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＜算数　5年下　第9回＞

第9回は『規則性に関する問題』です。いろいろな数列について、ある数が何番目にあるか、また、何番目の数は何かを考える問題です。数列の種類によって、考え方が異なります。どんな数列なのか、どんなルールなのかを整理することを目標に学習しましょう。

【攻略ポイント1】

「必修例題1」の数列は、階差数列といわれる数列です。この数列は、元の数列(第1数列)の各数の差(第2数列)が等差数列になっている数列です。第1数列の数は、初めの数1に第2数列の1番目の1を加えて2、2に第2数列の2番目の2を加えて4、4に第2数列の3番目の3を加えて7、というように並んでいます。この仕組みにより、15番目の数は、第1数列のはじめの数1に、第2数列の1番目の数から(15−1)番目までの数の和を加えることにより求まります。つまり、15番目の数は、1＋(1＋2＋……＋14)＝106です。「類題1」や「基本問題1(3)」でトレーニングしてください。

【攻略ポイント2】

「必修例題2」は(分数の)群数列といわれる数列です。分数の群数列では、組(＝群)ごとの分母、および個数を整頓しておくことが重要です。分母は、第1組から2、3、4、…となっています。また、個数は、第1組から1個、2個、3個、…となっています。(1)分母の10は第9組で、分子の3は組の中の(9から数えて)7番目です。よって、第8組までの個数の合計 1＋2＋……＋8＝36に7を加えた 43番目ということになります。(2) 1＋2＋……とたし算をして100に近い数を求めると、13までの合計が91となりますので、100−91＝9となり、第14組の9番目ということになります。第14組の分母は15で、分子は14から9番目の(14−9＋1＝)6です。よって、100番目の分数は6/15です。

【攻略ポイント3】

「必修例題3」は、数列のきまりを発見することが難しい問題です。条件(3と4の倍数を除いた数列)から、3と4の最小公倍数12で割った場合の余りから3と4の倍数を除いた、1、2、5、7、10、11を第1組として、それぞれに12を加えていく、各組の個数が6個となる群数列です。例えば、第2組の1番目は1＋12＝13、2番目は2＋12＝14、また第3組の1番目は1＋12×2＝25、…となります。(1)58÷12＝4余り10ですので、5組の5番目(第1組で10は5番目にくる)となり、6個×4＋5＝29番目です。(2)99番目は、(1)の逆問題です。99÷6＝16余り3ですので、17組の3番目の数です。第1組の3番目の数は5ですから、5に12を(17−1＝)16回かけた数をたした数です。よって、5＋12×16＝197となります。

【攻略ポイント4】

「必修例題4・5」は、数表問題(数を使った表)といわれるものです。
「必修例題4」は、四角数(ご石を正方形に並べたときの個数)の数表問題です。数の並び方から、各段の1番目の数が四角数(平方数)になっていることに気づきますか。1段目は1×1＝1、2段目は2×2＝4、3段目は3×3＝9、…となっています。
「必修例題5」は、三角数(ご石を三角形に並べたときの個数)の数表問題です。数の並び方から、各段の1番目が三角数になっていることに気づきますか。2段目は1＋2＝3、3段目は1＋2＋3＝6、4段目は1＋2＋3＋4＝10，…となっています。四角数、三角数に注目して問題を解いていきます。例題の説明をよく理解してください。
この2つの必修例題は、難度の高い問題です。四角数・三角数の理解とともにしっかり学習してください。

＜算数　4年下　第9回＞

第9回は『方陣算』です。本来、方陣とは四角形のことです。ここでは、ご石を四角形だけでなく三角形・五角形など正多角形に並べたときの、1辺の個数、外周(一番外側の1周)の個数、図形全体の個数を考える問題をあつかいます。1辺の個数と外周の個数を考える場合、カドのご石の取り扱いが重要になります。

【攻略ポイント1】

「必修例題1」の正方形の方陣では、(1)全体の個数は、正方形の面積を求めることと同じで、1辺の個数×個数で求まります。1辺の個数は6ですので、6×6＝36個です。(2)1辺の6個が4辺ありますので、6×4＝24個とすると，4つのカドにある合計4個が2度ずつ数えたことになってしまいますので、24−4＝20個が正しい個数です。これは、1辺の個数6からカドの1個を引いて、(6−1)×4として考えることもできます。
「必修例題2」の三角形の方陣では、(1)全体の個数は、上の1段目から個数を合計していきます。1＋2＋…＋5＋6を計算します。この計算は、4年上の第16回で学習した等差数列の和の計算になります。(1＋6)×6÷2＝21個です。(2)正方形の方陣と同様に、6×3の結果からカドの3個を引きます。つまり、6×3−3＝15個、または(6−1)×3＝15個です。

【攻略ポイント2】

「必修例題3」の正多角形の方陣では、外周の個数は、カドのご石に注意することで攻略ポイント1・2と同じ考え方で求められます。また全体の個数は、三角形の方陣をどのように並べたものかで考えることになります。
「必修例題4」の問題では、各図形の順番を表す番号と、各図形のいろいろな個数の関係を考えることが攻略ポイントとなります。問題に出ている図形がヒントとなります。(1)上底の個数は、1番目から順に、2、3、4となっていますので、N番目は(N＋1)個となる関係がわかります。よって、6番目の個数は6＋1＝7個です。(2)全体の個数は、台形の面積計算と同様に、下底の個数および高さの個数を求めて、計算します。N番目の下底の個数が、（N＋3）個になることに注意しましょう。6番目の図形の、下底の個数は6＋3＝9個、高さは3個ですから、(7＋9)×3÷2＝24個となります。

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