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第15回は『総合』です。基本問題の中で、注意すべき問題を取り上げます。その他の問題については、第11回から第14回までの基本が理解できているか、確認しましょう。なお、分数は、分子/分母の形で表します。
総合回は、弱点の見直しのチャンスです。苦手な分野を基本から見直すことを心がけて進んでいきましょう。
ニュートン算です。第11回で述べましたように、整頓公式 [(減少量-増加量)×時間=はじめの量] の形で整頓して進めましょう。
減少量(ポンプ1台)=□L/分、増加量=2L/分、はじめの量=350Lですので、
(1) (□-2)×50(分)=350(L) より、□=350÷50+2=9、よって、1台のポンプは、毎分9Lの割合で水をくみ出します。
(2) (9×3-2)×□分=350 より、□=350÷25=14、よって、水そうは、14分で空になります。
仕切り板のある容器に水を入れる問題で、グラフの数値を読み取って考えます。予習シリーズ別冊(解答と解説)66ページにある容器の正面図を参照してください。
水の入れ方は一定ですから、時間比=水の体積比です。また、容器の奥行きは同じですから、体積比=(容器正面図の)面積比です。また、正面図のアとイは、高さが等しいので、面積比=横の長さ比です。正面図のウと(ア+イ)は、横の長さが等しいので、面積比=高さの比です。ここまでの整頓をよく理解してください。
グラフより、アに水がたまるのは9分、イに水がたまるのは(21-9=)12分ですから、横の長さの比は、ア:イ=9:12=3:4です。よって、3:4=30:ⅹ より、x=4×30÷3=40(cm) です。グラフより、高さの比は、ウ:(ア+イ)=(30-14):14=8:7です。よって、8:7=(y-21):21 より、y-21=8×21÷7=24、y=24+21=45(分) です。
整数についてのいろいろな応用問題です。
(1) 約数の個数が3個である2けたの整数を求めます。約数の個数が3の整数は、素因数分解すると、(素数をaとして) a×aとなる、平方数と呼ばれる整数です。2×2=4と、3×3=9は、1けたですので、あてはまりません。よって、5×5=25、7×7==49 より、25と49です。
(2) 最大公約数=12 より、A=12×□、48=12×4 で、最小公倍数720 より、12×□×4=720 となる□を考えます。□=720÷4÷12=15 ですので、A=12×15=180 です。
(3) 1×2×…×7×8=Aとして、この整数を素因数分解したときに、素数2が何個入っているかで。わり切れる回数が決まります。2の倍数は、{2,4,6,8}で、この中に素数2は、2に1個、4に2個、6に1個、8に3個入っていますので、1+2+1+3=7個ありますので、7回はわり切れます。よって、7+1=8 より、8回目ではじめて商が整数でなくなります。商が整数でなくなる回数を問われていますので、7回としないよう注意してください。
切断の問題です。予習シリーズ別冊(解答と解説)68ページの図を参照してください。切断ルールをマスターしましょう。
(1) PとQ、RとPはそれぞれ同じ平面にあるので結ぶことができます。(左側面)面AEHDと(右側面)面BFGCは平行な面ですので、切断面の線RPとSQは平行線になります。この直方体を透明な直方体として、右側面から見ると、2本の平行線RPとSQは、EP-FQ=4-3=1cmの幅ではなれていますので、DRとCSも1cmはなれています。よって、CS=1+1=2 より、GS=10-2=8cmです。
(2) 頂点Fをふくむ立体は、切断面が平行四辺形になっています。予習シリーズ155ページの例題4で学習した内容を確認してください。底面EFGHで、高さが4本とも異なりますが、向かい合っている高さの和を高さとする直方体を考えて、2等分します。よって、EP+GS=4+8=12cmを高さと考え、5×6×12÷2=180 より、体積は180立方cmです。
第15回は『総合』です。基本問題において第11回から第14回までの基本が理解できているか、確認しましょう。
総合回は、弱点の見直しのチャンスです。苦手な分野を基本から見直すことを心がけて進んでいきましょう。
円柱の体積と表面積を求める問題です。底面積である円の面積を求めておきます。5×5×3.14=25×3.14です。
(1) 「円柱の体積=底面積×高さ」より、25×3.14×2=50×3.14=157 より、円柱の体積は157立方cmです。
(2) 「表面積=底面積×2+側面積」また、「側面積=底面一周×高さ」より、底面積×2=25×3.14×2=50×3.14、側面積=(5×2×3.14)×2=20×3.14、よって、(50+20)×3.14=70×3.14=219.8 より、円柱の表面積は、219.8平方cmです。
3種類の消去算の問題です。
(a) あんパン1個とメロンパン1個を買うと320円です。
(b) あんパン1個とジャムパン1個を買うと270円です。
(c) メロンパン1個とジャムパン1個を買うと330円です。
この3通りのセットをすべて合わせた、(a+b+c)の式で表されるのは、あんパン、メロンパン、ジャムパンを2個ずつ買うことになり、320+270+330=920円になります。3種類のパンを2個ずつ買うと920円になりますので、1個ずつ買うと、920÷2=460円になります。この460円から、(c) のセットをのぞくと、あんパンが残ります。つまり、460-330=130 より、あんパン1個は130円となります。同様に進めますと、(b) のセットをのぞいて、460-270=190 より、メロンパン1個は190円、(a) のセットをのぞいて、460-320=140 より、ジャムパン1個は140円です。
あかりさんとお兄さんの進み方から、道のりや速さを考える問題です。
(1) あかりさんの進んだ時間を考え、速さとのかけ算で道のりを求めます。午前10時30分に家を出て、午前10時55分に駅に着きましたので、10時55分-10時30分=25分が、あかりさんの進んだ時間です。また、あかりさんの歩く速さは分速60mです。よって、60×25=1500 で、1500m=1.5kmより、家から駅までの道のりは1.5kmです。求める単位に注意しましょう。
(2) お兄さんは、あかりさんより4分早く駅に着いていますので、10時55分-4分=10時51分に駅に着きました。また、10時45分に家を出ていますから、10時51分-10時45分=6分より、家から駅まで6分かかったことがわかります。よって、1500÷6=250 より、お兄さんの自転車の速さは、分速250mですが、時速で答えますので、250×60÷1000=15 より、時速15kmとなります。
面積図を利用する平均の問題です。予習シリーズ別冊・解答と解説の55ページにある面積図を参照してください。
この図において、アの面積=イの面積ですが、平均体重を表す部分のたての長さはわかりますが、人数を表す横の長さがわかりませんので進められません。そこで、ウの面積を両方にたした、(ア+ウ)の面積=(イ+ウ)の面積として考えます。(ア+ウ)の面積=(28-27)×12=12、また、4年生の人数を□人として、(イ+ウ)の面積=(30-27)×□=3×□ と表されます。よって、12=3×□ より、□=12÷3=4 となりますので、4年生は4人です。
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