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No.1122 早稲アカ・四谷大塚予習シリーズ算数下対策ポイント 4・5年生(第18回)

<算数 5年下 第18回>

 第18回は『図形の移動(2)』です。図形の回転移動・転がり移動を学習します。この問題は、円に関する問題となります。計算上、中心角を表す部分で分数を用いますが、ここでは、分子/分母の形で表します。第17回と同様、自分で図をかいて確かめながら進めましょう。また、弧の長さやおうぎ形の面積を求める計算がほとんどですので、円周率3.14を含む計算は、まとめて計算することを心がけましょう。

<今回のポイント>

 少々難しい内容です。繰り返し述べていますが、自身で図をかくことで、図形の動きがわかります。このことが類似問題に有効になります。特に、「必修例題4」をしっかり身につけましょう。

【対策ポイント1】

 図形の回転移動について学習します。回転移動とは、図形をある点を中心に回転させることをいいます。この移動では、回転の中心の点から図形の各頂点までのそれぞれの直線は、同じ角度だけ回転します。よって、各頂点の動いたあとの線は、中心からの長さを半径とし、中心角が等しいおうぎ形の弧をえがきます。

[必修例題1]

 直角三角形を1つの点を中心に回転させる問題です。

 直角三角形ABCを、頂点Cを中心にして矢印の方向に90度回転させます。予習シリーズ171ページの問題の図を参照してください。また、(3)は、解き方にある図を参照してください。
(1) 頂点Aが動いた線は、頂点Aと回転の中心Cを結んだ辺ACの長さ10cmを半径とし、回転の角度(=中心角)が90度のおうぎ形の弧の長さになります。10×2×3.14×90/360=5×3.14=15.7より、頂点Aが動いたあとの線の長さは、15.7cmです。
(2) 辺BCが動いた後の図形は、辺BCの長さ8cmを半径とした、中心角90度のおうぎ形になりますので、おうぎ形の面積を求めることになります。8×8×3.14×90/360=16×3.14=50.24より、辺BCが動いたあとの図形の面積は、50.24平方cmです。
(3) 回転移動により、直角三角形ABCが動いたあとの図形で、頂点Aが動いたあとの点をA’、頂点Bが動いたあとの点をB’とします。辺ABが動いたあとの図形は、辺ABと辺A’B’、弧AA’と弧BB’に囲まれた部分の図形になります。予習シリーズ171ページの解き方にある図を参照してください。
この図形は、(ア)三角形ABCとACを半径とする四分円を合わせた図形の面積から、(イ)三角形A’B’CとBCを半径とする四分円を合わせた図形の面積をひいて求めることができます。(ア)-(イ)ですが、三角形ABCと三角形A’B’Cはもともと同じ図形ですから、ひき算するとなくなります。
よって、ACを半径とする四分円の面積から、BCを半径とする四分円の面積をひくことで求められますので、10×10×3.14×1/4-8×8×3.14×1/4=(25-16)×3.14=28.26より、辺ABが動いたあとの図形の面積は、28.26平方cmです。

[必修例題2]

 直角に交わった2本の直線が回転する問題です。

 長さ6cmの直線ABと長さ4cmの直線CDが、直線ABの真ん中の点Cで直角に交わっています。このとき、2点BとDの間の距離は5cmです。この図形を、点Dを中心に矢印の向きに1回転させます。予習シリーズ172ページの解き方にある図を参照してください。
(1) 頂点Bは、点Dを中心に、BDの長さ5cmを半径として、円をえがくことになります。よって、円周を求めます。5×2×3.14=31.4より、頂点Bの通ったあとの図形の長さは31.4cmです。
(2) この問題では、回転の中心Dから、一番遠い点の動いた図形と、一番近い点の動いた図形が重要になります。点Dから一番遠い点はAまたはBで、(1)で考えたように半径5cmの円をえがきます。また、点Dから一番近い点はCで、半径4cmの円をえがきます。よって、直線ABが通ったあとの図形は、点Dを中心とする、半径5cmの円と半径4cmの円の間の部分となり、2つの円の面積の差を求めることになります。
5×5×3.14-4×4×3.14=(25-16)×3.14=28.26より、直線ABが通ったあとの図形の面積は、28.26平方cmです。

【対策ポイント2】

 多角形の転がり移動について、学習します。多角形が直線上を転がる場合、直線上に、転がる多角形の頂点の記号をかいておくことをお勧めします。このことで、どの点を中心に回転するかがわかりやすくなります。ここでも、自分で図をかくことが大切です。

[必修例題3]

 直線上を長方形が転がる問題です。

 長方形ABCDを、直線上を直線にそってすべらないように転がします。予習シリーズ173ページの解き方にある図を参照してください。この図を自分でもかいてみましょう。直線ℓ上の記号をはじめに書き込み、それから直線上以外の長方形の各頂点の記号を記入することをお勧めします。
(1) 頂点Bの動きを確認します。
(ア) はじめに、点Cを中心に、長さ4cmのBCを半径として、90度回転します。
(イ) 次に、点Dを中心に、長さ5cmのBDを半径として、90度回転します。
(ウ) 次に、点Aを中心に、長さ3cmのBAを半径として、90度回転します。
以上のそれぞれの回転によってできる弧の長さの合計を求めます。つまり、
弧(ア)+弧(イ)+弧(ウ)
=(4×2×3.14×1/4)+(5×2×3.14×1/4)+(3×2×3.14×1/4)
=(4+5+3)×2×3.14×1/4
=6×3.14=18.84 より、
頂点Bの通ったあとの図形の線の長さは、18.84cmです。
(2) (1)で、頂点Bが通ったあとの図形の、3つの四分円(ア)、(イ)、(ウ)の面積が求める面積に入りますが、そのほかに、(ア)と(イ)の間にある直角三角形BCDの面積、(イ)と(ウ)の間にある直角三角形DABの面積も、すべて直線との間の面積として、計算に入ることを忘れないようにしましょう。予習シリーズ173ページの解き方にある図を参照して下さい。
よって、面積(ア)+面積(イ)+面積(ウ)+直角三角形2つの面積を求めます。
(4×4×3.14×1/4)+(5×5×3.14×1/4)+(3×3×3.14×1/4)+(3×4÷2×2)
=(16+25+9)×1/4×3.14+12
=39.25+12=51.25より、
頂点Bが動いたあとの線と直線で囲まれた図形の面積は、51.25平方cmです。

【対策ポイント3】

 円の転がり移動について、学習します。予習シリーズ174ページの説明をよく理解してください。直線が折れる場合の円の動きがポイントとなります。

[必修例題4]

 円が直線上を転がる問題です。

 たて5cm、横6cmの長方形の辺上を半径1cmの円が、長方形の外側と内側を転がります。予習シリーズ174ページの解き方にある図を参照してください。
(1) 長方形の外側を辺にそって、円Oが転がる場合の、円の中心の動いた長さを求める問題です。長方形の辺上を転がる場合は、円Oの中心は、半径の長さの分だけ辺からはなれたところを平行に動きますので、直線となります。カドのところでは、円Oの中心がカドを中心に円の半径の長さを半径として、弧をえがきます。弧の中心角は、常に360度-(カドの角の大きさ+90度×2)で求まります。
よって、円Oの中心が動いたあとの線の長さは、
(ア) 直線部分は長方形のまわりの長さと等しく、(5+6)×2=22、
(イ) カドの部分の線の長さは4つ合わせると半径1cmの円周になりますので、
1×2×3.14=6.28です。
(ア)と(イ)を合計して、22+6.28=28.28より、28.28cmです。
(2) 図をかいてみるとわかりますが、円Oが動いたあとの図形は、(ウ) 長方形の辺にそった部分はそれぞれの辺の長さと直径の長さをもつ長方形が4つあります。面積の合計は、長方形のまわりの長さに直径をかけて、22×2=44より、44平方cmです。
(エ) カドの部分は、円の直径を半径として、中心角が90度の四分円が4つでできています。四分円4つは円1つですから、2×2×3.14=12.56となります。したがって、円Oが動いたあとの図形の面積は、44+12.56=56.56 より、56.56平方cmです。
なお別解ですが、平面図形の「外側」を円が動いたあとの図形の面積は、[円の中心が動いた長さ×直径]で求められます。
(1)の結果を利用して、28.28×2=56.56平方cmとして求めることができるのです。
ただし、円が平面図形の「内側」を動くときには、この別解を使うことができませんので、注意してください(予習シリーズ175ページにある枠内の図参照)。
(3) 長方形の内側を辺にそって、円Pが動いたあとの図形の面積を求めます。ここでは、円Pが通らない部分の面積を、長方形の面積から引くことで求めてみましょう。予習シリーズ175ページの解き方にある図を参照してください。
円Pが通らない部分として、長方形の中央に、たて、横の長さから、それぞれ円のはば(直径)を引いた、たて(5-2×2=)1cm、横(6-2×2=)2cmの長方形(予習シリーズ解き方の図のア)ができます。
また、カドに1辺1cmの正方形から、四分円をひいた部分(予習シリーズ解き方の図のイ)が4つあります。このカドの部分の4つを合計すると、1辺2cmの正方形の面積から円Pの面積を引いた面積になります。
よって、円Pが通らない部分の面積の合計は、ア+イ=1×2+(2×2-1×1×3.14)=2+0.86=2.86より、2.86平方cmです。
したがって、円Pが通った部分の面積は、5×6-2.86=27.14より、27.14平方cmです。
長方形の内側を通る場合には、カドの部分にすき間ができることに注意しましょう。

 円が図形の外側を通る場合と内側を通る場合の違いを正確に把握するためには、自分の手で図形をかくことが効果的です。

<算数 4年下 第18回>

 第18回は『きまりに注目する問題』です。これまでに学習しました「間の数を考える問題」、「周期を考える問題」、「等差数列」、「ご石をならべる問題」などの復習もふくめて、学習します。

<今回のポイント>

 等差数列の復習を進めつつ、様々な規則を考えます。どのような規則なのか、各問題の注意する点を理解して進めましょう。

【対策ポイント1】

 等差数列の利用を学習します。

[例題1]

 等差数列の復習です。あるきまりにしたがって、数が、3、9、15、21、27、…とならんでいます。
(1) この数列は、6ずつ増えています(この増えていく数を公差といいます)。左から20番目までは、間が(20-1=)19か所ありますので、3+6×19=117 より、左から20番目の数は、117です。□番目の数を求める公式 「はじめの数+公差×(□-1)」
(2) 3+9+15+…+111+117 の和を求めます。逆向きに、117+111+…+15+9+3 にしても和は同じです。そこで、この2つの式を2つずつ加えた組の和を考えます。つまり、(3+117)+(9+111)+…+(111+9)+(117+3)を考え、この答えを2で割ると求める数になります。
各組の和は120で、これが20組ありますので、120×20÷2=1200 より、左から順に20番目までの数の和は、1200です。
和を求める公式 「(はじめの数+終わりの数)×個数割÷2」

[例題2]

 図形についての規則性を考えます。問題の図を参照してください。

 1辺4cmの正方形の紙を、重なる部分が1辺2cmの正方形になるようにつなげていきます。何まいかつなげたときの、面積を考えます。
(1) 面積の増え方を考えると、1まいでは、4×4=16平方cmです。2まいになると、2まい目は、4×4-2×2=12平方cm増えます。以下、1まい増えるごとに、面積は12平方cm増えていきます。結果として、16、28、40、… と、面積は、公差12の等差数列になります。よって、16+12×(10-1)=124 より、紙を10まい使うと、図形全体の面積は124平方cmになります。
(2) 紙を□まい使ったときの面積が220平方cmになる、□を求めます。式に整頓すると、16+12×(□-1)=220 です。□-1=(220-16)÷12=17 より、□=17+1=18 となりますので、紙を18まい使いました。

【対策ポイント2】

 群数列を学習します。群数列とは、あるきまりにしたがって、いくつかの数をグループ(組=群)とした数列をいいます。

[例題3]

 整数の群数列の問題です。1組(1、3、5)、2組(3、5、7)、3組(5、7、9)、4組(7、9、11)、… と、奇数が3個1組になった数列です。各組の1番目の数を並べる、2番目の数を並べる、3番目を並べると、規則が見えてきます。
(1) 組の真ん中、つまり2番目を並べてみます。3、5、7、9、… と、公差が2の等差数列です。この数列の10番目を求めます。3+2×(10-1)=21 より、10組の真ん中の数は、21です。
(2) 例えば、数の5は3回出てきますが、はじめにあらわれるのは、組の中の3番目です。よって、組の3番目を並べて考えます。5、7、9、11、… と、公差2の等差数列の中で、33は何番目かを考えます。5+2×(□-1)=33 より、□=(33-5)÷2+1=15番目、つまり15組です。3個1組の、15組の3番目ですから、3×15=45 より、左から45番目となります。

[例題4]

 分数の群数列の問題です。なお、分数は、分子/分母 の形、帯分数は、(整数と分子/分母)の形で表します。分母の数に注目した、組分けをします。
1組(1/1)、2組(1/2、2/2)、3組(1/3、2/3、3/3)、4組(1/4、2/4、3/4、4/4)、…
(1) 分母8より8組で、分子2より8組の2番目です。各組の個数は、組数と同じで、1個、2個、3個、となっています。よって、7組までの個数の和に2個を加えた数を考えます。1+2+…+6+7=(1+7)×7÷2=28、28+2=30 より、2/8は、左から30番目です。
(2) 各組の和を並べて考えます。1、(1と1/2)、2、(2と1/2)、3、… と、公差が1/2の等差数列になります。よって、7組までの和に、8組の1/8と2/8を加えた数を考えます。7組の和は、分子が1から7までの和の28 ですから、28/7=4です。ですから、1組から7組までの和の合計は、(1+4)×7÷2=35/2=(17と1/2)、よって、(17と1/2)+1/8+2/8=(17と7/8) より、2/8までの和は、(17と7/8)です。

【対策ポイント3】

 循環小数について学習します。循環小数とは、たとえば、0.12312312…のように、小数部分で、何個かの数字の組がくり返し表れる小数をいいます。

[例題5]

 11/37を小数になおしたときの、小数第20位の数字を求める問題です。小数になおすため、11÷37を計算します。計算すると、0.2972972… となりますので、(2、9、7)と3個の数字がくり返し表れます。よって、20番目の数字を求める周期算になります。20÷3=6あまり2 ですから、あまりの2より、小数第20位の数字は、周期の2番目である9です。

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