ形の面積（半径は、母線という言葉を使います）は、側面積＝母線×母線×3.14×(中心角/360)　という計算になります。
　上に述べましたように、中心角/360＝底面半径/母線となりますので、この式は、側面積＝母線×母線×3.14×(底面半径/母線)となり、母線どうしを約分して、結果として、「側面積＝母線×底面半径×3.14」という公式ができます。
　ここに記した関係（公式）は大切ですので、しっかり理解してください
(1) 母線の長さを□cmとして、底面の半径は5cmですから、5/□＝120/360となります。120/360＝1/3＝5/15です（5/□の分子5にそろえました）。
よって、□＝15になりますので、母線の長さは15cmです。
(2) 円すいの表面積は、「底面積＋側面積」です。底面積は円ですから、5×5×3.14＝(25×3.14)平方cmです。側面積は、公式により、15×5×3.14＝(75×3.14)平方cmです。よって、(25＋75)×3.14＝100×3.14＝314より、円すいの表面積は、314平方cmです。

　まずは、公式をしっかり使えるようトレーニングしてください。

＜算数　4年上　第11回＞

　第11は『大きな数とおよその数』です。整数の万の位より大きい位を学習します。また、数の範囲を表す、以上、以下、未満という用語を学習し、同時にこれらの用語を使ったおよその数(がい数)についても学習します。

【攻略ポイント1】

　「必修例題1」は、整数の位についての学習です。整数の位は、一の位、十の位、百の位、千の位、万の位がありますが、その上は、1万倍ごとに、億の位、兆の位と続きます（その後も位を表す言葉は続きますが、小学校で学習するのは、兆の位までです）。
　まとめますと、一、十、百、千、に続いて、一万、十万、百万、千万、となり、その後は、一、十、百、千（小の位と名付けておきます）の後に億や兆（万も含め、大の位と名付けておきます）を付けて、一億、十億、百億、千億、一兆、十兆、百兆、千兆となります。
(1) 問題の数を右から4けたごとにたて線（または、「，」カンマ）で区切っておくと、わかりやすくなります。一億の位は、右から、9つ目ですから、数字は「8」です。
(2) 4けたごとに区切った組を考えると、4組目は(75)で、(大の位の)兆となります。よって、七十五兆です。このように、各組を小の位で読んで、組の終わりに大の位を順に付けて読みます。以下、(0268)に億の位を付け、(1205)に万を付け、最後は(3007)です。よって、「七十五兆二百六十八億千二百五万三千七」です。
(3) 数は、位にある数字が等しければ、右から左に1けた動くと10倍になり、2けた動くと10×10＝100倍になり、3けた動くと10×10×10＝1000倍になります。以下同じ仕組みです。右の「2」から、左の「2」へ4けた動いていますので、10×10×10×10＝10000より、左の「2」が表す数の大きさは右の「2」が表す数の大きさの一万倍です。

【攻略ポイント2】

　「必修例題2」は、以上、以下、未満という用語の内容を考える問題です。
　例えば、5以上とは、5の数を入れて5より上の大きい数を範囲とする用語です。また、5以下とは、5の数を入れて5より下の小さい数を範囲とする用語です。これらに対して、5未満とは、5の数を入れずに5より小さい数を範囲とする用語です。この未満は、小数を考える場合によく使われます。つまり、5未満とは、4以下のことではなく、5より少しでも小さい数を表しますので、4.999……から小さい数全体を範囲とします。
問題に入ります。15までの奇数で考えます。
(1) 10以上の数は、11、13、15の3個です。
(2) 9以下の数は、9を入れて、9、7、5、3、1の5個です。
(3) 5未満の数は、5は入れずに、3、1の2個です。

　「必修例題3」は、範囲を考える問題です。
　5日目に読んだページ数が不明ですが、少なくとも1ページはあり、最大でも12ページであることに注意しましょう。4日目までに、(12×4＝)48ページは読んでいますから、合計のページ数は、48＋1＝49、48＋12＝60より、この本のページ数は、49ページ以上60ページ以下です。

【攻略ポイント3】

　「必修例題4」は、およその数を作る3つの方法を考える問題です。
　「およその数」とは、きりのよい数にすることで、「数をまるめる」という言い方もあります。例えば1295人を百の位までのおよその数で表す場合、95人というはんぱな数を100人として増やし、「およそ1300人」と表す方法を「切り上げ」といい、0人として無くし、「およそ1200人」と表す方法を「切り捨て」といいます。もう1つ、真ん中の50人を基準にして、50人以上の場合は100人として切り上げ、50人に満たない(未満の)場合は0人として切り捨てる方法があります。この方法を、「四捨五入」といい、この方法を使うと1295人は「およそ1300人」と表されます。
　鹿児島県の人口、1706428人を万人の位までのおよその数にします。この場合、万の位のひとつ下の千の位以下の数(6428人)が問題になります。
　「切り捨て」の場合は、千の位以下に数があっても、0人としますので、170万人です。
　「切り上げ」の場合は、千の位以下に1人でもあれば、1万人としますので、171万人です。
　「四捨五入」の場合は、千の位の数字で切り捨てか、切り上げを決めます。千の位の数字は6で、5以上ですから、切り上げます。よって、171万人です。

　数の位の仕組みを理解しましょう。また、以上、以下、未満の用語をきちんと覚え、およその数の求め方をマスターしましょう。

　われわれ中学受験鉄人会のプロ家庭教師は、常に１００％合格を胸に日々研鑽しております。ぜひ、大切なお子さんの合格の為にプロ家庭教師をご指名ください。