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＜算数　5年下　第16回＞

第16回は『和と差に関する問題』です。つるかめ算の発展的な問題と年齢算を学習します。

【攻略ポイント1】

「必修例題1」は、条件不足のつるかめ算で、いもづる算ともいいます。
1本180円のユリの花と1本120円のバラの花を、代金の合計が1500円になるように買います。ゆりの花をA本、バラの花をB本買うとして、整頓すると、180×A＋120×B＝1500円となります。AとBの和がわかっていません。ここが、つるかめ算で解くには条件不足となります。いもづる算は、基本的には数をあてはめて考えるのですが、計算しやすくするため、(180×A)、(120×B)、(1500)を共通にわれる数で全体をわって、式を簡単にします。そのために、180、120、1500の最大公約数60でわります。結果、3×A＋2×B＝25という式を考えて、成り立つA、Bを求めます。A＝1、B＝11が見つかります。ここからが、いもづる算といわれるものです。芋(いも)が1つ見つかれば、そのつるを引き出していくと、いくつもの芋が見つかるように、1組のAとBが見つかると、そこから他の組も次々に見つかるという解法です。この問題では、A＝1、B＝11から始めて、そこから3×Aの増える値と、2×Bの減る値が同じであれば、3×Aと2×Bの合計である25は常に一定になることに注目します。そこで、3と2の最小公倍数である6ずつ増減する数の組を考えます。3×Aは、3×1＝3の次は、3×3＝9、3×5＝15、…というように、Aが2ずつ増えていく数、2×Bは2×11＝22、2×8＝16、2×5＝10、…というように、Bが3ずつ減っていく数とすると、合計の25は変わらなくなります。まとめると、Aは2×Bの「2」ずつ増える数、Bは3×Aの「3」ずつ減る数を考えればよいことになります。よって、(A、B)の組は、(1、11)の他に、(3、8)、(5、5)、(7、2)の全部で4通りとなります。

「必修例題2」は、3種類のつるかめ算です。解き方が2通りあります。
1個の値段がそれぞれ60円、90円、110円である3種類の品物A、B、Cを合わせて36個買い、代金の合計が3060円になるようにします。

1. AとBの個数を1：2の割合にする、という条件より、「Aを1個とBを2個」を1組として買うと、代金は、60×1＋90×2＝240円です。この代金を1＋2＝3個で割った、240÷3＝80円は、Aを1個とBを2個の割合で買った時の平均の値段になり、この1個80円の品物をDとします。品物Cの買った個数をc個、品物Dの買った個数(品物AとBの個数の合計)をd個として、整頓すると、110×c＋80×d＝3060で、c＋d＝36ということになります。ここで、品物Cと品物Dについてのつるかめ算を解いて、dの個数を求めます。(110×36−3060)÷(110−80)＝30より、dは30個です。よって、30÷(1＋2)×2＝20より、品物Bは20個にすればよいことになります。
2. 個数についての条件がない場合には、次のように考えていきます。最も安いAを36個買います。すると、実際よりも、3060−2160＝900円安くなっています。ここから、A1個とB1個を交換すると、90−60＝30円増えます。また、A1個をC1個と交換すると、110−60＝50円増えます。AとBをx個交換し、AとCをy個交換して、900円にすればよいわけです。まとめると、30×x＋50×y＝900を解くことになります。簡単にして、3×x＋5×y＝90をいもづる算で解きます。(x、y)の組は、(30、0)が見つかります。xは5ずつ減らし、yは3ずつ増やして、組を作っていきますと、(25、3)、(20、6)、(15、9)、(10、12)、(5、15)、(0、18)となりますが、(30、0)と(0、18)は、xやyが0ですので、あてはまりません(1個は買うという条件に合わない)。よって、5通りです。予習シリーズ153ページの解き方にある表を参照してください。

【攻略ポイント2】

年令算について、学習します。年令算では、登場人物の間の年令の差は、いつも変わらないということがポイントになります。

「必修例題3」は、父と私の年令について考える問題です。
現在、父と私の年令の和は44才で、2年後に父の年令が私の年令の3倍になります。予習シリーズ154ページの解き方にある線分図を参照してください。

1. 2年後には、2人とも2才年をとっていますから、父と私の年令の和は、44＋2×2＝48才です。このとき、私は、48÷(3＋1)＝12才です。よって、12−2＝10より、現在の私は、10才です
2. 現在の父は、44−10＝34才で、2人の年令の差は、34−10＝24才です。この差は、何年か前も同じです。よって、24÷(5−1)＝6より、私が6才のときです。したがって、10−6＝4より、今から4年前です。

「必修例題4」は、登場人物が5人の年令算の問題です。
現在の、4人家族の年令の和は、101才で、6年前には祖母もいて、年令の和は145才でした。

1. 4人家族の、6年前の年令の和は、101−6×4＝77才でした。祖母を入れた5人の年令の和は145才ですから、145−77＝68より、6年前の祖母の年令は、68才です。
2. 現在、祖母もいれば、68＋6＝74才で、祖母も入れた5人の年令の和は、101＋74＝175才です。10年前の妹をのぞく、4人の和は127才ですから、この4人が10才ずつ年をとると、127＋10×4＝167才になります。よって、175−167＝8より、現在の妹の年令は、8才です。

＜算数　4年下　第16回＞

第16回は『立方体と直方体(2)』です。立方体・直方体の形やそれぞれの面の形は、予習シリーズ4年上の第14回で学習しました。この学習内容をもとに、今回は、立方体・直方体の表面積や体積を学習します。

【攻略ポイント1】

まず、表面積について学習します。表面積とは、展開図(立体を辺にそって切り開いた図)の面積のことです。立方体の表面は同じ大きさの正方形6つでできています。よって，立方体の表面積＝1辺×1辺×6 です。直方体の展開図を考えると、(たての長さ)×(横の長さ)の長方形、(横の長さ×高さの長さ)の長方形、(高さの長さ×たての長さ)の長方形が、それぞれ2つずつあります。よって、直方体の表面積＝(たて×横＋横×高さ＋高さ×たて)×2 となります。

「必修例題1」は、直方体の表面積を求める問題です。
たて6cm、横10cm、高さ4cmの直方体ですので、(6×10＋10×4＋4×6)×2＝248 より、表面積は248平方cmです。

「必修例題2」は，直方体から立方体を切り取った立体の表面積を求める問題です。
複雑に見える立体の場合、前後、上下、左右の6方向から見える面を考えると，計算しやすくなります。
前から見ると、へこんでいる部分を合わせて、高さ6cm、横9cmの長方形になり、後ろから見た形と同じです。上から見ると，同じくへこんでいる部分を合わせて、たて8cm，横9cmの長方形になり，下から見た形と同じです。右から見ると、同じくへこんでいる部分を合わせて、高さ6cm、たて8cmの長方形になり、左から見た形と同じです。予習シリーズ122ページ必修例題2の解き方にある図を参照してください。
まとめると、立方体を切り取る前の、もとの直方体の表面積と同じになります。よって、(6×9＋9×8＋8×6)×2＝348より，この立体の表面積は348平方cmです。

【攻略ポイント2】

体積について学習します。まず、たて、横、高さが、すべて1cmの立方体の体積を1立方cmとして、これをもとにして考えます。この1立方cmの立方体が、たて、横、高さの方向に、何個ずつ積んであるかで、立方体・直方体の体積が決まります。計算すると、たて、横、高さの長さのかけ算の答えと同じになりますので、結局、直方体の体積＝(たての長さ)×(横の長さ)×(高さの長さ) で求めることができます。

「必修例題3」は，2つの直方体を組み合わせた立体の体積を求める問題です
それぞれの直方体の体積を求めて、合計します。手前の直方体は、たて4cm、横7cm、高さ(6−2＝)4cmですから、体積は、4×7×4＝112 より、112立方cmです。奥の直方体は、たて3cm、横12cm、高さ6cmですから、3×12×6＝216 より、216立方cm です。よって、112＋216＝328 より、この立体の体積は、328立方cmとなります。

「必修例題4」も、2つの直方体を組み合わせた立体の体積を求める問題です。
この問題は、底面積(たて×横)に高さをかけて体積を求める方法で解いてみましょう。予習シリーズ123ページ必修例題4の前にある考え方を参照してください。
横の長さ6cmと8cmのところで切り分けて、左右の底面積を求めます。左の直方体の底面積は、たて10cm、横6cmですから、10×6＝60平方cmです。右の直方体の底面積は、たて10−7＝3cm、横14−6＝8cmですから、3×8＝24平方cmです。高さは、左右のどちらの直方体も8cmですから、(60＋24)×8＝672より、体積は、675立方cmです。

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